Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Góc giữa hai vectơ

📌 Định nghĩa Góc giữa hai vectơ

• Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$. Từ một điểm $O$ bất kỳ, vẽ $\vec{OA} = \vec{a}$ và $\vec{OB} = \vec{b}$. Số đo góc $\widehat{AOB}$ ($0^\circ \le \widehat{AOB} \le 180^\circ$) được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$.

• Nếu $(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ$ thì ta nói $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\vec{a} \perp \vec{b}$.

2. Định nghĩa tích vô hướng

📌 Định nghĩa Tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số thực (không phải vectơ), được tính theo công thức:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$

• Trường hợp $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $\vec{b} = \vec{0}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

• Bình phương vô hướng: $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

3. Tính chất của tích vô hướng

📋 Các tính chất đại số

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (giao hoán)
$\vec{a}(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ (phân phối)
$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$\vec{a}^2 \ge 0$, $\vec{a}^2 = 0 \iff \vec{a} = \vec{0}$.
$(\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}^2$

4. Tích vô hướng trong mặt phẳng tọa độ

⚡ Biểu thức tọa độ của Tích vô hướng

Cho $\vec{u} = (x_1; y_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2)$:

Tích vô hướng: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$
Độ dài vectơ: $|\vec{u}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
Khoảng cách 2 điểm $A, B$: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
Cosin góc giữa 2 vectơ: $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$
Điều kiện vuông góc: $\vec{u} \perp \vec{v} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$

🔷 Dạng 1: Tính tích vô hướng thuần hình học

🔍 Ví dụ minh họa (Dạng 1)

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Tính tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ và $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$.

💡 Xem lời giải

• Góc $(\vec{AB}, \vec{AC}) = \widehat{BAC} = 60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

• Góc $(\vec{AB}, \vec{BC}) = 180^\circ - \widehat{B} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos 120^\circ = a \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Tính $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$ và $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

💡 Xem lời giải

• $\vec{AB} \perp \vec{AD} \Rightarrow \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$.

• $|\vec{AC}| = a\sqrt{2}$, góc $(\vec{AB}, \vec{AC}) = 45^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ = a^2 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2$.

🔷 Dạng 2: Tính tích vô hướng & góc bằng tọa độ

🔍 Ví dụ minh họa (Dạng 2)

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec{u} = (1; 2)$ và $\vec{v} = (3; -1)$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ và góc $(\vec{u}, \vec{v})$.

💡 Xem lời giải

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(3) + (2)(-1) = 3 - 2 = 1$.

• $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$; $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$.

• $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

• Suy ra góc $(\vec{u}, \vec{v}) \approx 81,87^\circ$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Cho 3 điểm $A(1; 2), B(4; 3), C(2; 5)$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ và số đo góc $A$.

💡 Xem lời giải

• $\vec{AB} = (3; 1) \Rightarrow AB = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$.

• $\vec{AC} = (1; 3) \Rightarrow AC = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$.

• $\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AB \cdot AC} = \frac{(3)(1) + (1)(3)}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \Rightarrow A \approx 53,13^\circ$.

🔷 Dạng 3: Chứng minh hai vectơ vuông góc

🔍 Ví dụ minh họa (Dạng 3)

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $\vec{AM} \perp \vec{BC}$.

💡 Xem lời giải

• $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.

• $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

• $\vec{AM} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AB})(\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{2}(\vec{AC}^2 - \vec{AB}^2) = \frac{1}{2}(AC^2 - AB^2)$.

• Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC \Rightarrow \vec{AM} \cdot \vec{BC} = 0 \Rightarrow \vec{AM} \perp \vec{BC}$.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Trong mặt phẳng $Oxy$, tìm $m$ để hai vectơ $\vec{u} = (m; 3)$ và $\vec{v} = (2; -4)$ vuông góc với nhau.

💡 Xem lời giải

• $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff m(2) + 3(-4) = 0 \iff 2m - 12 = 0 \iff m = 6$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 3), B(-2; -1), C(4; -1)$.

a) Tính độ dài ba cạnh và diện tích tam giác $ABC$.

b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.

💡 Xem lời giải

a) $BC = \sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-(-1))^2} = 6$. Cạnh $BC$ nằm trên đường thẳng $y = -1$. Chiều cao $h_A = 3 - (-1) = 4 \Rightarrow S = \frac{1}{2}(6)(4) = 12$.

b) Gọi $H(x; y)$. Ta có hệ: $\begin{cases} \vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0 \\ \vec{BH} \cdot \vec{AC} = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} (x-1)(6) + (y-3)(0) = 0 \\ (x+2)(3) + (y+1)(-4) = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 1 \\ 3(3) - 4y - 4 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 1 \\ y = \frac{5}{4} \end{cases}$.

Vậy $H\left(1; \frac{5}{4}\right)$.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Tích vô hướng của hai vectơ. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới