Bài 7: Phép đồng dạng

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Định nghĩa phép đồng dạng

Phép biến hình $f$ được gọi là phép đồng dạng tỉ số $k$ ( $k > 0$ ) nếu với hai điểm bất kì $M, N$ và ảnh $M', N'$ của chúng, ta luôn có $M'N' = kMN$ .

Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số $k=1$ .
Phép vị tự tỉ số $k$ là phép đồng dạng tỉ số $|k|$ .

📋 2. Hợp thành

Hợp thành của hai phép đồng dạng tỉ số $k_1, k_2$ là một phép đồng dạng tỉ số $k = k_1 \cdot k_2$ .

Mọi phép đồng dạng $f$ tỉ số $k$ đều là hợp thành của một phép dời hình and một phép vị tự tỉ số $k$ .

⚡ 3. Hai hình đồng dạng

Định nghĩa: Hai hình $\mathcal{H}$ và $\mathcal{H}'$ được gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

Tính chất: Phép đồng dạng:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng and bảo toàn thứ tự giữa chúng.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng; Biến tia thành tia; Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó; Biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường tròn bán kính $R$ thành đường tròn bán kính $R' = kR$ .

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Kỹ năng chứng minh đồng dạng

Chứng minh hai hình đồng dạng: Chỉ ra một phép vị tự (thay đổi kích thước) kết hợp với một phép dời hình (thay đổi vị trí).
Tính toán hằng số đồng dạng: Tỉ số độ dài các đoạn thẳng tương ứng ( $k = M'N' / MN$ ).
Diện tích: Lưu ý $S' = k^2 S$ (diện tích tỉ lệ với bình phương tỉ số đồng dạng).

🔍 Ví dụ 1: Xác định tỉ số đồng dạng

Thực hiện liên tiếp phép vị tự tỉ số $k_1 = 2$ and phép quay $90^\circ$ . Hỏi phép hợp thành là phép gì và có tỉ số là bao nhiêu?

💡 Xem lời giải

Phép vị tự tỉ số $k_1=2$ là phép đồng dạng tỉ số $k = |2| = 2$ .
Phép quay là phép dời hình, tức là phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ .
Hợp thành của chúng là một phép đồng dạng có tỉ số $k = 2 \cdot 1 = 2$ .

🔍 Ví dụ 2: Hai đường tròn đồng dạng

Cho hai đường tròn bất kì $(C_1, R_1)$ and $(C_2, R_2)$ . Chứng minh chúng luôn đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng biến $(C_1) \to (C_2)$ .

💡 Xem lời giải

Luôn có một phép vị tự $V$ tỉ số $k = R_2/R_1$ biến đường tròn $(C_1)$ thành đường tròn $(C_3)$ có tâm $I_3$ and bán kính $R_2$ .
Luôn có một phép tịnh tiến $T$ biến tâm $I_3$ thành tâm $I_2$ .
Hợp thành của $V$ and $T$ là phép đồng dạng tỉ số $k = R_2/R_1$ biến $(C_1) \to (C_2)$ .

🔍 Ví dụ 3: Diện tích hình đồng dạng

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $20 \text{ cm}^2$ . Qua phép đồng dạng tỉ số $k=1/2$ , tam giác $A'B'C'$ có diện tích là bao nhiêu?

💡 Xem lời giải

Áp dụng tính chất tỉ số diện tích: $S' = k^2 \cdot S = (1/2)^2 \cdot 20 = 1/4 \cdot 20 = 5 \text{ cm}^2$ . Vậy diện tích tam giác ảnh là $5 \text{ cm}^2$ .

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Nếu phép đồng dạng f biến tam giác ABC thành tam giác $A'B'C'$ với tỉ số k=3 thì:

Câu 2:Khẳng định nào sau đây SAI?

Đúng / Sai

Câu 3Xét các khẳng định về tỉ số đồng dạng k:

a)Tỉ số k luôn phải là số dương.

b)Mọi phép đồng dạng đều biến đường tròn thành đường tròn.

c)Nếu k > 1 thì hình ảnh nhỏ hơn tạo ảnh.

d)Phép đồng nhất là phép đồng dạng tỉ số k=1.

Câu 4:Hợp thành của phép vị tự k=4 and phép đồng dạng k=0.5 là phép đồng dạng tỉ số mấy?

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho tam giác $ABC$ . Qua phép vị tự tâm $A$ tỉ số $k=2$ , tam giác $ABC$ biến thành tam giác $AB'C'$ . Chứng minh $B'C' // BC$ and $B'C' = 2BC$ .

💡 Lời giải

Vì $V_{(A, 2)}$ biến $B \to B', C \to C'$ nên $\vec{AB'} = 2\vec{AB}$ and $\vec{AC'} = 2\vec{AC}$ .
$\vec{B'C'} = \vec{AC'} - \vec{AB'} = 2\vec{AC} - 2\vec{AB} = 2(\vec{AC} - \vec{AB}) = 2\vec{BC}$ .
Vậy $\vec{B'C'} = 2\vec{BC}$ nên $B'C' // BC$ and độ dài $B'C' = 2BC$ .

Câu 2. Chứng minh hai hình chữ nhật $ABCD$ and $A'B'C'D'$ đồng dạng nếu $\frac{AB}{AD} = \frac{A'B'}{A'D'}$ .

💡 Lời giải

Tỉ số các cạnh bằng nhau nên ta có thể chọn tỉ số vị tự $k = A'B'/AB$ .
Phép vị tự tỉ số $k$ biến $ABCD$ thành hình chữ nhật $A''B''C''D''$ có cạnh $A'B'$ and $A'D'$ .
Khi đó $A''B''C''D''$ and $A'B'C'D'$ bằng nhau nên có phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Câu 3. Cho một hình lục giác đều. Có bao nhiêu phép đồng dạng tỉ số $k=1$ biến lục giác đều đó thành chính nó?

💡 Lời giải

Phép đồng dạng tỉ số $k=1$ là phép dời hình. Một lục giác đều có 6 phép quay (các góc $k \cdot 60^\circ$ ) and 6 phép đối xứng trục (qua đỉnh hoặc trung điểm cạnh). Vậy có tổng cộng 12 phép.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm