Ôn tập Chương II: Bất PT & hệ bất PT bậc nhất hai ẩn

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Dạng tổng quát: $ax + by < c$ (hoặc $\leq, >, \geq$ ), trong đó $a, b$ không đồng thời bằng 0.
Nghiệm: Mỗi cặp số $(x_0; y_0)$ sao cho $ax_0 + by_0 < c$ là một nghiệm. Bất phương trình này có vô số nghiệm.
Biểu diễn miền nghiệm:
1. Vẽ đường thẳng $d: ax + by = c$ .
2. Chọn điểm thử $M(x_0; y_0) \notin d$ (thường chọn $O(0,0)$ ).
3. Nếu $ax_0 + by_0 < c$ đúng thì nửa mặt phẳng chứa $M$ là miền nghiệm. Ngược lại là nửa mặt phẳng không chứa $M$ .

⚡ 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa: Một tập hợp gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Miền nghiệm: Là giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ. Thường là một đa giác (lồi) hoặc một miền không giới hạn.

⚡ 3. Ứng dụng: Bài toán tối ưu (Quy hoạch tuyến tính)

Mục tiêu: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = ax + by$ trên một miền nghiệm $D$ .
Định lý: Giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của $F(x; y)$ thường đạt được tại các đỉnh của đa giác là miền nghiệm $D$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Quy trình giải bài tập:

Xác định các đường thẳng biên.
Vẽ và xác định miền nghiệm (gạch bỏ phần không thỏa mãn).
Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm bằng cách giải hệ phương trình đường thẳng.
Thay tọa độ các đỉnh vào hàm mục tiêu $F(x; y)$ để so sánh.

🔍 Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: $2x - y + 4 \geq 0$ .

💡 Xem lời giải

Vẽ đường thẳng $d: 2x - y + 4 = 0$ . Đường thẳng đi qua $A(0, 4)$ và $B(-2, 0)$ .
Chọn gốc tọa độ $O(0, 0)$ . Ta có: $2(0) - 0 + 4 = 4 \geq 0$ (đúng).
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$ kể cả bờ $d$ .

🔍 Ví dụ 2: Miền nghiệm của hệ bất phương trình

Xác định miền nghiệm của hệ: $\begin{cases} x + y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ .

💡 Xem lời giải

$x + y = 4$ đi qua $(4,0)$ và $(0,4)$ . Miền nghiệm là phần phía dưới đường thẳng.
$x \geq 0$ là nửa mặt phẳng bên phải trục tung.
$y \geq 0$ là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành.
Miền nghiệm là tam giác $OAB$ với $O(0,0), A(4,0), B(0,4)$ .

🔍 Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất của $F(x; y) = x + 2y$ trên miền nghiệm ở Ví dụ 2.

💡 Xem lời giải

Các đỉnh của miền nghiệm là $O(0,0), A(4,0), B(0,4)$ .

Tại $O(0,0): F = 0 + 2(0) = 0$ .
Tại $A(4,0): F = 4 + 2(0) = 4$ .
Tại $B(0,4): F = 0 + 2(4) = 8$ . Vậy $F_{max} = 8$ tại điểm $B(0, 4)$ .

🔍 Ví dụ 4: Bài toán lập hệ bất phương trình từ thực tế

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất 1 đơn vị A cần 2 giờ máy, 1 đơn vị B cần 1 giờ máy. Tổng thời gian máy không quá 10 giờ. Số lượng A không quá 4, số lượng B không quá 6. Gọi $x, y$ là số lượng A và B. Viết hệ bất phương trình.

💡 Xem lời giải

Điều kiện thực tế: $x \geq 0, y \geq 0$ . Giới hạn thời gian máy: $2x + y \leq 10$ . Giới hạn số lượng: $x \leq 4$ và $y \leq 6$ . Hệ bất phương trình: $\begin{cases} x \geq 0, y \geq 0 \\ 2x + y \leq 10 \\ x \leq 4 \\ y \leq 6 \end{cases}$ .

🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Tối ưu hóa lợi nhuận

Trong bài toán Ví dụ 4, nếu mỗi đơn vị A lãi 3 triệu, mỗi đơn vị B lãi 2 triệu. Hãy tìm $(x, y)$ để lợi nhuận cao nhất.

💡 Xem lời giải

Hàm lợi nhuận: $L = 3x + 2y$ . Miền nghiệm là đa giác với các đỉnh:

$O(0,0)$
$A(4,0)$
$C(4, 2)$ (Giao của $x=4$ và $2x+y=10$ )
$D(2, 6)$ (Giao của $y=6$ và $2x+y=10$ )
$E(0, 6)$ Tính lợi nhuận tại các đỉnh:
$L(O) = 0$
$L(A) = 3(4) + 0 = 12$
$L(C) = 3(4) + 2(2) = 16$
$L(D) = 3(2) + 2(6) = 18$
$L(E) = 0 + 2(6) = 12$ Vậy lợi nhuận cao nhất đạt 18 triệu đồng khi sản xuất 2 đơn vị A và 6 đơn vị B.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Cặp số $(x; y)$ nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình $3x - 2y < 1$?

Câu 2:Miền nghiệm của bất phương trình $x - y > 0$ là nửa mặt phẳng:

Câu 3:Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 4:Cho hệ $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 2 \end{cases}$. Miền nghiệm của hệ là hình gì?

Câu 5:Giá trị nhỏ nhất của $F = x - y$ trên miền nghiệm $\begin{cases} 0 \leq x \leq 3 \\ 0 \leq y \leq 4 \end{cases}$ là:

Câu 6:Một đường thẳng $x + 2y = 4$ chia mặt phẳng thành hai nửa. Nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ tương ứng với bất phương trình:

Đúng / Sai

Câu 7Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x - y \leq 2 \\ x + y \leq 4 \\ x \geq 0 \end{cases}$. Xét tính đúng sai:

a)Điểm $M(1; 1)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

b)Miền nghiệm là một tứ giác.

c)Điểm $N(3; 0)$ thuộc miền nghiệm của hệ.

d)Một trong các đỉnh của miền nghiệm là $(3; 1)$.

Đúng / Sai

Câu 8Xét bài toán tối ưu lợi nhuận $L = 2x + 5y$ với điều kiện $\begin{cases} x, y \geq 0 \\ x + 2y \leq 10 \\ 2x + y \leq 8 \end{cases}$. Đúng hay sai?

a)Miền nghiệm có 4 đỉnh.

b)Điểm $(4; 0)$ là một đỉnh.

c)Lợi nhuận lớn nhất bằng 25.

d)Lợi nhuận lớn nhất đạt được tại $x = 0, y = 5$.

Câu 9:Tìm giá trị của m để điểm $A(1; 2)$ nằm trên đường biên của miền nghiệm bất phương trình $mx + y \leq 4$.

Câu 10:Miền nghiệm của hệ $\begin{cases} 0 \leq x \leq 5 \\ 0 \leq y \leq 6 \end{cases}$ là một hình chữ nhật. Tính diện tích của hình đó.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau: a) $3x - 2y > 6$ b) $x + 5y \leq 10$ c) $2x + y \geq 0$ d) $y - 2 < 0$

💡 Đáp án

a) Vẽ $3x - 2y = 6$ . Chọn $O(0,0)$ thấy $0 > 6$ (Sai). Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $O$ , không lấy bờ. b) Vẽ $x + 5y = 10$ . Chọn $O(0,0)$ thấy $0 \leq 10$ (Đúng). Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa $O$ , lấy cả bờ. c) Vẽ $2x + y = 0$ . Chọn $M(1,1)$ thấy $3 \geq 0$ (Đúng). Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa $M$ , lấy cả bờ. d) Vẽ $y = 2$ . Miền nghiệm là nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng $y=2$ , không lấy bờ.

Câu 2. Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau: a) $\begin{cases} x - y < 1 \\ x + y > 3 \end{cases}$ b) $\begin{cases} 2x - y \leq 4 \\ x + 2y \leq 6 \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{cases}$ c) $\begin{cases} x + y \leq 5 \\ y \leq 3 \\ x \geq 1, y \geq 0 \end{cases}$

💡 Đáp án

a) Giao của hai nửa mặt phẳng (phần không bị gạch). Giao điểm hai bờ là $(2, 1)$ . b) Miền nghiệm là tứ giác lồi với các đỉnh: $O(0,0), A(2,0), B(2,8; 1,6), C(0,3)$ . c) Miền nghiệm là hình thang với các đỉnh: $(1,0), (5,0), (2,3), (1,3)$ .

Câu 3. Cho miền nghiệm $D$ là tam giác $ABC$ có các đỉnh $A(0,3), B(4,0), C(0,0)$ . a) Viết hệ bất phương trình xác định miền nghiệm $D$ . b) Tìm giá trị lớn nhất của $F(x; y) = 3x + 4y$ trên $D$ . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $G(x; y) = x - 2y$ trên $D$ . d) Điểm $M(1; 1)$ có nằm trong tam giác $ABC$ không?

💡 Đáp án

a) Hệ: $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 3x + 4y \leq 12 \end{cases}$ . b) $F_{max} = 12$ tại A hoặc B. c) $G_{min} = -6$ tại A(0,3). d) Có nằm trong tam giác.

Câu 4. (Thực tế - Chăn nuôi) Một hộ nông dân định chăn nuôi bò và lợn. Diện tích chuồng là 60 m². Một con bò cần 4 m², một con lợn cần 2 m². Tổng số công không quá 100 công. Một con bò cần 10 công, một con lợn cần 5 công. a) Gọi $x, y$ lần lượt là số con bò và lợn. Lập hệ bất phương trình. b) Vẽ miền nghiệm của hệ trên. c) Nếu nuôi mỗi con bò lãi 5 triệu, lợn lãi 3 triệu. Lập hàm lợi nhuận $L(x; y)$ . d) Tìm phương án chăn nuôi để lãi cao nhất.

💡 Đáp án

a) $\begin{cases} x, y \geq 0 \\ 2x + y \leq 30 \\ 2x + y \leq 20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x, y \geq 0 \\ 2x + y \leq 20 \end{cases}$ . d) Nuôi 20 con lợn lãi cao nhất 60 triệu.

Câu 5. Tìm cặp số $(x; y)$ nguyên thỏa mãn hệ: $\begin{cases} x + y \leq 3 \\ x \geq 1 \\ y \geq 1 \end{cases}$ . a) Vẽ miền nghiệm. b) Liệt kê các điểm có tọa độ nguyên. c) Tính giá trị của $H = x^2 + y$ tại các điểm đó. d) Điểm nào làm $H$ đạt giá trị lớn nhất?

💡 Đáp án

b) (1,1), (2,1), (1,2). c) H lần lượt là 2, 5, 3. d) Điểm (2, 1) làm H đạt GTLN bằng 5.

Câu 6. Xác định đa giác miền nghiệm của hệ: $\begin{cases} x + y \leq 6 \\ 2x + y \leq 8 \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{cases}$ . a) Tìm các giao điểm của các biên. b) Tính chu vi của đa giác miền nghiệm. c) Tính diện tích của đa giác miền nghiệm. d) Tìm GTLN của $F = 5x + 3y$ .

💡 Đáp án

a) (0,0), (4,0), (2,4), (0,6). c) Diện tích là 14 đơn vị dt. d) Max F là 22 tại (2,4).

Câu 7. (Sản xuất) Một xưởng đóng bàn và ghế. Một cái bàn cần 1 giờ cưa, 2 giờ ráp. Một cái ghế cần 1 giờ cưa, 1 giờ ráp. Xưởng có tối đa 40 giờ cưa và 60 giờ ráp. a) Gọi $x, y$ là số bàn và ghế. Viết các giới hạn dưới dạng bất phương trình. b) Biểu diễn miền nghiệm. c) Tìm số lượng bàn và ghế sao cho tổng số sản phẩm $(x+y)$ lớn nhất. d) Nếu giá bàn 500k, ghế 300k. Tìm doanh thu lớn nhất.

💡 Đáp án

a) $\begin{cases} x + y \leq 40 \\ 2x + y \leq 60 \end{cases}$ . c) Max (x+y) = 40. d) Max Doanh thu = 16 triệu khi x=20, y=20.

Câu 8. Cho hệ: $\begin{cases} y - x \leq 2 \\ x \leq 4 \\ y \geq 1 \end{cases}$ . a) Vẽ miền nghiệm $D$ . b) Miền $D$ là hình gì (tam giác, tứ giác, …)? c) Tìm tọa độ các đỉnh của $D$ . d) Xác định giá trị nhỏ nhất của $y$ trên $D$ .

💡 Đáp án

b) Tam giác. c) (4,6), (4,1), (-1,1). d) $y_{min} = 1$ .

Câu 9. (Thực tế - Dinh dưỡng) Một người cần bổ sung ít nhất 10 đơn vị Vitamin A và 12 đơn vị Vitamin B mỗi ngày. Thực phẩm X chứa 2 đơn vị A và 1 đơn vị B. Thực phẩm Y chứa 1 đơn vị A và 2 đơn vị B. a) Gọi $x, y$ là số kg thực phẩm X và Y cần mua. Lập hệ điều kiện. b) Tìm miền nghiệm. c) Nếu thực phẩm X giá 50k/kg, Y giá 60k/kg. Lập hàm chi phí. d) Tìm phương án mua thực phẩm để chi phí thấp nhất mà vẫn đủ dinh dưỡng.

💡 Đáp án

a) $2x+y \geq 10, x+2y \geq 12$ . d) 8/3 kg X và 14/3 kg Y chi phí thấp nhất $\approx$ 413k.

Câu 10. Chứng minh rằng miền nghiệm của hệ $\begin{cases} |x| \leq 1 \\ |y| \leq 1 \end{cases}$ là một hình vuông và tính diện tích của nó. a) Phá trị tuyệt đối để có 4 bất phương trình. b) Vẽ 4 đường biên tương ứng. c) Xác định tọa độ 4 đỉnh. d) Tính độ dài cạnh và diện tích.

💡 Đáp án

a) $-1 \leq x \leq 1, -1 \leq y \leq 1$ . c) (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1). d) Cạnh 2, DT = 4.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 2 - Toán 10

Ôn tập Chương II: Bất PT & hệ bất PT bậc nhất hai ẩn

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm