Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$. Từ một điểm O bất kì, vẽ $\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$. Góc $\widehat{AOB}$ ($0^\circ \leq \widehat{AOB} \leq 180^\circ$) gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ and $\vec{b}$.

• Kí hiệu: $(\vec{a}, \vec{b})$.
• $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ \Longleftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$.

2. Định nghĩa tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ and $\vec{b}$ là một số thực được kí hiệu là $\vec{a} \cdot \vec{b}$ and xác định bởi: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$

3. Biểu thức tọa độ

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1)$ and $\vec{b} = (x_2; y_2)$:

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$
• $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
• $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$ (với $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$)

4. Tính chất

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
• $\vec{a}(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\vec{b} + \vec{a}\vec{c}$
• $(k\vec{a})\vec{b} = k(\vec{a}\vec{b}) = \vec{a}(k\vec{b})$
• $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 \geq 0$

🔷 Dạng toán: Các bài tập về tích vô hướng

📝 Bài tập trắc nghiệm