🛠️ Công cụ

Bài 5: Phép dời hình

Định nghĩa phép dời hình, hai hình bằng nhau và hợp thành của các phép biến hình — Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Bài 5: Phép dời hình

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Định nghĩa phép dời hình

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

  • Nếu M,N→fM′,N′M, N \xrightarrow{f} M', N' thì M′N′=MNM'N' = MN.
  • Các phép dời hình đã học: Tịnh tiến, Đối xứng trục, Đối xứng tâm, Phép quay.
📋 2. Hợp thành của các phép biến hình

Hợp thành của hai phép biến hình ff và gg là một phép biến hình thực hiện liên tiếp ff rồi đến gg.

  • Tính chất: Hợp thành của hai (hoặc nhiều) phép dời hình cũng là một phép dời hình.
⚡ 3. Hai hình bằng nhau

Định nghĩa: Hai hình H\mathcal{H} và H′\mathcal{H}' được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến H\mathcal{H} thành H′\mathcal{H}'.

  • Phép dời hình biến: Đường thẳng thành đường thẳng; Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó; Tam giác thành tam giác bằng nó; Đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Kỹ năng làm bài phép dời hình
  1. Thực hiện liên tiếp các phép biến hình: Áp dụng quy tắc của phép thứ nhất lên điểm đầu, rồi lấy kết quả làm điểm đầu cho phép thứ hai.
  2. Chứng minh hai hình bằng nhau: Tìm một dãy các phép dời hình biến hình này thành hình kia (tịnh tiến đưa về gần, quay hoặc đối xứng để trùng khít).
  3. Sử dụng tính chất bảo toàn: Khoảng cách, góc, diện tích.
🔍 Ví dụ 1: Thực hiện liên tiếp hai phép biến hình

Trong mặt phẳng OxyOxy, cho điểm A(1;2)A(1; 2). Thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo v⃗=(2;1)\vec{v} = (2; 1) và phép đối xứng qua trục OxOx. Tìm tọa độ ảnh cuối cùng của AA.

💡 Xem lời giải
  • Bước 1: Phép tịnh tiến Tv⃗(A)=A1T_{\vec{v}}(A) = A_1: {x1=1+2=3y1=2+1=3⇒A1(3;3)\begin{cases} x_1 = 1 + 2 = 3 \\ y_1 = 2 + 1 = 3 \end{cases} \Rightarrow A_1(3; 3).
  • Bước 2: Phép đối xứng trục DOx(A1)=A2D_{Ox}(A_1) = A_2: {x2=x1=3y2=−y1=−3⇒A2(3;−3)\begin{cases} x_2 = x_1 = 3 \\ y_2 = -y_1 = -3 \end{cases} \Rightarrow A_2(3; -3). Vậy ảnh cuối cùng là A′(3;−3)A'(3; -3).
🔍 Ví dụ 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau

Cho hình vuông ABCDABCD. Gọi M,N,P,QM, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DAAB, BC, CD, DA. Chứng minh hai tam giác AMPAMP và CNQCNQ bằng nhau.

💡 Xem lời giải
  • Xét phép đối xứng qua tâm OO của hình vuông:
    • DO(A)=CD_O(A) = C, DO(M)=PD_O(M) = P, DO(P)=MD_O(P) = M.
  • Do đó DO(△AMP)=△CPMD_O(\triangle AMP) = \triangle CPM.
  • Tiếp tục xét các phép tịnh tiến hoặc quay phù hợp.
  • Cách khác: Ta có AM=CNAM = CN, AP=CQAP = CQ, MP=NQMP = NQ (bằng các phép tính độ dài hoặc tính chất hình vuông). Vì 3 cạnh tương ứng bằng nhau nên tồn tại phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia.
🔍 Ví dụ 3: Ảnh của đường tròn qua hợp thành

Tìm ảnh của (C):(x−1)2+(y+1)2=1(C): (x-1)^2 + (y+1)^2 = 1 qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện phép quay Q(O,90∘)Q_{(O, 90^\circ)} rồi phép tịnh tiến theo v⃗=(1;0)\vec{v} = (1; 0).

💡 Xem lời giải
  • Tâm (C)(C) là I(1;−1)I(1; -1), bán kính R=1R = 1.
  • Qua Q(O,90∘)Q_{(O, 90^\circ)}: I(1;−1)→I1(1;1)I(1; -1) \to I_1(1; 1).
  • Qua Tv⃗(1;0)T_{\vec{v}}(1; 0): I1(1;1)→I2(2;1)I_1(1; 1) \to I_2(2; 1).
  • Bán kính R′=R=1R' = R = 1.
  • Phương trình ảnh: (x−2)2+(y−1)2=1(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Hợp thành của hai phép tịnh tiến là phép gì?
Câu 2:Hợp thành của hai phép đối xứng tâm $D_I$ và $D_J$ với $I \neq J$ là:
Đúng / Sai
Câu 3Xét tính đúng/sai của các nội dung sau về phép dời hình:
a)Phép dời hình bảo toàn thứ tự ba điểm thẳng hàng.
b)Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau.
c)Phép dời hình biến góc thành góc bằng nó.
d)Phép vị tự tỉ số k = -1 là một phép dời hình.
Câu 4:Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua Oy rồi tịnh tiến theo $\vec{v}=(2; 0)$. Điểm $M(1; 5)$ biến thành điểm nào?

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho tam giác ABCABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDEABDE và ACFGACFG. Chứng minh CE=BGCE = BG và CE⊥BGCE \perp BG.

💡 Lời giải

Xét phép quay Q(A,90∘)Q_{(A, 90^\circ)}:

  • Biến E→BE \to B (do AE=ABAE = AB and góc 90∘90^\circ).
  • Biến C→GC \to G (do AC=AGAC = AG and góc 90∘90^\circ).
  • Do đó Q(A,90∘)Q_{(A, 90^\circ)} biến đoạn thẳng EC→BGEC \to BG.
  • Theo tính chất phép quay: BG=ECBG = EC and góc giữa EC,BGEC, BG bằng góc quay 90∘90^\circ.

Câu 2. Trong mặt phẳng OxyOxy, cho đường thẳng d:x−y+1=0d: x - y + 1 = 0. Tìm phương trình ảnh của dd qua phép dời hình thực hiện liên tiếp đối xứng qua trục OxOx và tịnh tiến theo v⃗=(1;2)\vec{v} = (1; 2).

💡 Lời giải
  • Qua DOxD_{Ox}: x′=x,y′=−yx' = x, y' = -y. Thay vào dd: x′−(−y′)+1=0⇔x+y+1=0x' - (-y') + 1 = 0 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0 (d1d_1).
  • Qua Tv⃗(1;2)T_{\vec{v}}(1; 2): x′′=x′+1,y′′=y′+2⇒x′=x′′−1,y′=y′′−2x'' = x' + 1, y'' = y' + 2 \Rightarrow x' = x'' - 1, y' = y'' - 2.
  • Thay vào d1d_1: (x′′−1)+(y′′−2)+1=0⇔x+y−2=0(x'' - 1) + (y'' - 2) + 1 = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0.
  • Vậy d′:x+y−2=0d': x + y - 2 = 0.

Câu 3. Cho hai hình vuông tùy ý. Chứng minh rằng chúng luôn bằng nhau nếu có cùng độ dài cạnh.

💡 Lời giải
  • Gọi hai hình vuông là ABCDABCD và A′B′C′D′A'B'C'D' có cạnh aa.
  • Thực hiện phép tịnh tiến biến tâm O→O′O \to O'.
  • Thực hiện phép quay tâm O′O' để các cạnh song song nhau.
  • Các hình vuông cùng cạnh aa, cùng tâm và các cạnh song song thì phải trùng nhau hoặc đối xứng qua trục.
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục