🛠️ Công cụ

Bài 2: Phép tịnh tiến

Định nghĩa, biểu thức tọa độ và tính chất của phép tịnh tiến — Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Bài 2: Phép tịnh tiến

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Định nghĩa

Cho vectơ v⃗\vec{v}. Phép biến hình biến mỗi điểm MM thành điểm M′M' sao cho MM′⃗=v⃗\vec{MM'} = \vec{v} được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v⃗\vec{v}.

  • Kí hiệu: Tv⃗T_{\vec{v}}.
  • Tv⃗(M)=M′⇔MM′⃗=v⃗T_{\vec{v}}(M) = M' \Leftrightarrow \vec{MM'} = \vec{v}.
⚡ 2. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng OxyOxy, cho v⃗=(a;b)\vec{v} = (a; b) và M(x;y)M(x; y). Nếu M′(x′;y′)=Tv⃗(M)M'(x'; y') = T_{\vec{v}}(M) thì:

{x′=x+ay′=y+b\begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}
⚡ 3. Tính chất
  • Phép tịnh tiến là một phép dời hình (bảo toàn khoảng cách).
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
  • Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
  • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Kỹ năng tìm ảnh qua phép tịnh tiến
  1. Tìm ảnh của điểm: Dùng trực tiếp biểu thức tọa độ: x′=x+a,y′=y+bx' = x+a, y' = y+b.
  2. Tìm ảnh của đường thẳng:
    • Cách 1: Thay x=x′−a,y=y′−bx = x'-a, y = y'-b vào phương trình đường thẳng.
    • Cách 2: Lấy một điểm thuộc đường thẳng, tìm ảnh, rồi viết phương trình đường thẳng mới song song với đường thẳng cũ.
  3. Tìm ảnh của đường tròn: Chỉ cần tịnh tiến tâm II, giữ nguyên bán kính RR.
🔍 Ví dụ 1: Tìm ảnh của điểm

Cho điểm A(3;−2)A(3; -2) và vectơ v⃗=(1;4)\vec{v} = (1; 4). Tìm tọa độ điểm A′A' là ảnh của AA qua phép tịnh tiến Tv⃗T_{\vec{v}}.

💡 Xem lời giải

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: {xA′=xA+a=3+1=4yA′=yA+b=−2+4=2\begin{cases} x_{A'} = x_A + a = 3 + 1 = 4 \\ y_{A'} = y_A + b = -2 + 4 = 2 \end{cases} Vậy ảnh của AA là A′(4;2)A'(4; 2).

🔍 Ví dụ 2: Tìm ảnh của đường thẳng

Trong mặt phẳng OxyOxy, cho đường thẳng d:2x−y+5=0d: 2x - y + 5 = 0. Tìm ảnh của dd qua phép tịnh tiến theo vectơ v⃗=(2;−3)\vec{v} = (2; -3).

💡 Xem lời giải

Gọi M(x;y)∈dM(x; y) \in d và M′(x′;y′)∈d′M'(x'; y') \in d' là ảnh của MM qua Tv⃗T_{\vec{v}}. Ta có: {x′=x+2⇒x=x′−2y′=y−3⇒y=y′+3\begin{cases} x' = x + 2 \Rightarrow x = x' - 2 \\ y' = y - 3 \Rightarrow y = y' + 3 \end{cases} Thay x,yx, y vào phương trình của dd: 2(x′−2)−(y′+3)+5=0⇔2x′−4−y′−3+5=0⇔2x′−y′−2=02(x' - 2) - (y' + 3) + 5 = 0 \Leftrightarrow 2x' - 4 - y' - 3 + 5 = 0 \Leftrightarrow 2x' - y' - 2 = 0. Vậy phương trình đường thẳng ảnh là d′:2x−y−2=0d': 2x - y - 2 = 0.

🔍 Ví dụ 3: Tìm ảnh của đường tròn

Tìm ảnh của đường tròn (C):(x+1)2+(y−2)2=9(C): (x+1)^2 + (y-2)^2 = 9 qua phép tịnh tiến theo vectơ v⃗=(−2;1)\vec{v} = (-2; 1).

💡 Xem lời giải
  • Đường tròn (C)(C) có tâm I(−1;2)I(-1; 2) và bán kính R=3R = 3.
  • Gọi I′(x′;y′)I'(x'; y') là ảnh của II qua Tv⃗T_{\vec{v}}: {x′=−1+(−2)=−3y′=2+1=3⇒I′(−3;3)\begin{cases} x' = -1 + (-2) = -3 \\ y' = 2 + 1 = 3 \end{cases} \Rightarrow I'(-3; 3).
  • Vì phép tịnh tiến bảo toàn bán kính nên đường tròn ảnh (C′)(C') có tâm I′(−3;3)I'(-3; 3) và R′=3R' = 3.
  • Phương trình (C′):(x+3)2+(y−3)2=9(C'): (x+3)^2 + (y-3)^2 = 9.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Trong mặt phẳng Oxy, cho $T_{\vec{v}}(A) = B$. Nếu $A(1; 2)$ và $\vec{v} = (3; -1)$ thì tọa độ B là:
Câu 2:Phép tịnh tiến biến đường tròn tâm $I$ bán kính $R$ thành đường tròn tâm $I'$ bán kính $R'$ thỏa mãn:
Đúng / Sai
Câu 3Cho vectơ $\vec{v} \neq \vec{0}$. Xét các khẳng định sau:
a)Phép tịnh tiến $T_{ ec{v}}$ không có điểm bất động.
b)Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng trùng nó.
c)Nếu $T_{ ec{v}}(M) = M'$ thì $ ec{MM'} = ec{v}$.
d)Phép tịnh tiến $T_{ ec{0}}$ là phép đồng nhất.
Câu 4:Tìm hoành độ $a$ của vectơ $\vec{v} = (a; b)$ biết phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$ biến $A(1; 2)$ thành $B(5; -1)$.

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho tam giác ABCABC. Xác định ảnh của tam giác ABCABC qua phép tịnh tiến theo vectơ BC⃗\vec{BC}.

💡 Lời giải

Ảnh của tam giác ABCABC là tam giác A′B′C′A'B'C' sao cho AA′⃗=BB′⃗=CC′⃗=BC⃗\vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'} = \vec{BC}.

  • Khi đó B′≡CB' \equiv C.
  • Điểm A′A' sao cho BCAA′BCAA' là hình bình hành.
  • Điểm C′C' sao cho CC′⃗=BC⃗\vec{CC'} = \vec{BC}.

Câu 2. Trong mặt phẳng OxyOxy, cho đường thẳng d:x+2y−1=0d: x + 2y - 1 = 0 và vectơ v⃗=(2;m)\vec{v} = (2; m). Tìm mm để phép tịnh tiến Tv⃗T_{\vec{v}} biến dd thành chính nó.

💡 Lời giải

Để Tv⃗(d)=dT_{\vec{v}}(d) = d thì v⃗\vec{v} phải là vectơ chỉ phương của dd (hoặc 0⃗\vec{0}).

  • Vectơ pháp tuyến của dd là n⃗=(1;2)\vec{n} = (1; 2).
  • Vectơ chỉ phương u⃗=(2;−1)\vec{u} = (2; -1).
  • So sánh v⃗=(2;m)\vec{v} = (2; m) với u⃗=(2;−1)\vec{u} = (2; -1), ta thấy m=−1m = -1.

Câu 3. Cho hai đường tròn bằng nhau (C)(C) và (C′)(C'). Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến (C)(C) thành (C′)(C')?

💡 Lời giải

Duy nhất một phép tịnh tiến. Đó là phép tịnh tiến theo vectơ II′⃗\vec{II'}, trong đó I,I′I, I' lần lượt là tâm của (C)(C) và (C′)(C').

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục