Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Bài 1: a) $y' = 1 - \frac{2}{(x-1)^2} \implies y'' = \frac{4}{(x-1)^3}$. b) $y' = e^x(\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}) \implies y'' = e^x(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4x\sqrt{x}})$. c) $y' = 1 + \tan^2 x \implies y'' = 2\tan x (1 + \tan^2 x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$.

Bài 2:

• $y = (2x-x^2)^{1/2} \implies y' = \frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{1-x}{y}$.
• $y'' = \frac{-1 \cdot y - (1-x) \cdot y'}{y^2} = \frac{-y - (1-x)\frac{1-x}{y}}{y^2} = \frac{-y^2 - (1-x)^2}{y^3} = \frac{-(2x-x^2) - (1-2x+x^2)}{y^3} = \frac{-1}{y^3}$.
• $\implies y^3 y'' = -1 \implies y^3 y'' + 1 = 0$ (đpcm).

Bài 3: a) $v(t) = 10 - t$. Vật dừng lại khi $v=0 \iff t=10$ (s). b) $a(t) = v'(t) = -1$ (m/s²). Gia tốc không đổi suốt quá trình.

Bài 4: $y^{(n)} = 2^n \cdot e^{2x}$.

Bài 5:

• $f'(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 1$.
• $f'(x) > 0, \forall x \iff a=1>0$ và $\Delta' = m^2 - (m^2-1) = 1 > 0$ (Mâu thuẫn, $\Delta' > 0$ thì $f'$ có 2 nghiệm $\implies$ luôn có khoảng $f' < 0$).
• Vậy không tồn tại $m$. (Lưu ý: Nếu đề bài cho f’(x) không âm hoặc bài toán khác đi, cách xử lý là dùng denta và hệ số a).

Bài 6:

• Đạo hàm cấp một: $y' = \frac{2(1) - (-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}$.
• Đạo hàm cấp hai: $y'' = 3 \cdot \frac{-2}{(x+1)^3} = \frac{-6}{(x+1)^3}$.
• Nhận thấy $y'' \neq 0$ với mọi $x \neq -1$. Do đó phương trình $y'' = 0$ vô nghiệm. (đpcm)

Bài 7:

• $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 10x - 1$.
• $f''(x) = 12x^2 - 12x + 10$.
• $f'''(x) = 24x - 12 \implies f'''(1) = 24(1) - 12 = 12$.
• $f^{(4)}(x) = 24 \implies f^{(4)}(1) = 24$.

Bài 8:

• $y' = \sin x + x\cos x$.
• $y'' = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$.
• Xét vế trái (VT): $x^2(2\cos x - x\sin x) - 2x(\sin x + x\cos x) + (x^2 + 2)(x\sin x)$ $= 2x^2\cos x - x^3\sin x - 2x\sin x - 2x^2\cos x + x^3\sin x + 2x\sin x$ $= (2x^2\cos x - 2x^2\cos x) + (-x^3\sin x + x^3\sin x) + (-2x\sin x + 2x\sin x) = 0$. (đpcm)

Bài 9:

• Vận tốc: $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t + 2$.
• Gia tốc: $a(t) = v'(t) = s''(t) = -6t + 12$.
• Gia tốc bằng $0 \iff -6t + 12 = 0 \iff t = 2$ (s).
• Thay $t = 2$ vào biểu thức vận tốc: $v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 2 = -12 + 24 + 2 = 14$ (m/s).

Bài 10:

• $y' = -2\sin(2x) - m\cos x$.
• $y'' = -4\cos(2x) + m\sin x = -4(1 - 2\sin^2 x) + m\sin x = 8\sin^2 x + m\sin x - 4$.
• Đề bài yêu cầu $y'' \ge -6, \forall x \iff 8\sin^2 x + m\sin x - 4 \ge -6, \forall x \iff 8\sin^2 x + m\sin x + 2 \ge 0, \forall x$.
• Đặt $t = \sin x, t \in [-1; 1]$. Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm $m$ để $g(t) = 8t^2 + mt + 2 \ge 0, \forall t \in [-1; 1]$.
• Ta có $\Delta = m^2 - 64$.
  • Nếu $\Delta \le 0 \iff -8 \le m \le 8$ thì $g(t) \ge 0, \forall t \in \mathbb{R}$ (chắc chắn $\ge 0$ trên $[-1; 1]$). Vậy $m \in [-8; 8]$ thỏa mãn.
  • Nếu $\Delta > 0 \iff \left[\begin{aligned} &m > 8 \\ &m < -8 \end{aligned}\right.$. Phương trình $g(t)=0$ có hai nghiệm phân biệt $t_1 < t_2$. Để $g(t) \ge 0, \forall t \in [-1; 1]$, suy ra khoảng $[-1; 1]$ phải nằm hoàn toàn bên ngoài khoảng $(t_1; t_2)$. Với $m > 8 \implies$ hoàng độ đỉnh $t_I = -\frac{m}{16} < -\frac{1}{2}$. Để khoảng $[-1; 1]$ nằm ngoài miền âm thì $g(-1) \ge 0 \implies 8 - m + 2 \ge 0 \implies m \le 10 \implies m \in (8; 10]$. Với $m < -8 \implies t_I > \frac{1}{2}$, tương tự $g(1) \ge 0 \implies 8 + m + 2 \ge 0 \implies m \ge -10 \implies m \in [-10; -8)$.
• Kết luận: Vậy $m \in [-10; 10]$.