Ôn tập Chương V: Thống kê không ghép nhóm

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Số gần đúng và sai số

Số gần đúng: Giá trị xấp xỉ của số đúng.
Sai số tuyệt đối: $\Delta_a = |a - \bar{a}| \leq d$ . Kí hiệu $a = \bar{a} \pm d$ .
Sai số tương đối: $\delta_a = \frac{\Delta_a}{|a|}$ . Sai số tương đối càng nhỏ thì phép đo càng chính xác.
Quy tắc làm tròn: Căn cứ vào độ chính xác $d$ để xác định hàng làm tròn phù hợp.

⚡ 2. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Số trung bình ( $\bar{x}$ ): $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ .
Trung vị ( $M_e$ ): Giá trị nằm ở giữa khi dãy số được sắp xếp thứ tự.
- Nếu $n$ lẻ: $M_e = x_{\frac{n+1}{2}}$ .
- Nếu $n$ chẵn: $M_e = \frac{1}{2}(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1})$ .
Tứ phân vị: $Q_2 = M_e$ ; $Q_1$ là trung vị của nửa dưới; $Q_3$ là trung vị của nửa trên.
Mốt ( $M_o$ ): Giá trị có tần suất xuất hiện lớn nhất.

⚡ 3. Các số đặc trưng đo độ phân tán

Khoảng biến thiên ( $R$ ): $x_{max} - x_{min}$ .
Khoảng tứ phân vị ( $\Delta_Q$ ): $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ .
Phương sai ( $s^2$ ): $s^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ .
Độ lệch chuẩn ( $s$ ): $s = \sqrt{s^2}$ .
Giá trị ngoại lệ: Giá trị $x$ thỏa mãn $x < Q_1 - 1,5\Delta_Q$ hoặc $x > Q_3 + 1,5\Delta_Q$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Quy trình phân tích dữ liệu:

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm.
Tính các số trung bình, trung vị, mốt để thấy “tâm” của dữ liệu.
Tính các chỉ số độ lệch chuẩn để thấy dữ liệu “phân tán” hay “tập trung”.
Nếu so sánh hai mẫu có cùng đơn vị đo và cùng số trung bình, mẫu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mẫu đó ổn định hơn.

🔍 Ví dụ 1: Làm tròn số với độ chính xác cho trước

Làm tròn số $a = 23748$ với độ chính xác $d = 100$ .

💡 Xem lời giải

Độ chính xác $d = 100$ (hàng trăm). Ta phải làm tròn $a$ đến hàng nghìn. Chữ số hàng nghìn là 3, sau nó là 7 $\geq 5$ . Vậy làm tròn lên ta được kết quả: 24000.

🔍 Ví dụ 2: Tính số trung bình, trung vị, mốt

Điểm kiểm tra của một nhóm 10 học sinh: $7, 8, 9, 7, 6, 8, 10, 7, 9, 8$ .

💡 Xem lời giải

Sắp xếp: $6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10$ .
Số trung bình: $\bar{x} = (6+7 \cdot 3+8 \cdot 3+9 \cdot 2+10)/10 = 7{,}9$ .
Trung vị ( $n=10$ ): $M_e = (x_5 + x_6)/2 = (8 + 8)/2 = 8$ .
Mốt: Cả 7 và 8 đều xuất hiện 3 lần. Vậy có hai mốt là 7 và 8.

🔍 Ví dụ 3: Tính tứ phân vị và khoảng tứ phân vị

Dãy số liệu: $5, 7, 8, 10, 12, 12, 15, 20$ .

💡 Xem lời giải

Dãy đã sắp xếp ( $n=8$ ).

$Q_2 = (10+12)/2 = 11$ .
Nửa dưới: $5, 7, 8, 10 \Rightarrow Q_1 = (7+8)/2 = 7{,}5$ .
Nửa trên: $12, 12, 15, 20 \Rightarrow Q_3 = (12+15)/2 = 13{,}5$ .
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 13{,}5 - 7{,}5 = 6$ .

🔍 Ví dụ 4: Tính phương sai và độ lệch chuẩn

Cho mẫu số liệu: $2, 4, 6, 8, 10$ .

💡 Xem lời giải

$\bar{x} = (2+4+6+8+10)/5 = 6$ .
Các độ lệch $(x_i - \bar{x})^2$ : $(2-6)^2=16, (4-6)^2=4, (6-6)^2=0, (8-6)^2=4, (10-6)^2=16$ .
Phương sai: $s^2 = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8$ .
Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ .

🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — So sánh hiệu quả công việc

Hai vận động viên bắn súng A và B mỗi người bắn 5 phát. Kết quả: A: 8, 9, 10, 8, 10. B: 7, 10, 10, 10, 8. Ai là người bắn ổn định hơn?

💡 Xem lời giải

Tính trung bình: $\bar{x}_A = (8+9+10+8+10)/5 = 9$ . $\bar{x}_B = (7+10+10+10+8)/5 = 9$ . Hai người có điểm trung bình bằng nhau.
Tính phương sai: $s_A^2 = [(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2]/5 = 4/5 = 0{,}8$ . $s_B^2 = [(-2)^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + (-1)^2]/5 = 8/5 = 1{,}6$ . Vì $s_A^2 < s_B^2$ , vận động viên A bắn ổn định hơn.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Cho số gần đúng $a = 5{,}246 \pm 0{,}002$. Số đúng thuộc khoảng nào?

Câu 2:Số trung bình của dãy $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ là:

Câu 3:Mốt của mẫu số liệu $\{3, 5, 3, 7, 8, 5, 3, 10\}$ là:

Câu 4:Khoảng biến thiên của dãy $\{10, 20, 30, 40, 50, 60\}$ là:

Câu 5:Nếu độ lệch chuẩn $s = 0$, điều này có nghĩa là:

Câu 6:Số liệu nào sau đây dùng để đo độ phân tán?

Đúng / Sai

Câu 7Cho dãy số liệu $1, 2, 4, 6, 7, 8, 10$. Đúng hay sai?

a)Trung vị là 6.

b)Số trung bình là 6.

c)Tứ phân vị $Q_1 = 2$.

d)Khoảng tứ phân vị $Delta_Q = 6$.

Đúng / Sai

Câu 8Xét một phép đo chiều cao $h = 170 \pm 0,5$ cm. Đúng hay sai?

a)Sai số tuyệt đối không vượt quá 0,5 cm.

b)Sai số tương đối là $0,5/170 approx 0,29%$.

c)Chiều cao thực của người đó có thể là 170,4 cm.

d)Làm tròn h đến hàng đơn vị ta được 171 cm.

Câu 9:Điểm của học sinh: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Tìm trung vị.

Câu 10:Cho $s^2 = 25$. Tính độ lệch chuẩn s.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Viết số gần đúng dưới dạng chuẩn: a) $x = 123456$ với $d = 500$ b) $x = 7,6543$ với $d = 0,01$ c) $x = \pi$ với $d = 0,001$ d) $x = \frac{1}{3}$ lấy 3 chữ số sau dấu phẩy.

💡 Đáp án

a) Cần làm tròn đến hàng nghìn $\Rightarrow 123000$ . b) Cần làm tròn đến hàng phần mười $\Rightarrow 7,7$ (đính chính: chính xác $d=0,01$ thì làm tròn hàng phần mười). c) Làm tròn đến hàng phần trăm $\Rightarrow 3,14$ . d) $0,333$ .

Câu 2. Khảo sát mức lương tháng (triệu đồng) của 8 nhân viên: $8, 10, 12, 11, 9, 15, 12, 10$ . a) Tìm số trung bình và số mốt. b) Sắp xếp dãy số liệu và tìm các tứ phân vị. c) Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. d) Có nhân viên nào có mức lương “ngoại lệ” không?

💡 Đáp án

a) $\bar{x} = 10,875$ . Mốt: 10 và 12. b) Sắp xếp: $8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 15$ . $Q_2 = 10,5; Q_1 = 9,5; Q_3 = 12$ . c) $R = 15 - 8 = 7; \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 2,5$ . d) $12 + 1,5(2,5) = 15,75$ . Giá trị lớn nhất 15 < 15,75 nên không có giá trị ngoại lệ.

Câu 3. Cho hai tổ công nhân may áo trong một ngày: Tổ 1: 20, 22, 18, 25, 20. Tổ 2: 15, 25, 20, 25, 20. a) Tính năng suất trung bình của mỗi tổ. b) Tính độ lệch chuẩn của mỗi tổ. c) Tổ nào làm việc đồng đều hơn? d) Tổ nào có tiềm năng đạt năng suất cao hơn nếu được đào tạo thêm?

💡 Đáp án

a) Tổ 1: 21, Tổ 2: 21. b) $s_1 \approx 2,36; s_2 \approx 3,74$ . c) Tổ 1 (độ lệch chuẩn nhỏ hơn). d) Tổ 2 (nhiều người đạt mức cao 25 nhưng có người thấp 15 $\rightarrow$ đào tạo người thấp thì năng suất vọt lên).

Câu 4. (Thực tế - Đo lường) Một thước dây có độ chia nhỏ nhất là 1 mm. Người ta đo chiều dài một miếng gỗ là 124 cm. a) Viết kết quả đo kèm theo sai số tuyệt đối. b) Tính giới hạn sai số tương đối. c) Nếu dùng thước có độ chính xác 0,1 mm, sai số tương đối giảm bao nhiêu lần?

💡 Đáp án

a) $L = 124 \pm 0,05$ (cm) hoặc $\pm 0,5$ mm. b) $\delta \approx 0,05/124 \approx 0,04\%$ . c) Giảm 10 lần.

Câu 5. Cho dãy số liệu $\{x_i\}$ có $n=100$ , $\sum x_i = 750$ và $\sum x_i^2 = 6000$ . a) Tính số trung bình $\bar{x}$ . b) Tính phương sai $s^2$ . c) Tính độ lệch chuẩn $s$ . d) Giải thích ý nghĩa của độ lệch chuẩn trong trường hợp này.

💡 Đáp án

a) $\bar{x} = 750/100 = 7,5$ . b) $s^2 = (6000/100) - (7,5)^2 = 60 - 56,25 = 3,75$ . c) $s \approx 1,94$ . d) Mức độ phân tán dữ liệu quanh mức trung bình 7,5 là khoảng 1,94 đơn vị.

Câu 6. Một vườn cam có 10 cây, mỗi cây có số quả như sau: 50, 45, 10, 52, 48, 44, 46, 51, 49, 47. a) Tìm trung vị. b) Tính khoảng biến thiên. c) Giải thích tại sao cây có 10 quả bị coi là giá trị ngoại lệ. d) Nếu bỏ giá trị ngoại lệ, số trung bình mới thay đổi bao nhiêu?

💡 Đáp án

a) $47,5$ . b) $42$ . c) $Q_1=45, Q_3=50,5 \Rightarrow \Delta_Q=5,5$ . Cận dưới $45 - 1,5(5,5) = 36,75$ . Vì $10 < 36,75$ nên là giá trị ngoại lệ. d) $\bar{x}_{cũ} = 44,2; \bar{x}_{mới} = 48 \Rightarrow$ tăng 3,8 quả/cây.

Câu 7. (Thực tế - Điểm số) Điểm thi môn Toán của 2 lớp 10A (40 em) và 10B (40 em). Lớp 10A: $\bar{x} = 7,5$ , $s = 0,8$ . Lớp 10B: $\bar{x} = 7,5$ , $s = 1,5$ . a) So sánh trình độ trung bình của hai lớp. b) Lớp nào có điểm số đồng đều hơn? c) Lớp nào có nhiều bạn điểm rất cao (hoặc rất thấp) hơn? d) Giáo viên nên chú trọng bồi dưỡng cho lớp nào hơn để giảm bớt sự chênh lệch?

💡 Đáp án

a) Bằng nhau. b) 10A. c) 10B. d) 10B.

Câu 8. Cho mẫu số liệu $\{1, a, 5\}$ . Tìm $a$ để: a) Số trung bình bằng 4. b) Trung vị bằng 5. c) Mốt bằng 1. d) Phương sai nhỏ nhất.

💡 Đáp án

a) $(1+a+5)/3 = 4 \Rightarrow a = 6$ . b) Sắp xếp $1, 5, a$ hoặc $1, a, 5$ . Trung vị là 5 khi $a \geq 5$ . c) $a = 1$ . d) $s^2 = \frac{1}{3} \sum (x_i-\bar{x})^2$ . Đạt cực tiểu khi $a = \bar{x}_{1;5} = 3 \Rightarrow a = 3$ .

Câu 9. (Thực tế - Kinh doanh) Doanh thu hàng ngày (triệu đồng) của một cửa hàng trong 7 ngày: $2, 3, 2, 5, 2, 10, 2$ . a) Tìm mốt. Tại sao mốt lại quan trọng trong kinh doanh? b) Tìm trung vị và số trung bình. Số nào phản ánh đúng hơn mức thu nhập “thường ngày”? c) Tính độ lệch chuẩn. d) Nếu ngày thứ 6 doanh thu đạt 100 triệu, các chỉ số nào sẽ bị ảnh hưởng mạnh nhất?

💡 Đáp án

a) Mốt: 2 triệu/ngày. Phản ánh “mức thu nhập phổ biến nhất”. b) $M_e = 2, \bar{x} \approx 3,71$ . $M_e$ phản ánh đúng hơn. c) $s \approx 2,69$ . d) Số trung bình và độ lệch chuẩn bị vọt lên rất cao, trung vị và mốt không đổi (vì nằm ở giữa hoặc xuất hiện nhiều nhất).

Câu 10. Chứng minh công thức tính nhanh phương sai: $s^2 = \frac{1}{n} \left( \sum x_i^2 \right) - \bar{x}^2$ . a) Áp dụng tính phương sai cho dãy $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ . b) Nếu cộng mỗi số trong dãy thêm 10 đơn vị, phương sai thay đổi thế nào? c) Nếu nhân mỗi số trong dãy với 2, phương sai thay đổi thế nào? d) Nếu nhân mỗi số với 2 và cộng thêm 5, phương sai mới là bao nhiêu?

💡 Đáp án

a) $\bar{x}=3, s^2 = 2$ . b) Không đổi. c) Gấp $2^2 = 4$ lần. d) Mới $s'_2 = 4 \cdot 2 = 8$ .

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 5 - Toán 10

Ôn tập Chương V: Thống kê không ghép nhóm

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm