Ôn tập Chương VIII: Đại số tổ hợp

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Quy tắc cộng và Quy tắc nhân

Quy tắc cộng: Nếu một công việc có thể thực hiện theo một trong hai phương án loại trừ nhau (phương án A có $n$ cách, phương án B có $m$ cách) thì có $n + m$ cách hoàn thành công việc.
Quy tắc nhân: Nếu một công việc bao gồm hai công đoạn liên tiếp (công đoạn 1 có $n$ cách, công đoạn 2 có $m$ cách) thì có $n \times m$ cách hoàn thành công việc.

⚡ 2. Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp

Hoán vị ( $P_n$ ): Sắp xếp $n$ phần tử theo một thứ tự. $P_n = n! = n(n-1)\dots 1$ .
Chỉnh hợp ( $A_n^k$ ): Lấy ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử và có sắp xếp thứ tự. $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ ( $0 \leq k \leq n$ ).
Tổ hợp ( $C_n^k$ ): Lấy ra $k$ $k$ phần tử từ $n$ $n$ phần tử và không quan tâm thứ tự. $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ ( $0 \leq k \leq n$ $0 \leq k \leq n$ ).
- Tính chất: $C_n^k = C_n^{n-k}$ và $C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k = C_n^k$ (Tam giác Pascal).

⚡ 3. Nhị thức Newton

Khai triển $(a+b)^n$ với $n$ nhỏ (thường $n \leq 5$ trong chương trình lớp 10):

$(a+b)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3b + C_4^2 a^2b^2 + C_4^3 ab^3 + C_4^4 b^4$
$(a+b)^5 = C_5^0 a^5 + C_5^1 a^4b + C_5^2 a^3b^2 + C_5^3 a^2b^3 + C_5^4 ab^4 + C_5^5 b^5$
Nhận xét: Số các số hạng là $n+1$ . Tổng các số mũ của $a$ và $b$ luôn bằng $n$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Lưu ý khi làm bài:

Phân biệt Chỉnh hợp và Tổ hợp: Nếu đổi chỗ hai phần tử trong kết quả mà ta được một cách mới thì dùng Chỉnh hợp; nếu không thay đổi gì thì dùng Tổ hợp.
Bài toán lập số: Chú ý chữ số hàng cao nhất (không được bằng 0) và yêu cầu “khác nhau”.
Nhị thức Newton: Sử dụng số hạng tổng quát để tìm hệ số của một số hạng cụ thể.

🔍 Ví dụ 1: Quy tắc đếm cơ bản

Bạn Nam có 3 chiếc quần khác nhau và 5 chiếc áo khác nhau. a) Nam có bao nhiêu cách chọn một chiếc quần hoặc một chiếc áo? b) Nam có bao nhiêu bộ quần áo (gồm 1 quần và 1 áo)?

💡 Xem lời giải

a) Chọn một món đồ: Áp dụng quy tắc cộng: $3 + 5 = 8$ cách. b) Chọn một bộ: Áp dụng quy tắc nhân (phải chọn quần RỒI chọn áo): $3 \cdot 5 = 15$ cách.

🔍 Ví dụ 2: Bài toán lập số

Từ các chữ số $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau?

💡 Xem lời giải

Đây là bài toán chọn 3 chữ số từ 6 chữ số và sắp xếp chúng theo hàng trăm, chục, đơn vị. Sử dụng chỉnh hợp: $A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ số. Cách khác: Chọn hàng trăm (6 cách), hàng chục (5 cách), hàng đơn vị (4 cách) $\rightarrow 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ .

🔍 Ví dụ 3: Bài toán chọn đội/nhóm

Một tổ gồm 7 nam và 5 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm gồm 3 người sao cho có đúng 2 nam?

💡 Xem lời giải

Công việc gồm 2 công đoạn:

Chọn 2 nam từ 7 nam: $C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$ cách.
Chọn 1 nữ từ 5 nữ: $C_5^1 = 5$ cách. Theo quy tắc nhân: $21 \cdot 5 = 105$ cách.

🔍 Ví dụ 4: Khai triển nhị thức Newton

Khai triển $(x + 2)^4$ . Tìm hệ số của $x^2$ trong khai triển.

💡 Xem lời giải

Áp dụng công thức: $(x + 2)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3(2) + C_4^2 x^2(2^2) + C_4^3 x(2^3) + C_4^4 (2^4)$ $= 1x^4 + 4 \cdot 2x^3 + 6 \cdot 4x^2 + 4 \cdot 8x + 16$ $= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$ . Hệ số của $x^2$ là 24.

🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Mã pin điện thoại

Mật khẩu điện thoại của An gồm 4 chữ số (từ 0 đến 9). a) Có bao nhiêu mật khẩu có thể tạo ra? b) Có bao nhiêu mật khẩu mà các chữ số đôi một khác nhau?

💡 Xem lời giải

a) Mỗi vị trí có 10 lựa chọn (0-9). Tổng số: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10,000$ mật khẩu. b) Chọn 4 chữ số từ 10 và sắp xếp (có thứ tự vì mật khẩu là dãy số): $A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5,040$ mật khẩu.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Có 4 con đường đi từ thành phố A đến B, 5 con đường đi từ B đến C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C qua B?

Câu 2:Số hoán vị của một tập hợp có 5 phần tử là:

Câu 3:Công thức nào sau đây đúng?

Câu 4:Số tập con có 3 phần tử của tập hợp X có 10 phần tử là:

Câu 5:Số hạng thứ 3 trong khai triển $(a+b)^4$ (theo lũy thừa giảm dần của a) là:

Câu 6:Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh vào một dãy 6 ghế?

Đúng / Sai

Câu 7Cho các đẳng thức sau, xét tính đúng sai:

a)$C_5^2 = C_5^3$

b)$C_n^0 = 1$ với mọi $n geq 1$.

c)$A_n^n = P_n$

d)$(x-y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

Đúng / Sai

Câu 8Xét khai triển $(2x + 1)^5$. Đúng hay sai?

a)Khai triển có 6 số hạng.

b)Hệ số của $x^5$ là 32.

c)Số hạng tự do (không chứa x) là 1.

d)Tổng các hệ số trong khai triển là $2^5 = 32$.

Câu 9:Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ một lớp có 40 học sinh để làm lớp trưởng và lớp phó?

Câu 10:Tính giá trị của $C_6^1 + C_6^2$.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Một thực đơn sáng có 4 món ăn và 3 loại đồ uống. a) Có bao nhiêu cách chọn 1 bữa sáng gồm 1 món ăn và 1 loại đồ uống? b) Nếu một khách hàng chỉ muốn chọn 1 món (hoặc ăn hoặc uống), có bao nhiêu cách? c) Nếu có thêm 2 loại trái cây tráng miệng, một bữa sáng đầy đủ (ăn, uống, tráng miệng) có bao nhiêu cách? d) Bạn Nam muốn ăn 2 món khác nhau (không uống), có bao nhiêu cách chọn?

💡 Đáp án

a) $4 \times 3 = 12$ . b) $4 + 3 = 7$ . c) $4 \times 3 \times 2 = 24$ . d) $C_4^2 = 6$ .

Câu 2. Cho các chữ số $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . a) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số? b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau? c) Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau? d) Có bao nhiêu số lớn hơn 400 và có 3 chữ số khác nhau?

💡 Đáp án

a) $6 \times 7 \times 7 = 294$ . b) $6 \times 6 \times 5 = 180$ . c) Đuôi lẻ $\{1, 3, 5\}$ (3 cách). Đỉnh $6-1=5$ cách. Giữa 5 cách $\Rightarrow 3 \times 5 \times 5 = 75$ . d) Đầu $\{4, 5, 6\}$ (3 cách). Các chữ số khác nhau $\Rightarrow 3 \times 6 \times 5 = 90$ .

Câu 3. (Tổ hợp - Chọn nhóm) Một đội văn nghệ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. a) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 người để đi biểu diễn? b) Có bao nhiêu cách chọn 4 người sao cho có ít nhất 1 nữ? c) Có bao nhiêu cách chọn 4 người sao cho nam nữ bằng nhau? d) Có bao nhiêu cách chọn 1 đội trưởng, 1 đội phó và 2 thành viên?

💡 Đáp án

a) $C_{10}^4 = 210$ . b) $C_{10}^4 - C_6^4 = 210 - 15 = 195$ . c) $C_6^2 \times C_4^2 = 15 \times 6 = 90$ . d) $10 \times 9 \times C_8^2 = 90 \times 28 = 2520$ .

Câu 4. (Xếp hàng) Có 3 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang. a) Có bao nhiêu cách xếp tùy ý? b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho các học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau? c) Có bao nhiêu cách xếp sao cho 2 học sinh lớp C đứng ở hai đầu hàng? d) Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có hai học sinh lớp A nào đứng cạnh nhau?

💡 Đáp án

a) $9! = 362880$ . b) $3! \times (3! \times 4! \times 2!) = 1728$ . c) $2! \times 7! = 10080$ . d) Xếp 6 bạn (B, C) trước $\Rightarrow 6! = 720$ . Có 7 khe trống $\Rightarrow 720 \times A_7^3 = 151200$ .

Câu 5. Sử dụng nhị thức Newton khai triển các biểu thức sau: a) $(x + 3)^4$ b) $(2x - 1)^5$ c) $(x^2 + 2)^4$ d) $(x - \frac{1}{x})^4$ (với $x \neq 0$ )

💡 Đáp án

a) $x^4+12x^3+54x^2+108x+81$ . b) $32x^5-80x^4+80x^3-40x^2+10x-1$ . c) $x^8+8x^6+24x^4+32x^2+16$ . d) $x^4-4x^2+6-4/x^2+1/x^4$ .

Câu 6. Tìm giá trị thỏa mãn phương trình: a) $C_n^2 = 15$ b) $A_n^2 - C_n^2 = 10$ c) $n! = 720$ d) $C_n^{n-1} + C_n^{n-2} = 21$

💡 Đáp án

a) $n=6$ . b) $n=5$ . c) $n=6$ . d) $n+n(n-1)/2=21 \Rightarrow n^2+n-42=0 \Rightarrow n=6$ .

Câu 7. (Thực tế - Mã hóa) Một biển số xe gồm 2 chữ cái (từ bảng 26 chữ cái tiếng Anh) theo sau bởi 4 chữ số (0-9). a) Có bao nhiêu biển số xe khác nhau có thể được tạo ra? b) Có bao nhiêu biển số mà các chữ cái và chữ số đều đôi một khác nhau? c) Có bao nhiêu biển số bắt đầu bằng chữ ‘HN’? d) Có bao nhiêu biển số mà tổng 4 chữ số bằng 2?

💡 Đáp án

a) $26^2 \times 10^4 = 6760000$ . b) $A_{26}^2 \times A_{10}^4 = 3276000$ . c) $10^4 = 10000$ . d) Các bộ $\{2,0,0,0\}$ (4 cách), $\{1,1,0,0\}$ (6 cách). Tổng 10 cách.

Câu 8. (Nhị thức Newton nâng cao) Tìm hệ số của: a) $x^3$ trong khai triển $(x + 2)^5$ . b) $x^4$ trong khai triển $(3x - 2)^4$ . c) Số hạng không chứa x trong $(2x + \frac{1}{x^2})^3$ . d) Tìm tổng tất cả các hệ số trong khai triển $(5x - 4)^5$ .

💡 Đáp án

a) $C_5^2 \times 2^2 = 40$ . b) $3^4 = 81$ . c) Số hạng tự do: $C_3^1(2x)^2(1/x^2) = 3 \times 4 = 12$ . d) $(5-4)^5 = 1$ .

Câu 9. (Thực tế - Trò chơi) Một bộ bài có 52 lá. Rút ngẫu nhiên 5 lá. a) Có bao nhiêu cách rút khác nhau? b) Có bao nhiêu cách rút được 5 lá cùng chất (ví dụ cùng là Cơ)? c) Có bao nhiêu cách rút được 4 lá Át? d) Có bao nhiêu cách rút được ít nhất 1 lá Át?

💡 Đáp án

a) $C_{52}^5 = 2598960$ . b) $4 \times C_{13}^5 = 5148$ . c) $C_4^4 \times 48 = 48$ . d) $C_{52}^5 - C_{48}^5 = 886656$ .

Câu 10. (Tổng hợp) Chứng minh các hệ thức sau bằng cách sử dụng công thức tổ hợp hoặc ý nghĩa của nó: a) $C_n^k = C_n^{n-k}$ b) $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$ c) $C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n$ d) $C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^n C_n^n = 0$

💡 Đáp án

a) Tính chất đối xứng. b) Phân tích từ công thức $n!$ . c, d) Khai triển $(1+1)^n$ và $(1-1)^n$ .

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 8 - Toán 10

Ôn tập Chương VIII: Đại số tổ hợp

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm