Ôn chương 2 - Toán 10 — Sách Toán THPT

I. Hệ thống lý thuyết trọng tâm Chương II

⚡ Hệ thống hóa BPT & Hệ BPT bậc nhất hai ẩn

BPT bậc nhất hai ẩn: $ax + by + c \le 0$ ($a, b$ không đồng thời bằng 0). Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d: ax + by + c = 0$.
Hệ BPT bậc nhất hai ẩn: Gồm từ 2 BPT trở lên. Miền nghiệm là phần mặt phẳng chung chứa nghiệm của tất cả BPT.
Bài toán Quy hoạch tuyến tính: Biểu thức $F(x, y) = a x + b y$ đạt GTLN và GTNN trên miền đa giác nghiệm tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Sơ đồ tổng quan miền đa giác nghiệm tứ giác $OABC$ trên hệ trục $Oxy$.

💡 Mô phỏng 1: Miền tứ giác OABC chứa các điểm nghiệm khả thi.

III. Các dạng toán ôn tập tổng hợp (Mỗi dạng kèm 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Kiểm tra điểm thuộc miền nghiệm của BPT và Hệ BPT

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Thay tọa độ $(x_0, y_0)$ vào BPT/Hệ BPT để kiểm tra tính đúng sai.

🔍 Ví dụ 1.1 (Kiểm tra điểm thuộc BPT)

Điểm $A(2; 1)$ có thuộc miền nghiệm của $3x - 2y + 1 > 0$ không?

💡Xem lời giải

• Thay $(2; 1)$: $3(2) - 2(1) + 1 = 5 > 0$ (đúng) $\Rightarrow A(2; 1)$ thuộc miền nghiệm.

🔍 Ví dụ 1.2 (Kiểm tra điểm thuộc hệ BPT)

Điểm $B(1; 2)$ có thuộc miền nghiệm của hệ $\begin{cases} x + y \le 4 \\ 2x - y \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$ không?

💡Xem lời giải

• Thay $(1; 2)$: $1 + 2 = 3 \le 4$ (đúng); $2(1) - 2 = 0 \ge 0$ (đúng); $1 \ge 0$ (đúng).

• $B(1; 2)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

🔍 Ví dụ 1.3 (Kiểm tra gốc tọa độ)

Điểm $O(0; 0)$ có thuộc miền nghiệm của hệ $\begin{cases} x - y + 1 > 0 \\ 2x + 3y - 6 < 0 \end{cases}$ không?

💡Xem lời giải

• $0 - 0 + 1 = 1 > 0$ (đúng) và $0 + 0 - 6 = -6 < 0$ (đúng) $\Rightarrow O(0; 0)$ thuộc miền nghiệm.

Dạng 2: Biểu diễn miền nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Vẽ đường bờ $a x + b y + c = 0$, thử $O(0; 0)$ để xác định nửa mặt phẳng nghiệm.

🔍 Ví dụ 2.1 (Biểu diễn 2x + y ≤ 4)

Biểu diễn miền nghiệm của BPT $2x + y \le 4$ trên mặt phẳng tọa độ.

💡Xem lời giải

• Đường bờ $d: 2x + y = 4$ qua $(2; 0)$ và $(0; 4)$.

• Thay $O(0; 0)$: $0 \le 4$ (đúng) $\Rightarrow$ Nửa mặt phẳng chứa $O$, kể cả bờ $d$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Biểu diễn x - 3y > 3)

Biểu diễn miền nghiệm của $x - 3y > 3$.

💡Xem lời giải

• Bờ $d: x - 3y = 3$ qua $(3; 0)$ và $(0; -1)$. Thay $O(0; 0): 0 > 3$ (sai).

• Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $O$, không kể bờ $d$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Biểu diễn y < -x)

Biểu diễn miền nghiệm của BPT $x + y < 0$.

💡Xem lời giải

• Đường bờ $d: y = -x$ qua $(0; 0)$ và $(1; -1)$. Thử $M(1; 0) \Rightarrow 1 + 0 = 1 < 0$ (sai).

• Nửa mặt phẳng không chứa $M(1; 0)$, không kể bờ $d$.

Dạng 3: Biểu diễn miền nghiệm của Hệ BPT bậc nhất hai ẩn

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Gạch bỏ phần mặt phẳng sai của từng BPT để tìm miền nghiệm chung.

🔍 Ví dụ 3.1 (Biểu diễn miền nghiệm hình tam giác)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 6 \end{cases}$.

💡Xem lời giải

• Tam giác vuông có các đỉnh $O(0; 0), A(6; 0), B(0; 3)$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Biểu diễn miền nghiệm tứ giác)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ $\begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ 0 \le y \le 3 \\ x + y \le 5 \end{cases}$.

💡Xem lời giải

• Hình ngũ giác có các đỉnh $O(0; 0), A(4; 0), B(4; 1), C(2; 3), D(0; 3)$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Hệ BPT vô nghiệm)

Chứng minh hệ BPT $\begin{cases} x + y \le 1 \\ x + y \ge 3 \end{cases}$ không có miền nghiệm.

💡Xem lời giải

• Không có điểm $(x, y)$ nào vừa thỏa $x + y \le 1$ vừa thỏa $x + y \ge 3 \Rightarrow$ Miền nghiệm bằng $\emptyset$.

Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức F(x, y) trên miền đa giác

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Tính $F$ tại tất cả các đỉnh đa giác miền nghiệm để tìm Max và Min.

🔍 Ví dụ 4.1 (Tìm GTLN của F = x + 3y)

Tìm GTLN của $F(x, y) = x + 3y$ trên miền tam giác có đỉnh $O(0; 0), A(3; 0), B(0; 2)$.

💡Xem lời giải

• $F(O) = 0$. $F(A) = 3$. $F(B) = 6$. GTLN bằng 6 tại $B(0; 2)$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Tìm GTNN của F = 2x - y)

Tìm GTNN của $F(x, y) = 2x - y$ trên miền tứ giác $A(1; 1), B(4; 1), C(3; 4), D(1; 3)$.

💡Xem lời giải

• $F(A) = 1, F(B) = 7, F(C) = 2, F(D) = -1 \Rightarrow F_{min} = -1$ tại $D(1; 3)$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Cực trị tại nhiều đỉnh)

Tìm GTLN của $F(x, y) = 2x + 2y$ trên miền tam giác $O(0; 0), A(4; 0), B(0; 4)$.

💡Xem lời giải

• $F(O)=0, F(A)=8, F(B)=8 \Rightarrow F_{max} = 8$ đạt tại mọi điểm trên cạnh $AB$.

Dạng 5: Bài toán thực tế Quy hoạch tuyến tính Tối ưu lợi nhuận

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Lập hệ BPT nguồn lực và hàm mục tiêu $F(x, y) = c_1 x + c_2 y \to Max$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Sản xuất 2 loại mặt hàng)

Công ty sản xuất mặt hàng A và B. Một sản phẩm A cần 3 giờ làm việc, lãi 50 USD. Một sản phẩm B cần 2 giờ làm việc, lãi 40 USD. Tổng số giờ làm tối đa là 180 giờ. Số sản phẩm B không quá 60. Tìm lợi nhuận tối đa.

💡Xem lời giải

• Hệ: $\begin{cases} x \ge 0, 0 \le y \le 60 \\ 3x + 2y \le 180 \end{cases}$. Đỉnh: $O(0;0), A(60;0), B(20;60), C(0;60)$.

• $F(x, y) = 50x + 40y$. $F(A)=3000, F(B)=3400, F(C)=2400$.

• Lãi tối đa = 3400 USD tại 20 sản phẩm A và 60 sản phẩm B.

🔍 Ví dụ 5.2 (Trồng rau trên trang trại)

Trồng 2 loại rau R1 và R2 trên 10 ha. Công chăm sóc R1 là 10 công/ha, R2 là 15 công/ha. Tổng số công không quá 120 công. Lợi nhuận R1 là 20 triệu/ha, R2 là 25 triệu/ha. Tìm diện tích trồng mỗi loại.

💡Xem lời giải

• $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ x + y \le 10 \\ 10x + 15y \le 120 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 24 \end{cases}$. Đỉnh: $O(0;0), A(10;0), B(6;4), C(0;8)$.

• $F(x, y) = 20x + 25y$. $F(A)=200, F(B)=220, F(C)=200$.

• Trồng 6 ha R1 và 4 ha R2 để đạt lợi nhuận tối đa 220 triệu đồng.

🔍 Ví dụ 5.3 (Thay đổi hệ số giá bán)

Trong Ví dụ 5.2, nếu lợi nhuận R2 tăng lên 35 triệu/ha, diện tích tối ưu thay đổi như thế nào?

💡Xem lời giải

• $F'(x, y) = 20x + 35y$. $F'(A)=200, F'(B)=260, F'(C)=280$.

• Trồng 0 ha R1 và 8 ha R2 đạt lợi nhuận tối đa 280 triệu đồng.

Dạng 6: Bài toán thực tế Tối thiểu hóa chi phí nguyên liệu

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Lập hệ BPT đáp ứng tiêu chuẩn $a x + b y \ge C$. Tìm $F_{min} = c_1 x + c_2 y$.

🔍 Ví dụ 6.1 (Tối thiểu hóa chi phí nguyên liệu gia súc)

Cần trộn hai loại thức ăn T1 (giá 10 USD/kg) và T2 (giá 8 USD/kg) sao cho chứa tối thiểu 40 đơn vị chất X và 30 đơn vị chất Y. Mỗi kg T1 có 4 đơn vị X và 2 đơn vị Y; mỗi kg T2 có 2 đơn vị X và 3 đơn vị Y. Tìm chi phí thấp nhất.

💡Xem lời giải

• BPT: $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ 4x + 2y \ge 40 \Leftrightarrow 2x + y \ge 20 \\ 2x + 3y \ge 30 \end{cases}$. Đỉnh miền mở: $A(0; 20), B(7.5; 5), C(15; 0)$.

• $F(x, y) = 10x + 8y$. $F(A)=160, F(B)=115, F(C)=150$.

• Chi phí thấp nhất là 115 USD khi dùng 7.5kg T1 và 5kg T2.

🔍 Ví dụ 6.2 (Thuê hai loại xe tải vận chuyển)

Cần chở ít nhất 100 người và 12 tấn hàng. Xe A chở 20 người, 1.5 tấn (giá 3 triệu). Xe B chở 10 người, 2 tấn (giá 2.5 triệu). Tìm chi phí nhỏ nhất.

💡Xem lời giải

• Chi phí nhỏ nhất đạt tại phương án thuê 4 xe A và 3 xe B với chi phí 19.5 triệu đồng.

🔍 Ví dụ 6.3 (Đánh giá phương án khi thay đổi chi phí)

Trong Ví dụ 6.2, nếu giá thuê xe A giảm xuống còn 2.2 triệu đồng/chuyến, phương án tối ưu có thay đổi không?

💡Xem lời giải

• $F'(x, y) = 2.2x + 2.5y$. Phương án chuyển sang tăng số xe A để tiết kiệm chi phí.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Bất phương trình nào sau đây **KHÔNG PHẢI** là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y + 4 \ge 0$?

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Miền nghiệm của hệ BPT $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 3 \end{cases}$ có diện tích bằng:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Cho $F(x, y) = 4x + 3y$. Giá trị lớn nhất của $F(x, y)$ trên miền tam giác nghiệm có các đỉnh $O(0; 0), A(3; 0), B(0; 4)$ là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Hệ BPT $\begin{cases} 2x + y \le 4 \\ x + 2y \le 4 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ có miền nghiệm là một đa giác mấy đỉnh?

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Đường thẳng bờ $d: 2x - y = 4$ đi qua hai điểm nào sau đây?

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cặp số $(x, y) = (2, 1)$ là nghiệm của hệ BPT nào sau đây?

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Nút thắt của quy hoạch tuyến tính 2 ẩn là gì?

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Một người bán hàng cần vận chuyển ít nhất 20 tấn hàng bằng xe container lớn (10 tấn/chuyến) và xe nhỏ (5 tấn/chuyến). Gọi $x, y$ là số chuyến xe lớn và nhỏ. BPT điều kiện là:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Cho $F(x, y) = x - y$. Giá trị nhỏ nhất của $F(x, y)$ trên miền đa giác $A(1; 1), B(4; 1), C(3; 4), D(0; 3)$ là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương II

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Chương II

📝 Bài tập tự luận Ôn tập Chương II (5 Bài lớn)

Bài 1. Biểu diễn miền nghiệm của BPT $2x - 3y + 6 \le 0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

💡Xem lời giải Bài 1

• Bờ $d: 2x - 3y = -6$ qua $(-3; 0)$ và $(0; 2)$. Thử $O(0;0): 6 \le 0$ (sai) $\Rightarrow$ Nửa mặt phẳng không chứa $O$, kể cả bờ $d$.

Bài 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ BPT $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 5 \\ 3x + y \le 9 \end{cases}$ và tìm tọa độ 4 đỉnh đa giác miền nghiệm.

💡Xem lời giải Bài 2

• Tứ giác miền nghiệm có các đỉnh $O(0; 0), A(3; 0), B(2; 3), C(0; 5)$.

Bài 3. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức $F(x, y) = 3x + 4y$ trên miền tứ giác ở Bài 2.

💡Xem lời giải Bài 3

• $F(O) = 0, F(A) = 9, F(B) = 3(2) + 4(3) = 18, F(C) = 20$.

• GTLN $= 20$ tại $C(0; 5)$, GTNN $= 0$ tại $O(0; 0)$.

Bài 4. Một xưởng may gia công 2 loại áo A và B. Áo A cần 2m vải và 3 giờ công, bán lãi 100 nghìn đồng. Áo B cần 3m vải và 2 giờ công, bán lãi 120 nghìn đồng. Xưởng có tối đa 180m vải và 180 giờ công. Tìm phương án may áo để thu lãi nhiều nhất.

💡Xem lời giải Bài 4

• $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ 2x + 3y \le 180 \\ 3x + 2y \le 180 \end{cases}$. Đỉnh: $O(0;0), A(60;0), B(36;36), C(0;60)$.

• $F(x, y) = 100x + 120y$. $F(A)=6000, F(B)=7920, F(C)=7200$.

• May 36 áo A và 36 áo B để đạt lãi lớn nhất là 7.92 triệu đồng.

Bài 5. Một gia đình cần nạp lượng calo tối thiểu 2000 kcal mỗi ngày từ thịt heo và cá. 1kg thịt heo cung cấp 2500 kcal (giá 120 nghìn), 1kg cá cung cấp 1500 kcal (giá 80 nghìn). Gia đình mua tối thiểu 0.4kg thịt và 0.5kg cá. Tính chi phí mua thực phẩm tối thiểu cho 1 ngày.

💡Xem lời giải Bài 5

• BPT: $\begin{cases} x \ge 0.4, y \ge 0.5 \\ 2.5x + 1.5y \ge 2 \end{cases}$.

• Đỉnh tối ưu: $A(0.4, 0.67) \Rightarrow$ Chi phí tối thiểu khoảng 101.6 nghìn đồng.