🛠️ Công cụ

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Cách giải các phương trình lượng giác cốt lõi: sin x = a, cos x = a, tan x = a và cot x = a theo cả đơn vị radian và độ.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

I. Phương trình sin⁡x=a\sin x = a

⚡ Công thức nghiệm
  • Nếu ∣a∣>1|a| > 1: Phương trình vô nghiệm (vì tập giá trị của sin là [−1;1][-1; 1]).
  • Nếu ∣a∣≤1|a| \leq 1: Ta tìm (hoặc bấm máy tính SHIFT + SIN) một góc α\alpha sao cho sin⁡α=a\sin \alpha = a. Khi đó ta có 2 họ nghiệm:
  • x=α+k2π(k∈Z)x = \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
  • x=π−α+k2π(k∈Z)x = \pi - \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Trường hợp đặc biệt:

  • sin⁡x=1⇔x=π2+k2π\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi
  • sin⁡x=−1⇔x=−π2+k2π\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi
  • sin⁡x=0⇔x=kπ\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi

(Nếu dùng đơn vị độ, thay π\pi thành 180∘180^\circ và α\alpha đổi sang góc độ. Tuyệt đối không dùng lẫn lộn cả độ và radian trong cùng một bài).

II. Phương trình cos⁡x=a\cos x = a

⚡ Công thức nghiệm
  • Nếu ∣a∣>1|a| > 1: Phương trình vô nghiệm (vì tập giá trị của cos là [−1;1][-1; 1]).
  • Nếu ∣a∣≤1|a| \leq 1: Ta tìm một góc α\alpha sao cho cos⁡α=a\cos \alpha = a. Hai điểm biểu diễn của phương trình này trên đường tròn lượng giác đối xứng nhau qua trục OxOx, tức là có 2 họ nghiệm đối nhau:
  • x=α+k2π(k∈Z)x = \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
  • x=−α+k2π(k∈Z)x = -\alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Trường hợp đặc biệt:

  • cos⁡x=1⇔x=k2π\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi
  • cos⁡x=−1⇔x=π+k2π\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi
  • cos⁡x=0⇔x=π2+kπ\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi

III. Phương trình tan⁡x=a\tan x = a và cot⁡x=a\cot x = a

Các hàm hàm tan⁡\tan và cot⁡\cot có tập giá trị là R\mathbb{R}, nên các phương trình này luôn luôn có nghiệm với mọi số thực aa. Hơn nữa, tính tuần hoàn của chúng là π\pi.

⚡ Công thức nghiệm Tan & Cot

1. Phương trình Tang: Gọi α\alpha là góc sao cho tan⁡α=a\tan \alpha = a. Khi đó:

  • x=α+kπ(k∈Z)x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

2. Phương trình Côtang: Gọi α\alpha là góc sao cho cot⁡α=a\cot \alpha = a. Khi đó:

  • x=α+kπ(k∈Z)x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

🔷 Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

📌 Phương pháp giải
  • Bước 1: Xem vế phải (aa) là GTLG của góc đặc biệt nào (VD: 12=sin⁡π6\dfrac{1}{2} = \sin \dfrac{\pi}{6}).
  • Bước 2: Đưa về mẫu chung f(biểu thức)=f(goˊc)f(\text{biểu thức}) = f(\text{góc}).
  • Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm và rút xx theo kk.
🔍 Ví dụ 1

Giải phương trình: 2cos⁡(x−π3)=12 \cos \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 1.

💡 Xem lời giải

Biến đổi phương trình về dạng chuẩn: cos⁡(x−π3)=12\cos \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}

Ta biết cos⁡π3=12\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}, nên phương trình tương đương: cos⁡(x−π3)=cos⁡π3\cos \left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos \dfrac{\pi}{3}

Áp dụng công thức nghiệm của cos: \begin{cases} x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ x - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{cases}

Chuyển −π3-\dfrac{\pi}{3} sang vế phải: \begin{cases} x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\ x = k2\pi \end{cases} \ (k \in \mathbb{Z})

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là x=2π3+k2πx = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi và x=k2πx = k2\pi.

