CĐ1 - Bài 7: Phép đồng dạng

I. Định nghĩa phép đồng dạng

📌 Định nghĩa Phép đồng dạng

Phép biến hình $F$ được gọi là phép đồng dạng tỉ số $k$ ($k > 0$) nếu với hai điểm $M, N$ bất kì và ảnh $M', N'$ của chúng, ta luôn có:

$$M'N' = k \cdot MN$$

Phép vị tự tỉ số $k$ là phép đồng dạng tỉ số $|k|$.
Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số $k = 1$.
Thực hiện liên tiếp phép vị tự tỉ số $k$ và một phép dời hình ta thu được một phép đồng dạng tỉ số $|k|$.

II. Tính chất của phép đồng dạng

⚡ Các tính chất cơ bản

Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng.
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng độ dài $a$ thành đoạn thẳng độ dài $k \cdot a$.
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng $k$, biến góc thành góc bằng nó.
Biến đường tròn bán kính $R$ thành đường tròn bán kính $R' = k \cdot R$.
Tỉ số chu vi của hai hình đồng dạng bằng $k$. Tỉ số diện tích của hai hình đồng dạng bằng $k^2$.

III. Khái niệm hai hình đồng dạng

📌 Định nghĩa Hai hình đồng dạng

Hai hình $(H)$ và $(H')$ được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình $(H)$ thành hình $(H')$.

Mọi đường tròn đều đồng dạng với nhau. Mọi hình vuông đều đồng dạng với nhau.

🔷 Dạng 1: Tính tỉ số đồng dạng & Khoảng cách

📌 Phương pháp giải

Dùng công thức $M'N' = k \cdot MN \Rightarrow k = \dfrac{M'N'}{MN}$.

🔍 Ví dụ 1

Một phép đồng dạng $F$ tỉ số $k = 3$ biến đoạn thẳng $AB = 4$ cm thành đoạn thẳng $A'B'$. Tính độ dài $A'B'$.

💡 Xem lời giải

$A'B' = k \cdot AB = 3 \times 4 = 12$ cm.

🔍 Ví dụ 2

Thực hiện liên tiếp phép vị tự $V_{(O, -2)}$ và phép quay $Q_{(O, 45^\circ)}$ ta thu được phép đồng dạng tỉ số $k$ bằng bao nhiêu?

💡 Xem lời giải

Phép quay là phép dời hình (tỉ số 1). Phép vị tự có $|k| = 2$. Vậy phép đồng dạng có tỉ số $k = 2$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1/2$ biến đường tròn $(C)$ bán kính $R = 8$ cm thành đường tròn $(C')$ có bán kính bằng bao nhiêu?

💡 Xem lời giải

$R' = k \cdot R = (1/2) \times 8 = 4$ cm.

✏️ Bài tập 1.2

Nếu phép biến hình $F$ biến $M, N$ thành $M', N'$ sao cho $M'N' = 5 MN$ thì $F$ là phép gì?

💡 Xem lời giải

Phép đồng dạng tỉ số $k = 5$.

🔷 Dạng 2: Tìm ảnh của một hình qua phép đồng dạng

📌 Phương pháp giải

Thực hiện lần lượt qua từng phép biến hình thành phần (phép vị tự rồi phép dời hình hoặc ngược lại).

🔍 Ví dụ 1

Tìm phương trình ảnh của đường tròn $(C): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ qua phép đồng dạng hợp thành bởi $V_{(O, 2)}$ và $D_{Ox}$.

💡 Xem lời giải

• $(C)$ có tâm $I(1; 2), R = 2$.

• Phép vị tự $V_{(O, 2)}$ biến $I \to I_1(2; 4)$, bán kính $R_1 = 2 \times 2 = 4$.

• Phép đối xứng $D_{Ox}$ biến $I_1(2; 4) \to I'(2; -4)$, bán kính $R' = 4$.

• Vậy $(C'): (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 16$.

🔍 Ví dụ 2

Tìm ảnh của $A(2; 3)$ qua hợp thành của $V_{(O, -3)}$ và $T_{(1; 2)}$.

💡 Xem lời giải

• $A_1 = V_{(O, -3)}(A) = (-6; -9)$.

• $A' = T_{(1; 2)}(A_1) = (-6 + 1; -9 + 2) = (-5; -7)$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Tìm ảnh của $d: x - 2y + 1 = 0$ qua hợp thành của $V_{(O, 2)}$ và $Q_{(O, 90^\circ)}$.

💡 Xem lời giải

• $V_{(O, 2)}(d) = d_1: x - 2y + 2 = 0$.

• $Q_{(O, 90^\circ)}(d_1): y' - 2(-x') + 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2 = 0$.

✏️ Bài tập 2.2

Tìm ảnh của $B(-4; 2)$ qua phép đồng dạng tỉ số $k = 1/2$ gồm $V_{(O, 1/2)}$ và $D_{Oy}$.

💡 Xem lời giải

$B_1(-2; 1) \Rightarrow B'(2; 1)$.

🔷 Dạng 3: Chứng minh hai hình đồng dạng

📌 Phương pháp giải

Chỉ ra một phép đồng dạng (hợp thành của vị tự và dời hình) biến hình thứ nhất thành hình thứ hai.

🔍 Ví dụ 1

Chứng minh hai đường tròn tùy ý $(C_1)$ tâm $O_1$ bán kính $R_1$ và $(C_2)$ tâm $O_2$ bán kính $R_2$ luôn đồng dạng với nhau.

💡 Xem lời giải

• Phép tịnh tiến $T_{\vec{O_1O_2}}$ biến $(C_1)$ thành đường tròn $(C_1')$ có tâm $O_2$, bán kính $R_1$.

• Phép vị tự $V_{(O_2, R_2/R_1)}$ biến $(C_1')$ thành đường tròn $(C_2)$ tâm $O_2$, bán kính $R_2$.

• Vậy hợp thành hai phép biến hình trên biến $(C_1)$ thành $(C_2) \Rightarrow$ hai đường tròn luôn đồng dạng.

🔍 Ví dụ 2

Chứng minh hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng với nhau.

💡 Xem lời giải

Dùng phép vị tự tỉ số $k = a_2/a_1$ đưa về 2 hình vuông bằng nhau, sau đó dùng phép dời hình chồng khít chúng lên nhau.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Hai tam giác đều bất kì có luôn đồng dạng với nhau không?

💡 Xem lời giải

Có, mọi tam giác đều đều đồng dạng với nhau.

✏️ Bài tập 3.2

Hai hình chữ nhật bất kì có luôn đồng dạng không?

💡 Xem lời giải

Không, chỉ đồng dạng khi tỉ số 2 cạnh của hai hình chữ nhật bằng nhau.

🔷 Dạng 4: Bài toán tỉ số chu vi & diện tích

📌 Phương pháp giải

• Tỉ số chu vi: $\dfrac{P'}{P} = k$.

• Tỉ số diện tích: $\dfrac{S'}{S} = k^2$.

🔍 Ví dụ 1

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S = 12 \text{ cm}^2$. Phép đồng dạng tỉ số $k = 3$ biến $\triangle ABC$ thành $\triangle A'B'C'$. Tính diện tích $S'$ của $\triangle A'B'C'$.

💡 Xem lời giải

• $S' = k^2 S = 3^2 \times 12 = 9 \times 12 = 108 \text{ cm}^2$.

🔍 Ví dụ 2

Hình vuông $H_1$ có diện tích $16 \text{ cm}^2$, hình vuông $H_2$ có diện tích $64 \text{ cm}^2$. Tìm tỉ số đồng dạng $k$ biến $H_1$ thành $H_2$.

💡 Xem lời giải

$k^2 = \dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{64}{16} = 4 \Rightarrow k = 2$.

📝 Thực hành — Dạng 4

✏️ Bài tập 4.1

Chu vi tam giác $ABC$ là $15$ cm. Phép đồng dạng tỉ số $k = 2/3$ biến $\triangle ABC$ thành $\triangle A'B'C'$. Tính chu vi tam giác $A'B'C'$.

💡 Xem lời giải

$P' = k P = (2/3) \times 15 = 10$ cm.

✏️ Bài tập 4.2

Hình tròn $C_1$ có diện tích $S_1$, hình tròn $C_2$ có bán kính gấp 3 lần $C_1$. Tính tỉ số $\dfrac{S_2}{S_1}$.

💡 Xem lời giải

$k = 3 \Rightarrow S_2/S_1 = k^2 = 9$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Phép đồng dạng (10 bài)

Bài 1. Định nghĩa phép đồng dạng tỉ số $k$.

💡 Xem lời giải

$M'N' = k \cdot MN$.

Bài 2. Phép vị tự tỉ số $k = -3$ là phép đồng dạng tỉ số bao nhiêu?

💡 Xem lời giải

Tỉ số $|k| = 3$.

Bài 3. Nêu mối liên hệ giữa phép dời hình và phép đồng dạng.

💡 Xem lời giải

Phép dời hình là phép đồng dạng với tỉ số $k = 1$.

Bài 4. Tính độ dài ảnh của đoạn thẳng $AB = 5$ cm qua phép đồng dạng tỉ số $k = 2.5$.

💡 Xem lời giải

$A'B' = 2.5 \times 5 = 12.5$ cm.

Bài 5. Tìm bán kính đường tròn ảnh của $(C)$ có $R = 6$ qua phép đồng dạng tỉ số $k = 1/3$.

💡 Xem lời giải

$R' = 2$.

Bài 6. Tỉ số diện tích của 2 tam giác đồng dạng với tỉ số $k = 4$ là bao nhiêu?

💡 Xem lời giải

$k^2 = 16$.

Bài 7. Phép đồng dạng có bảo toàn độ lớn của góc không?

💡 Xem lời giải

Có, biến góc thành góc bằng nó.

Bài 8. Hai tam giác vuông cân bất kì có đồng dạng không?

💡 Xem lời giải

Có, mọi tam giác vuông cân đều đồng dạng với nhau.

Bài 9. Thực hiện liên tiếp phép vị tự $V_{(O, 2)}$ và phép vị tự $V_{(O, 3)}$ ta thu được phép gì?

💡 Xem lời giải

Phép vị tự $V_{(O, 6)}$ (cũng là phép đồng dạng tỉ số 6).

Bài 10. Hai hình như thế nào thì được gọi là đồng dạng?

💡 Xem lời giải

Có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Phép đồng dạng. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

Câu 1:Phép biến hình $F$ được gọi là phép đồng dạng tỉ số $k$ ($k > 0$) nếu với hai điểm $M, N$ bất kì có ảnh $M', N'$ thỏa mãn:

Câu 2:Phép dời hình là một phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng $k$ bằng bao nhiêu?

Câu 3:Thực hiện liên tiếp một phép vị tự tỉ số $k$ ($k \ne 0$) và một phép dời hình ta được:

Câu 4:Hai hình $(H)$ và $(H')$ được gọi là đồng dạng nếu:

Câu 5:Nếu phép đồng dạng tỉ số $k$ biến tam giác $\Delta$ có diện tích $S$ thành tam giác $\Delta'$ có diện tích $S'$ thì tỉ số diện tích $\dfrac{S'}{S}$ bằng:

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Phép đồng dạng

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới