🛠️ Công cụ

Ôn tập Chương 4 - Toán 10

Ôn tập Chương IV: Vectơ - Toán 10 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Ôn tập Chương IV: Vectơ

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Khái niệm cơ bản
  • Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu a⃗,AB→\vec{a}, \overrightarrow{AB}.
  • Độ dài vectơ: ∣AB→∣=AB|\overrightarrow{AB}| = AB. Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
  • Giá và Hướng: Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
  • Vectơ bằng nhau: Nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
  • Vectơ không: 0⃗\vec{0} có độ dài bằng 0, cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.
⚡ 2. Các phép toán vectơ
  • Tổng hai vectơ:
    • Quy tắc ba điểm: AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.
    • Quy tắc hình bình hành: AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} (ABCD là hbh).
  • Hiệu hai vectơ: a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}). Quy tắc: OB→−OA→=AB→\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}.
  • Tích vectơ với một số: ka⃗k\vec{a} là một vectơ.
    • Cùng hướng với a⃗\vec{a} nếu k>0k > 0, ngược hướng nếu k<0k < 0.
    • ∣ka⃗∣=∣k∣⋅∣a⃗∣|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|.
  • Tích vô hướng: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡(a⃗,b⃗)\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}).
⚡ 3. Vectơ trong hệ tọa độ Oxy

Cho a⃗=(x1;y1)\vec{a} = (x_1; y_1) và b⃗=(x2;y2)\vec{b} = (x_2; y_2):

  • a⃗±b⃗=(x1±x2;y1±y2)\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2).
  • ka⃗=(kx1;ky1)k\vec{a} = (kx_1; ky_1).
  • a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2.
  • ∣a⃗∣=x12+y12|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}.
  • cos⁡(a⃗,b⃗)=x1x2+y1y2x12+y12⋅x22+y22\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}.

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Kỹ năng giải toán:

  1. Chứng minh đẳng thức vectơ: Sử dụng các quy tắc cộng, trừ và chèn điểm.
  2. Bài toán tọa độ: Chuyển đổi yêu cầu hình học (song song, vuông góc) sang biểu thức tọa độ.
  3. Độ dài và góc: Sử dụng tích vô hướng. a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0.
🔍 Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức vectơ

Cho tứ giác ABCDABCD. Gọi M,NM, N lần lượt là trung điểm của ABAB và CDCD. Chứng minh rằng: AC→+BD→=2MN→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}.

💡 Xem lời giải

Ta có: MN→=MA→+AC→+CN→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} (1) MN→=MB→+BD→+DN→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DN} (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế: 2MN→=(MA→+MB→)+(AC→+BD→)+(CN→+DN→)2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) + (\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN}) Vì MM là trung điểm ABAB nên MA→+MB→=0⃗\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}. Vì NN là trung điểm CDCD nên CN→+DN→=0⃗\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \vec{0}. Vậy 2MN→=AC→+BD→2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} (đpcm).

🔍 Ví dụ 2: Tính độ dài vectơ tổng

Cho tam giác đều ABCABC cạnh aa. Tính độ dài của vectơ u⃗=AB→+AC→\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.

💡 Xem lời giải

Gọi MM là trung điểm BCBC. Theo quy tắc trung điểm, AB→+AC→=2AM→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}. Trong tam giác đều cạnh aa, độ dài đường cao AMAM là a32\frac{a\sqrt{3}}{2}. Vậy ∣u⃗∣=∣2AM→∣=2⋅a32=a3|\vec{u}| = |2\overrightarrow{AM}| = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}.

🔍 Ví dụ 3: Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện

Trong mặt phẳng OxyOxy, cho A(1;2),B(−2;3),C(0;4)A(1; 2), B(-2; 3), C(0; 4). Tìm tọa độ điểm DD sao cho ABCDABCD là hình bình hành.

💡 Xem lời giải

ABCDABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.

  • AB→=(−2−1;3−2)=(−3;1)\overrightarrow{AB} = (-2 - 1; 3 - 2) = (-3; 1).
  • Gọi D(x;y)⇒DC→=(0−x;4−y)=(−x;4−y)D(x; y) \Rightarrow \overrightarrow{DC} = (0 - x; 4 - y) = (-x; 4 - y). Ta có hệ: {−x=−34−y=1⇔{x=3y=3\begin{cases} -x = -3 \\ 4 - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 3 \\ y = 3 \end{cases}. Vậy D(3;3)D(3; 3).
🔍 Ví dụ 4: Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

Cho a⃗=(1;2)\vec{a} = (1; 2) và b⃗=(−2;1)\vec{b} = (-2; 1). a) Tính a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}. b) Tính góc giữa hai vectơ a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}.

💡 Xem lời giải

a) a⃗⋅b⃗=1⋅(−2)+2⋅1=−2+2=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0. b) Vì a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, hai vectơ vuông góc với nhau. Vậy (a⃗,b⃗)=90∘(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ.

🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Hợp lực của hai lực

Hai người cùng kéo một chiếc thuyền với hai lực F1⃗\vec{F_1} và F2⃗\vec{F_2} có cùng độ lớn 100N. Góc giữa hai hướng kéo là 60∘60^\circ. Tính độ lớn của hợp lực F⃗\vec{F} tác động lên thuyền.

💡 Xem lời giải

Hợp lực F⃗=F1⃗+F2⃗\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}. Bình phương vô hướng: F2=∣F1⃗+F2⃗∣2=F12+F22+2F1⃗F2⃗F^2 = |\vec{F_1} + \vec{F_2}|^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2\vec{F_1}\vec{F_2} F2=1002+1002+2⋅100⋅100⋅cos⁡60∘F^2 = 100^2 + 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 100 \cdot \cos 60^\circ F2=10000+10000+20000⋅12=30000F^2 = 10000 + 10000 + 20000 \cdot \frac{1}{2} = 30000. ⇒F=30000=1003≈173,2\Rightarrow F = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \approx 173{,}2 N. Hợp lực tác động lên thuyền có độ lớn khoảng 173,2 N.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Cho ba điểm $A, B, C$ tùy ý. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
Câu 2:Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ là:
Câu 3:Cho $\vec{a} = (3; -4)$. Độ dài của vectơ $\vec{a}$ là:
Câu 4:Cho $A(1; 1), B(3; 5)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:
Câu 5:Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
Câu 6:Cho $\vec{u} = (1; 1), \vec{v} = (0; 1)$. Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ bằng:
Đúng / Sai
Câu 7Cho tam giác $ABC$ có G là trọng tâm. Xét tính đúng sai của các mệnh đề:
a)$overrightarrow{GA} + overrightarrow{GB} + overrightarrow{GC} = ec{0}$
b)Với điểm O bất kỳ, $overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB} + overrightarrow{OC} = 3overrightarrow{OG}$
c)$overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC}$
d)$|overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}| = |overrightarrow{BC}|$
Đúng / Sai
Câu 8Cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 2)$ và $\vec{b} = (m; 1)$. Đúng hay sai?
a)Nếu $m = -2$ thì hai vectơ cùng phương.
b)Nếu $m = -2$ thì hai vectơ vuông góc.
c)Độ dài $| ec{a}| = sqrt{5}$.
d)Khi $m = 1/2$ thì $ ec{a}$ và $ ec{b}$ cùng phương.
Câu 9:Cho hình bình hành $ABCD$. Tính giá trị của biểu thức $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$.
Câu 10:Trong mặt phẳng Oxy, cho $A(1; 3), B(4; 7)$. Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Cho hình bình hành ABCDABCD tâm OO. Chứng minh rằng: a) OA→+OB→+OC→+OD→=0⃗\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0} b) MA→+MC→=MB→+MD→\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} với mọi điểm MM. c) AB→+AC→+AD→=2AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AC} d) BA→+BC→=BD→\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}

💡 Đáp án

a) OA→+OC→=0⃗\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0} và OB→+OD→=0⃗\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. b) Chèn điểm O. c) AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}. d) Quy tắc hình bình hành.

Câu 2. Cho tam giác ABCABC. Gọi MM là trung điểm BCBC, GG là trọng tâm. a) Phân tích AM→\overrightarrow{AM} theo AB→\overrightarrow{AB} và AC→\overrightarrow{AC}. b) Phân tích AG→\overrightarrow{AG} theo AB→\overrightarrow{AB} và AC→\overrightarrow{AC}. c) Gọi II là trung điểm AMAM. Chứng minh 2IA→+IB→+IC→=0⃗2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0}. d) Phân tích BI→\overrightarrow{BI} theo BA→\overrightarrow{BA} và BC→\overrightarrow{BC}.

💡 Đáp án

a) AM→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}). b) AG→=13(AB→+AC→)\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}). c) 2IA→+2IM→=0⃗2\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IM} = \vec{0}. d) BI→=12BA→+14BC→\overrightarrow{BI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{BC}.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho A(2;1),B(−1;3),C(4;5)A(2; 1), B(-1; 3), C(4; 5). a) Tìm tọa độ trung điểm MM của BCBC. b) Tìm tọa độ trọng tâm GG của tam giác ABCABC. c) Tìm tọa độ điểm DD sao cho AA là trung điểm của BDBD. d) Tìm tọa độ điểm EE sao cho ABCEABCE là hình bình hành.

💡 Đáp án

a) (1,5; 4). b) (5/3; 3). c) (5; -1). d) (7, 3).

Câu 4. (Thực tế - Vật lý) Một vật nặng P=50P = 50 N được treo bởi hai sợi dây tạo với phương nằm ngang các góc 30∘30^\circ và 45∘45^\circ. a) Vẽ các vectơ lực tác dụng lên vật. b) Thiết lập hệ phương trình cân bằng lực. c) Tính lực căng của mỗi sợi dây. d) Nếu thay góc 45∘45^\circ bằng 30∘30^\circ, lực căng dây thay đổi thế nào?

💡 Đáp án

c) T1≈36,6T_1 \approx 36,6 N, T2≈44,8T_2 \approx 44,8 N. d) Hai lực bằng nhau và bằng 50 N.

Câu 5. Cho hai vectơ a⃗=(1;−2)\vec{a} = (1; -2) và b⃗=(−3;4)\vec{b} = (-3; 4). a) Tính u⃗=2a⃗−3b⃗\vec{u} = 2\vec{a} - 3\vec{b}. b) Tính tích vô hướng a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}. c) Tính cosin góc giữa a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b}. d) Tìm số thực kk để vectơ v⃗=(k;1)\vec{v} = (k; 1) vuông góc với a⃗\vec{a}.

💡 Đáp án

a) (11; -16). b) -11. c) -0,98. d) k=2.

Câu 6. Cho tam giác ABCABC đều cạnh aa. Tính: a) AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} b) AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} c) AC→⋅(AB→+BC→)\overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) d) (AB→−AC→)⋅BC→(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{BC}

💡 Đáp án

a) a2/2a^2/2. b) −a2/2-a^2/2. c) a2a^2. d) −a2-a^2.

Câu 7. Chứng minh rằng với bốn điểm bất kỳ A,B,C,DA, B, C, D ta luôn có: AB→⋅CD→+BC→⋅AD→+CA→⋅BD→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = 0.

💡 Đáp án

Biến đổi vế trái về tổng các tích vô hướng triệt tiêu.

Câu 8. (Tối ưu hóa) Cho hai điểm A(1;2)A(1; 2) và B(5;6)B(5; 6). Tìm điểm MM trên trục hoành OxOx sao cho: a) ∣MA→+MB→∣|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| nhỏ nhất. b) MA+MBMA + MB nhỏ nhất. c) MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} nhỏ nhất. d) Tam giác MABMAB vuông tại MM.

💡 Đáp án

a) M(3,0)M(3, 0). b) M(2,0)M(2, 0). c) M(3,0)M(3, 0). d) Không có M.

Câu 9. (Thực tế - Vận tốc) Một máy bay bay với vận tốc 500 km/h theo hướng Bắc. Một luồng gió thổi từ hướng Đông sang Tây với vận tốc 50 km/h. a) Vẽ vectơ vận tốc của máy bay và vectơ vận tốc của gió. b) Tìm vận tốc thực tế (tốc độ và hướng) của máy bay so with mặt đất. c) Nếu máy bay muốn giữ đúng hướng Bắc, nó phải lái theo hướng nào? d) Thời gian bay 1000 km thực tế là bao nhiêu?

💡 Đáp án

b) 502,5 km/h. c) Lệch Đông 5,74 độ. d) 2 h.

Câu 10. Cho đường tròn tâm OO bán kính RR. Một điểm MM nằm ngoài đường tròn. Cát tuyến qua MM cắt đường tròn tại AA and BB. a) Chứng minh MA→⋅MB→=MO2−R2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MO^2 - R^2. b) Giá trị này có phụ thuộc vào hướng của cát tuyến không? c) Nếu MM nằm trên đường tròn, tích vô hướng bằng bao nhiêu? d) Nếu MTMT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm), chứng minh MT2=MA→⋅MB→MT^2 = \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}.

💡 Đáp án

a) Chèn O. b) Không. c) 0. d) MT^2.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục