Ôn tập Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Hàm số và đồ thị

Định nghĩa: Một quy tắc gán mỗi phần tử $x \in D$ với duy nhất một phần tử $y \in \mathbb{R}$ . $D$ là tập xác định.
Tính đơn điệu:
- Đồng biến trên $K$ : $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ . Đồ thị đi lên.
- Nghịch biến trên $K$ : $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ . Đồ thị đi xuống.

⚡ 2. Hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$)

Đồ thị: Parabol có đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$ , trục đối xứng $x = -\frac{b}{2a}$ .
Chiều biến thiên:
- Nếu $a > 0$ : Nghịch biến trên $(-\infty; -b/2a)$ , đồng biến trên $(-b/2a; +\infty)$ . Bề lõm hướng lên.
- Nếu $a < 0$ : Đồng biến trên $(-\infty; -b/2a)$ , nghịch biến trên $(-b/2a; +\infty)$ . Bề lõm hướng xuống.

⚡ 3. Dấu của tam thức bậc hai

Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$ ( $a \neq 0$ ).

Nếu $\Delta < 0$ : $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ .
Nếu $\Delta = 0$ : $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \neq -b/2a$ .
Nếu $\Delta > 0$ : $f(x)$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ . Trong khoảng hai nghiệm, $f(x)$ trái dấu với $a$ ; ngoài khoảng hai nghiệm, $f(x)$ cùng dấu với $a$ .

⚡ 4. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Dạng 1: $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) \geq 0 \text{ (hoặc } g(x) \geq 0) \end{cases}$ .
Dạng 2: $\sqrt{f(x)} = ax + b \Leftrightarrow \begin{cases} ax + b \geq 0 \\ f(x) = (ax + b)^2 \end{cases}$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Kỹ thuật giải quyết:

Khảo sát hàm bậc hai: Luôn tìm đỉnh và trục đối xứng trước.
Xét dấu tam thức: Lập bảng xét dấu để giải bất phương trình bậc hai.
Giải phương trình chứa căn: Luôn phải có điều kiện để biểu thức dưới căn không âm và điều kiện để bình phương hai vế (vế còn lại không âm).

🔍 Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$ .

💡 Xem lời giải

Điều kiện xác định: $\begin{cases} x+1 \geq 0 \\ x-2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -1 \\ x \neq 2 \end{cases}$ . Vậy tập xác định $D = [-1; +\infty) \setminus \{2\}$ .

🔍 Ví dụ 2: Khảo sát hàm số bậc hai

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = x^2 - 4x + 3$ .

💡 Xem lời giải

Hệ số $a = 1 > 0$ , $b = -4, c = 3$ .
Đỉnh $I(2; -1)$ . Trục đối xứng $x = 2$ .
Bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 2)$ , đồng biến trên $(2; +\infty)$ .
Đồ thị cắt $Oy$ tại $(0; 3)$ , cắt $Ox$ tại $(1; 0)$ và $(3; 0)$ .

🔍 Ví dụ 3: Giải bất phương trình bậc hai

Giải bất phương trình: $-x^2 + 5x - 6 > 0$ .

💡 Xem lời giải

Xét tam thức $f(x) = -x^2 + 5x - 6$ . Cho $f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 3$ . Hệ số $a = -1 < 0$ . Theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng”, $f(x) > 0$ khi $x$ nằm trong khoảng hai nghiệm. Vậy tập nghiệm $S = (2; 3)$ .

🔍 Ví dụ 4: Giải phương trình chứa căn thức

Giải phương trình: $\sqrt{2x^2 - 3x + 1} = x - 1$ .

💡 Xem lời giải

Điều kiện: $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$ . Bình phương hai vế: $2x^2 - 3x + 1 = (x - 1)^2$ $2x^2 - 3x + 1 = x^2 - 2x + 1$ $x^2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ . Đối chiếu điều kiện $x \geq 1$ , ta chỉ nhận nghiệm $x = 1$ . Vậy tập nghiệm $S = \{1\}$ .

🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Tầm bay của quả bóng

Một quả bóng được đá lên từ mặt đất theo quỹ đạo parabol $h(t) = -5t^2 + 20t$ (với $h$ là độ cao tính bằng mét, $t$ là thời gian tính bằng giây). a) Sau bao lâu quả bóng đạt độ cao lớn nhất? b) Độ cao lớn nhất là bao nhiêu? c) Sau bao lâu quả bóng chạm đất?

💡 Xem lời giải

a) Quả bóng đạt độ cao lớn nhất tại đỉnh của parabol. $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = 2$ giây. b) Độ cao lớn nhất: $h(2) = -5(2^2) + 20(2) = -20 + 40 = 20$ mét. c) Quả bóng chạm đất khi $h(t) = 0$ : $-5t^2 + 20t = 0 \Leftrightarrow 5t(4-t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$ (lúc bắt đầu) hoặc $t = 4$ . Vậy sau 4 giây quả bóng chạm đất.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Tập xác định của hàm số $y = \sqrt{3-x}$ là:

Câu 2:Đỉnh của parabol $y = x^2 - 2x + 5$ là:

Câu 3:Hàm số $y = -x^2 + 4x - 1$ đồng biến trên khoảng nào?

Câu 4:Tập nghiệm của bất phương trình $x^2 - 4 < 0$ là:

Câu 5:Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2 - 1} = x - 1$ là:

Câu 6:Cho tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ có $\Delta < 0$ và $a < 0$. Khẳng định nào đúng?

Đúng / Sai

Câu 7Cho hàm số $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ (đỉnh $I(1; 2)$, đi qua gốc tọa độ O). Đúng hay sai?

a)Hệ số $a < 0$.

b)Hệ số $c = 0$.

c)Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2.

d)Hàm số nghịch biến trên $(1; +infty)$.

Đúng / Sai

Câu 8Xét bất phương trình $\sqrt{x^2 - 3x + 2} \leq x + 1$. Đúng hay sai?

a)Điều kiện xác định là $1 leq x leq 2$.

b)Vế phải $x+1$ phải không âm.

c)Sau khi bình phương ta được bất phương trình bậc nhất.

d)Xác định được tập nghiệm là một nửa khoảng.

Câu 9:Tìm giá trị của $m$ để phương trình $x^2 - 2x + m = 0$ có nghiệm duy nhất.

Câu 10:Cho hàm số $f(x) = x^2 - 4x + 10$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) $y = \sqrt{2x-4} + \sqrt{6-x}$ b) $y = \frac{x+1}{x^2-3x+2}$ c) $y = \sqrt{\frac{x+1}{1-x}}$ d) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

💡 Đáp án

a) $D = [2; 6]$ . b) $D = \mathbb{R} \setminus \{1; 2\}$ . c) $[-1; 1)$ . d) $\mathbb{R}$ .

Câu 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số bậc hai: a) $y = x^2 - 2x$ b) $y = -x^2 + 4x + 5$ c) $y = 2x^2 + 4x + 2$ d) $y = -x^2 + 2x - 3$

💡 Đáp án

a) Đỉnh $I(1; -1)$ , $a > 0$ . b) Đỉnh $I(2; 9)$ , $a < 0$ . c) Đỉnh $I(-1; 0)$ , $a > 0$ . d) Đỉnh $I(1; -2)$ , $a < 0$ .

Câu 3. (Tham số) Cho hàm số $y = x^2 - 2mx + m^2 - 1$ . a) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1; 3)$ . b) Chứng minh rằng đồ thị luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi $m$ . c) Tìm $m$ để đỉnh của parabol nằm trên trục hoành. d) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$ .

💡 Đáp án

a) $3 = 1^2 - 2m + m^2 - 1 \Rightarrow m^2 - 2m - 3 = 0 \Rightarrow m = -1, m = 3$ . b) $\Delta' = (-m)^2 - (m^2 - 1) = 1 > 0$ . c) Đỉnh trên trục hoành $\Leftrightarrow y_I = 0 \Leftrightarrow \Delta' = 0$ (Vô lý vì $\Delta' = 1$ ). Không có m. d) $-\frac{b}{2a} = m \leq 2 \Rightarrow m \leq 2$ .

Câu 4. (Thực tế - Kinh doanh) Một công ty bán trà sữa với giá 40k/ly thì bán được 100 ly mỗi ngày. Nếu tăng giá thêm 1k thì số ly bán giảm đi 2 ly. a) Gọi $x$ là số tiền tăng thêm (nghìn đồng). Viết biểu thức doanh thu $D(x)$ . b) $D(x)$ là hàm số bậc mấy? Tìm đỉnh của nó. c) Công ty nên bán trà sữa với giá bao nhiêu để đạt doanh thu lớn nhất? d) Tại mức giá đó, doanh thu mỗi ngày là bao nhiêu?

💡 Đáp án

a) $D(x) = (40+x)(100-2x) = -2x^2 + 20x + 4000$ . b) Bậc 2. Đỉnh $x = -20/(2(-2)) = 5$ . c) Tăng 5k $\Rightarrow$ Giá mới 45k/ly. d) $D(5) = 4050$ nghìn đồng.

Câu 5. Giải các bất phương trình sau: a) $2x^2 - 5x + 2 \leq 0$ b) $-x^2 + x + 12 > 0$ c) $x^2 + 4x + 4 > 0$ d) $3x^2 - 2x + 5 < 0$

💡 Đáp án

a) $[1/2; 2]$ . b) $(-3; 4)$ . c) $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ . d) $\emptyset$ .

Câu 6. Tìm giá trị của $m$ để: a) Tam thức $x^2 - 2x + m$ luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$ . b) Tam thức $-x^2 + 4x + m$ luôn âm với mọi $x \in \mathbb{R}$ . c) Phương trình $(m-1)x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt. d) Bất phương trình $x^2 - mx + 1 \leq 0$ vô nghiệm.

💡 Đáp án

a) $m > 1$ . b) $m < -4$ . c) $m \neq 1$ và $\Delta > 0 \Rightarrow m < 2/3$ . d) $-2 < m < 2$ .

Câu 7. Giải các phương trình chứa căn thức: a) $\sqrt{x^2-x-2} = \sqrt{2x^2+x-1}$ b) $\sqrt{3x^2-4x+1} = x + 1$ c) $\sqrt{2x-3} = x - 3$ d) $x + \sqrt{x-1} = 13$

💡 Đáp án

a) Vô nghiệm. b) $x = 0, x = 3$ . c) $x = 6$ . d) $x = 10$ .

Câu 8. (Thực tế - Xây dựng) Một chiếc cổng hình parabol có chiều rộng đáy là 6m, chiều cao là 4,5 m. a) Chọn hệ trục tọa độ phù hợp và viết phương trình đường parabol của cổng. b) Tính chiều cao của cổng tại vị trí cách chân cổng 1m. c) Một chiếc xe tải rộng 2,4m và cao 3m có đi lọt qua cổng không? d) Người ta muốn treo một tấm biển quảng cáo hình chữ nhật dưới cổng. Tìm kích thước tấm biển để diện tích lớn nhất.

💡 Đáp án

a) Gốc tọa độ tại đỉnh: $y = ax^2 + 4,5$ . Qua $(3, 0) \Rightarrow 0 = 9a + 4,5 \Rightarrow a = -0,5 \Rightarrow y = -0,5x^2 + 4,5$ . b) Cách chân cổng 1m ứng với $x = 2 \Rightarrow y = 2,5$ m. c) Xe rộng 2,4m ( $x = \pm 1,2$ ) $\Rightarrow y(1,2) = 3,78 > 3$ m. Đi lọt. d) Kích thước $2x \times y$ . Max dt khi $x = \sqrt{3}$ m.

Câu 9. Cho các hàm số $f(x) = x^2 - 4x + 3$ và $g(x) = -x + 1$ . a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục. b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị bằng phép tính. c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình $f(x) < g(x)$ . d) Tìm $k$ để đường thẳng $y = k$ cắt đồ thị $f(x)$ tại đúng 2 điểm phân biệt đều có hoành độ dương.

💡 Đáp án

b) $(1, 0)$ và $(2, -1)$ . c) $1 < x < 2$ . d) $x_I = 2, y_I = -1$ . Cắt tại 2 điểm hoành độ dương khi $-1 < k < 3$ .

Câu 10. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) $x^2 - (2m+1)x + m = 0$ b) $\sqrt{x^2+1} = x + m$ (Tìm điều kiện của m) c) $\sqrt{x-1} = m - x$ d) $ax^2 + bx - a = 0$ ( $a \neq 0$ ).

💡 Đáp án

a) $\Delta > 0$ . b) $m > 0$ . c) Đồ thị căn và đường thẳng luôn giao nhau khi $m$ đủ lớn. d) $a \cdot c = -a^2 < 0 \Rightarrow$ Luôn có 2 nghiệm trái dấu.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 6 - Toán 10

Ôn tập Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm