Câu 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $y = 2x^5 - \frac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} - 1$ b) $y = (x^2 + 1)(x^3 - 2)$ c) $y = \frac{3x - 2}{2x + 1}$ d) $y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 2}$

Câu 2. Tính đạo hàm hàm hợp và hàm lượng giác: a) $y = (2x + 1)^{10}$ b) $y = \sqrt{x^2 + 4}$ c) $y = \sin^2 x$ d) $y = \tan(3x + \frac{\pi}{4})$

Câu 3. Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$. a) Tính $y'$ và $y''$. b) Giải phương trình $y' = 0$. c) Giải bất phương trình $y'' > 0$. d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung.

Câu 4. (Thực tế - Chuyển động) Một quả bóng được ném thẳng đứng từ mặt đất lên với vận tốc ban đầu 20 m/s. Độ cao $h$ (m) sau $t$ (s) là $h(t) = 20t - 5t^2$. a) Tìm công thức vận tốc tức thời $v(t)$. b) Sau bao lâu quả bóng đạt độ cao lớn nhất? (Khi đó vận tốc bằng 0). c) Độ cao lớn nhất là bao nhiêu? d) Tính gia tốc chuyển động. Nhận xét về gia tốc này.

Câu 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: a) $y = x^2 - x + 1$ tại điểm $M(1; 1)$. b) $y = \frac{x+1}{x-1}$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$. c) $y = \sqrt{x}$ tại điểm có tung độ $y_0 = 2$. d) $y = \sin x$ tại gốc tọa độ O.

Câu 6. (Thực tế - Kinh tế) Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $C(x) = 0{,}1x^2 + 50x + 1000$ (nghìn đồng). a) Tính chi phí biên $C'(x)$. b) Tính $C'(100)$ và giải thích ý nghĩa (chi phí để sản xuất thêm sản phẩm thứ 101). c) Tính chi phí trung bình $\bar{C}(x) = C(x)/x$. d) Tìm $x$ để chi phí biên bằng chi phí trung bình.

Câu 7. Chứng minh các hệ thức: a) Với $y = e^x \sin x$, chứng minh $y'' - 2y' + 2y = 0$. b) Với $y = \sqrt{2x - x^2}$, chứng minh $y^3 y'' + 1 = 0$. c) Với $y = \ln(1 + e^x)$, chứng minh $y' = 1 - \frac{1}{1 + e^x}$. d) Với $y = \tan x$, chứng minh $y' = 1 + y^2$.

Câu 8. (Thực tế - Sinh học) Dân số một bầy vi khuẩn sau $t$ giờ là $P(t) = 500(1 + \frac{4t}{t^2 + 10})$. a) Tính tốc độ tăng trưởng của bầy vi khuẩn tại $t = 2$ giờ. b) Tại thời điểm nào tốc độ tăng trưởng bằng 0? c) Dân số vi khuẩn thay đổi thế nào sau một thời gian rất dài? d) Tìm thời điểm dân số vi khuẩn đạt cực đại.

Câu 9. Giải phương trình và bất phương trình: a) Tìm $x$ để $f'(x) = 0$ với $f(x) = x e^{-x}$. b) Tìm $x$ để $g'(x) > 0$ với $g(x) = \frac{x^2}{x+1}$. c) Tìm $x$ để $h''(x) = 0$ with $h(x) = \cos 2x + 2\sin x$. d) Cho $f(x) = \sin 3x + 1$. Giải $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \pi]$.

Câu 10. (Tổng hợp) Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. a) Tìm $a, b$ biết $(C)$ cắt $Oy$ tại $(0; 1)$ and tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng $y = x$. b) Với $a, b$ vừa tìm được, tìm các điểm trên $(C)$ có tiếp tuyến vuông góc with đường thẳng $y = -x + 5$. c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của $(C)$ đi qua điểm đặc biệt nào đó (tùy chọn). d) Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y = \frac{1}{x+1}$.