🔷 Dạng 2: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên một khoảng cho trước

📌 Phương pháp giải
  • Bước 1: Giải phương trình như Dạng 1 để tìm họ nghiệm (phụ thuộc tham số lượng giác kk).
  • Bước 2: Cho họ nghiệm lọt vào khoảng (a,b)(a, b) hoặc đoạn [a,b][a, b] mà đề bài yêu cầu ⇒\Rightarrow được bất phương trình của biến số nguyên kk.
  • Bước 3: Tìm các giá trị k∈Zk \in \mathbb{Z} thỏa mãn bất phương trình đó.
  • Bước 4: Thay kk ngược lại họ nghiệm để có các điểm nghiệm cụ thể.
🔍 Ví dụ 2

Tìm các nghiệm của phương trình sin⁡2x=32\sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} thỏa mãn điều kiện −π<x<π-\pi < x < \pi.

💡 Xem lời giải

Ta có 32=sin⁡π3\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin \dfrac{\pi}{3}. Phương trình trở thành: \sin 2x = \sin \dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow \begin&#123;cases&#125; 2x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = \pi - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end&#123;cases&#125;

Chia cả hai vế cho 2: Họ ghiệm 1: x=π6+kπx = \dfrac{\pi}{6} + k\pi Họ ghiệm 2: x=π3+kπx = \dfrac{\pi}{3} + k\pi

Xét điều kiện thứ nhất: −π<π6+kπ<π-\pi < \dfrac{\pi}{6} + k\pi < \pi Chia cho π\pi: −1<16+k<1⇔−76<k<56-1 < \dfrac{1}{6} + k < 1 \Leftrightarrow -\dfrac{7}{6} < k < \dfrac{5}{6} (Từ -1.16 đến 0.83). Vì k \in \mathbb&#123;Z&#125; nên k \in \&#123;-1, 0\&#125;. ⇒k=−1\Rightarrow k = -1: x=π6−π=−5π6x = \dfrac{\pi}{6} - \pi = -\dfrac{5\pi}{6}. ⇒k=0\Rightarrow k = 0: x=π6x = \dfrac{\pi}{6}.

Xét điều kiện thứ hai: −π<π3+kπ<π-\pi < \dfrac{\pi}{3} + k\pi < \pi Chia cho π\pi: −1<13+k<1⇔−43<k<23-1 < \dfrac{1}{3} + k < 1 \Leftrightarrow -\dfrac{4}{3} < k < \dfrac{2}{3} (Từ -1.33 đến 0.66). Vì k \in \mathbb&#123;Z&#125; nên k \in \&#123;-1, 0\&#125;. ⇒k=−1\Rightarrow k = -1: x=π3−π=−2π3x = \dfrac{\pi}{3} - \pi = -\dfrac{2\pi}{3}. ⇒k=0\Rightarrow k = 0: x=π3x = \dfrac{\pi}{3}.

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng đã cho là: x \in \&#123; -\dfrac{5\pi}{6}; -\dfrac{2\pi}{3}; \dfrac{\pi}{6}; \dfrac{\pi}{3} \&#125;.

📝 Bài tập tự luyện

Nghiệm của phương trình $\\cos x = 3$ là:
Cho phương trình $\\tan x = \\sqrt{3}$. Công thức nghiệm của phương trình là:
Họ nghiệm của phương trình $\\sin x = \\sin \\dfrac{\\pi}{4}$ là:
Tính tổng các nghiệm của phương trình $\\sin x = 0$ trên đoạn $[0; 2\\pi]$. (Ghi kết quả dưới dạng số thập phân của hệ số nhân với $\\pi$, ví dụ $2\\pi$ thì ghi 2)
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục