Ôn chương 9 - Toán 11
Lý thuyết tổng hợp và bài tập có lời giải Ôn chương 9 - Toán 11 — SGK Toán 11 Kết nối tri thức.
I. Tóm tắt kiến thức trọng tâm Chương IX
- Định nghĩa: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.
- Ý nghĩa hình học: $k = f'(x_0)$ là hệ số góc tiếp tuyến. PTTT: $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$.
- Ý nghĩa vật lí: $v(t) = s'(t)$ (vận tốc tức thời), $a(t) = v'(t) = s''(t)$ (gia tốc tức thời).
- Các quy tắc: $(u \pm v)' = u' \pm v'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $(u/v)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
- Hàm hợp: $y'_x = y'_u \cdot u'_x$.
II. Tổng hợp công thức đạo hàm
| Hàm sơ cấp | Đạo hàm | Hàm hợp $u(x)$ | Đạo hàm hàm hợp |
|---|---|---|---|
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ | $u^n$ | $n u^{n-1} \cdot u'$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\sqrt{u}$ | $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\sin u$ | $u' \cos u$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\cos u$ | $-u' \sin u$ |
| $\tan x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan u$ | $\dfrac{u'}{\cos^2 u}$ |
🔷 Dạng 1: Tính đạo hàm các hàm số
Áp dụng linh hoạt các quy tắc tổng, hiệu, tích, thương và quy tắc đạo hàm hàm hợp.
Tính đạo hàm của $y = (x^2 + 1)^3$.
Xem lời giải
$y' = 3(x^2 + 1)^2 (2x) = 6x(x^2 + 1)^2$.
Tính đạo hàm của $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x + 1}$.
Xem lời giải
$y' = \dfrac{(2x-1)(x+1) - (x^2-x+1)(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{2x^2 + x - 1 - x^2 + x - 1}{(x+1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x - 2}{(x+1)^2}$.
📝 Thực hành — Dạng 1
Tính đạo hàm của $y = \sqrt{2x^2 + 3}$.
Xem lời giải
$y' = \dfrac{4x}{2\sqrt{2x^2+3}} = \dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+3}}$.
Tính đạo hàm của $y = \sin^2(3x)$.
Xem lời giải
$y' = 2 \sin(3x) \cdot 3\cos(3x) = 3 \sin(6x)$.
🔷 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến
Dùng $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$.
Viết PTTT của đồ thị $y = x^3 - 3x^2 + 2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.
Xem lời giải
• $y(1) = 0 \Rightarrow M_0(1; 0)$.
• $y' = 3x^2 - 6x \Rightarrow k = y'(1) = -3$.
• PTTT: $y = -3(x - 1) + 0 \Leftrightarrow y = -3x + 3$.
Viết PTTT của $y = x^2 - 4x + 1$ biết tiếp tuyến vuông góc với $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
Xem lời giải
• Vuông góc $\Rightarrow k = 2$.
• $2x_0 - 4 = 2 \Leftrightarrow x_0 = 3 \Rightarrow y_0 = -2$.
• PTTT: $y = 2(x - 3) - 2 \Leftrightarrow y = 2x - 8$.
📝 Thực hành — Dạng 2
Viết PTTT của $y = \dfrac{x+2}{x-1}$ tại điểm có tung độ $y_0 = 4$.
Xem lời giải
$\dfrac{x+2}{x-1} = 4 \Leftrightarrow x+2 = 4x-4 \Leftrightarrow x_0 = 2$. $y' = \dfrac{-3}{(x-1)^2} \Rightarrow k = -3 \Rightarrow y = -3(x-2)+4 = -3x + 10$.
Tìm hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất của đồ thị $y = x^3 - 3x^2 + 5x - 1$.
Xem lời giải
$k = y' = 3x^2 - 6x + 5 = 3(x-1)^2 + 2 \ge 2 \Rightarrow k_{\min} = 2$ tại $x_0 = 1$.
🔷 Dạng 3: Giải PT, BPT liên quan đến đạo hàm
Tính $y'$ hoặc $y''$ rồi giải phương trình hoặc bất phương trình đại số.
Giải bất phương trình $y' + y'' \ge 0$ với $y = x^3 - 3x^2 + 1$.
Xem lời giải
• $y' = 3x^2 - 6x$. $y'' = 6x - 6$.
• $y' + y'' = 3x^2 - 6 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 \ge 2 \Leftrightarrow x \le -\sqrt{2}$ hoặc $x \ge \sqrt{2}$.
Giải phương trình $y' = 0$ với $y = \sin 2x - 2\sin x$.
Xem lời giải
• $y' = 2\cos 2x - 2\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos x \Leftrightarrow 2x = \pm x + k2\pi$.
• $x = k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{k2\pi}{3}$ ($k \in \mathbb{Z}$).
📝 Thực hành — Dạng 3
Giải bất phương trình $y' > 0$ với $y = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2$.
Xem lời giải
$y' = x^2 - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x < -1$ hoặc $x > 3$.
Tìm $m$ để $f'(x) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ biết $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + 4x - 1$.
Xem lời giải
$f'(x) = x^2 - 2mx + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \Delta' = m^2 - 4 \le 0 \Leftrightarrow -2 \le m \le 2$.
🔷 Dạng 4: Bài toán vận tốc & gia tốc tức thời
$v(t) = s'(t)$ và $a(t) = s''(t)$.
Một chuyển động có $s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$ (m). Tìm vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian $t \in [0; 3]$.
Xem lời giải
• $v(t) = 6t^2 - 18t + 12$.
• Trên $[0; 3]$: $v(0) = 12, v(1.5) = -1.5, v(3) = 12 \Rightarrow v_{\max} = 12$ m/s.
Tính gia tốc tại thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất ở Ví dụ 1.
Xem lời giải
Tại $t = 3$: $a(3) = v'(3) = 12(3) - 18 = 18 \text{ m/s}^2$.
📝 Thực hành — Dạng 4
Phương trình chuyển động $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 1$. Vận tốc đạt cực đại tại thời điểm nào?
Xem lời giải
$v(t) = -3t^2 + 18t = -3(t-3)^2 + 27 \le 27 \Rightarrow v_{\max} = 27$ m/s tại $t = 3$ s.
Gia tốc của vật ở Bài tập 4.1 tại thời điểm đạt vận tốc cực đại bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
$a(3) = v'(3) = -6(3) + 18 = 0 \text{ m/s}^2$.
📝 Bài tập tự luận — Ôn tập tổng hợp
Bài 1. Tính đạo hàm của $y = 3x^4 - 5x^2 + 2$.
Xem lời giải
$12x^3 - 10x$.
Bài 2. Tính đạo hàm của $y = \dfrac{2x-1}{x+3}$.
Xem lời giải
$\dfrac{7}{(x+3)^2}$.
Bài 3. Tính đạo hàm của $y = (x^3 + 2)^4$.
Xem lời giải
$12x^2(x^3+2)^3$.
Bài 4. Tính đạo hàm của $y = \sin(4x)$.
Xem lời giải
$4\cos(4x)$.
Bài 5. Viết PTTT của $y = x^2 - 2x$ tại $x_0 = 3$.
Xem lời giải
$y_0 = 3, y' = 2x-2 \Rightarrow k = 4 \Rightarrow y = 4x - 9$.
Bài 6. Tính đạo hàm cấp hai của $y = x^4 - 3x^2$.
Xem lời giải
$12x^2 - 6$.
Bài 7. Cho $s(t) = t^3 - 3t^2 + 5t$. Tính gia tốc tại $t = 2$.
Xem lời giải
$v(t) = 3t^2-6t+5 \Rightarrow a(t) = 6t-6 \Rightarrow a(2) = 6$.
Bài 8. Nêu mối liên hệ giữa $v(t), a(t)$ và $s(t)$.
Xem lời giải
$v(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)$.
Bài 9. Giải phương trình $y' = 0$ với $y = x^3 - 12x$.
Xem lời giải
$3x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$.
Bài 10. Nếu tiếp tuyến song song với $y = 3x - 1$ thì hệ số góc tiếp tuyến $k$ bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
$k = 3$.
🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Chương IX. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương IX
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →