CĐ2 - Bài 3: Quy hoạch tuyến tính

I. Lý thuyết trọng tâm Quy hoạch tuyến tính

1. Bài toán Quy hoạch tuyến tính 2 ẩn

⚡ Mô hình Bài toán Quy hoạch tuyến tính

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của **hàm mục tiêu tuyến tính**:

$$F(x, y) = ax + by$$

thỏa mãn **hệ ràng buộc tuyến tính** có dạng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$:

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y \le c_1 \\ a_2 x + b_2 y \le c_2 \\ \dots \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$

2. Miền nghiệm đa giác & Định lý về đỉnh cực trị

⚡ Định lý Đỉnh của Bài toán Quy hoạch tuyến tính

• Miền chấp nhận được (miền nghiệm) của hệ ràng buộc là một đa giác lồi kín (nếu có nghiệm bị chặn).

• Định lý: Giá trị lớn nhất $F_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất $F_{\min}$ của hàm mục tiêu $F(x, y) = ax + by$ trên miền đa giác lồi luôn đạt được tại ít nhất một trong các đỉnh của đa giác đó.

3. Thuật toán 3 bước tìm F_max và F_min

📌 Thuật toán giải 3 bước chuẩn

Bước 1 (Vẽ & Tìm đỉnh): Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng Oxy. Xác định tọa độ tất cả các đỉnh $A_1, A_2, \dots, A_m$ của đa giác miền nghiệm.
Bước 2 (Tính giá trị F): Tính giá trị hàm mục tiêu $F(A_i) = a x_i + b y_i$ tại từng đỉnh $A_i$.
Bước 3 (So sánh & Kết luận): Chọn giá trị $F$ lớn nhất ($F_{\max}$) hoặc nhỏ nhất ($F_{\min}$) trong các giá trị đã tính và chỉ ra điểm $(x, y)$ tối ưu tương ứng.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây biểu diễn miền nghiệm tứ giác $OABC$ và đường mức của hàm mục tiêu $F(x,y) = 3x + 2y$.

💡 Mô phỏng 1: Đa giác miền nghiệm O(0,0), A(4,0), B(3,2), C(0,3) và điểm F_max tại B.

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Vẽ các đường thẳng ranh giới $d_i: a_i x + b_i y = c_i$.
Thử điểm $O(0;0)$ (nếu không nằm trên đường thẳng) để xác định nửa mặt phẳng nghiệm của từng bất phương trình.
Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm, phần không bị gạch chính là miền nghiệm cần tìm.

🔍 Ví dụ 1.1 (Xác định miền nghiệm của hệ 3 bất phương trình)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \end{cases}$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

💡Xem lời giải chi tiết

• $x \ge 0$: nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$.

• $y \ge 0$: nửa mặt phẳng phía trên trục $Ox$.

• $x + y \le 4$: nửa mặt phẳng chứa gốc $O(0;0)$ giới hạn bởi đường thẳng $d: x + y = 4$.

• Kết luận: Miền nghiệm là tam giác vuông cân $OAB$ với $O(0;0), A(4;0), B(0;4)$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Xác định miền nghiệm tứ giác bị chặn)

Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ x + 2y \le 6 \\ 2x + y \le 6 \end{cases}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Miền nghiệm nằm trong góc phần tư thứ nhất $x \ge 0, y \ge 0$.

• Giao điểm của hai đường thẳng $x + 2y = 6$ và $2x + y = 6$ là điểm $I(2; 2)$.

• Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với $O(0;0), A(3;0), B(2;2), C(0;3)$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Miền nghiệm không bị chặn / mở ra vô cực)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ x + y \ge 3 \\ x + 2y \ge 4 \end{cases}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Miền nghiệm không chứa gốc $O(0;0)$.

• Giao hai đường thẳng: $x + y = 3$ và $x + 2y = 4 \Rightarrow I(2; 1)$.

• Miền nghiệm là miền mở không bị chặn có ranh giới đi qua các điểm $A(4;0), I(2;1), B(0;3)$.

Dạng 2: Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm đa giác lồi

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Giải các hệ hai phương trình đường thẳng giao nhau để tìm tọa độ từng đỉnh $A, B, C, \dots$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Tìm 4 đỉnh của tứ giác miền nghiệm)

Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm hệ $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ x + y \le 5 \\ x + 3y \le 9 \end{cases}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $O(0; 0)$ là gốc tọa độ.

• $A = (x+y=5) \cap Ox \Rightarrow A(5; 0)$.

• $B = (x+y=5) \cap (x+3y=9) \Rightarrow \begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases} \Rightarrow B(3; 2)$.

• $C = (x+3y=9) \cap Oy \Rightarrow C(0; 3)$. Tọa độ các đỉnh là $O(0;0), A(5;0), B(3;2), C(0;3)$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Tìm đỉnh của miền nghiệm ngũ giác)

Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm $\begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ 0 \le y \le 3 \\ x + y \le 5 \end{cases}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• 5 đỉnh bao gồm: $O(0;0), A(4;0), B(4;1), C(2;3), D(0;3)$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Tìm đỉnh của tam giác miền nghiệm)

Tìm các đỉnh của tam giác miền nghiệm giới hạn bởi 3 đường thẳng $x = 1, y = 1$ và $x + y = 6$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $A = (x=1) \cap (y=1) \Rightarrow A(1; 1)$.

• $B = (x=1) \cap (x+y=6) \Rightarrow B(1; 5)$.

• $C = (y=1) \cap (x+y=6) \Rightarrow C(5; 1)$. Tam giác có các đỉnh $A(1;1), B(1;5), C(5;1)$.

Dạng 3: Tối ưu hàm mục tiêu F(x, y) = ax + by (Tìm F_max, F_min)

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Tính $F$ tại tất cả các đỉnh đa giác đã tìm được ở Dạng 2, so sánh chọn giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

🔍 Ví dụ 3.1 (Tìm F_max và F_min trên miền nghiệm tứ giác)

Tìm $F_{\max}$ và $F_{\min}$ của $F(x, y) = 3x + 2y$ trên miền nghiệm tứ giác $OABC$ với $O(0;0), A(5;0), B(3;2), C(0;3)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $F(O) = 3(0) + 2(0) = 0$.

• $F(A) = 3(5) + 2(0) = 15$.

• $F(B) = 3(3) + 2(2) = 13$.

• $F(C) = 3(0) + 2(3) = 6$.

• Kết luận: $F_{\max} = 15$ tại $A(5; 0)$; $F_{\min} = 0$ tại $O(0; 0)$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Tìm F_min trên miền không bị chặn)

Tìm $F_{\min}$ của $F(x, y) = 2x + 3y$ trên miền mở $x \ge 0, y \ge 0$ thỏa mãn $x + y \ge 3$ và $x + 2y \ge 4$ (các đỉnh ranh giới $A(4;0), I(2;1), B(0;3)$).

💡Xem lời giải chi tiết

• $F(A) = 2(4) + 3(0) = 8$.

• $F(I) = 2(2) + 3(1) = 7$.

• $F(B) = 2(0) + 3(3) = 9$.

• Vì các hệ số $a=2, b=3 > 0$ nên $F \to +\infty$ khi $x, y \to +\infty$. Do đó $F_{\min} = 7$ tại $I(2; 1)$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Tối ưu hóa hàm chi phí F(x, y) = 400x + 300y)

Cho miền nghiệm tam giác $A(1;1), B(1;5), C(5;1)$. Tìm $(x, y)$ để $F(x, y) = 400x + 300y$ đạt giá trị nhỏ nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• $F(A) = 400(1) + 300(1) = 700$.

• $F(B) = 400(1) + 300(5) = 1900$.

• $F(C) = 400(5) + 300(1) = 2300$.

• $F_{\min} = 700$ tại $A(1; 1)$.

Dạng 4: Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu lợi nhuận

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Gọi $x, y$ là số lượng sản phẩm loại I và II ($x \ge 0, y \ge 0$).
Lập hệ bất phương trình ràng buộc về nguyên liệu, máy móc, thời gian.
Lập hàm lợi nhuận $F(x, y) = c_1 x + c_2 y$ và tìm $F_{\max}$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Lập kế hoạch sản xuất 2 loại bánh)

Một xưởng sản xuất 2 loại bánh A và B. Một chiếc bánh A lãi 40.000đ, bánh B lãi 30.000đ. Để sản xuất 1 bánh A cần 200g bột và 20g đường; 1 bánh B cần 100g bột và 30g đường. Xưởng có tối đa 1,2 kg bột và 240g đường. Hỏi nên sản xuất bao nhiêu bánh mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất?

💡Xem lời giải chi tiết

• Gọi $x, y$ là số bánh A và B ($x, y \ge 0$).

• Ràng buộc bột: $200x + 100y \le 1200 \Leftrightarrow 2x + y \le 12$.

• Ràng buộc đường: $20x + 30y \le 240 \Leftrightarrow 2x + 3y \le 24$.

• Hàm lợi nhuận $F(x, y) = 40x + 30y$ (nghìn đồng).

• Đỉnh miền nghiệm: $O(0;0), A(6;0), B(3;6), C(0;8)$.

• $F(O)=0, F(A)=240, F(B)=300, F(C)=240$.

• Lợi nhuận lớn nhất 300.000đ khi sản xuất 3 bánh A và 6 bánh B.

🔍 Ví dụ 4.2 (Sản xuất hai loại hàng gia dụng)

Một xí nghiệp sản xuất sản phẩm I lãi 300.000đ/cái, sản phẩm II lãi 400.000đ/cái. Mỗi sản phẩm I dùng 2h máy A và 1h máy B. Mỗi sản phẩm II dùng 1h máy A và 2h máy B. Máy A hoạt động tối đa 8h/ngày, máy B tối đa 10h/ngày. Tìm số sản phẩm mỗi loại để lợi nhuận cao nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Hệ ràng buộc: $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ 2x + y \le 8 \\ x + 2y \le 10 \end{cases}$.

• Giao đỉnh: $O(0;0), A(4;0), B(2;4), C(0;5)$.

• $F(x,y) = 300x + 400y$. $F(O)=0, F(A)=1200, F(B)=2200, F(C)=2000$.

• Lợi nhuận cao nhất 2,2 triệu đồng khi làm 2 sản phẩm I và 4 sản phẩm II.

🔍 Ví dụ 4.3 (Lập kế hoạch trồng lúa và ngô)

Bác An có 8 ha đất trồng lúa và ngô. Trồng 1 ha lúa cần 10 công và lãi 30 triệu. Trồng 1 ha ngô cần 30 công và lãi 40 triệu. Bác An có tối đa 180 công. Tính diện tích mỗi loại cây trồng để lãi lớn nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Hệ ràng buộc: $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ x + y \le 8 \\ 10x + 30y \le 180 \Leftrightarrow x + 3y \le 18 \end{cases}$.

• Các đỉnh: $O(0;0), A(8;0), B(3;5), C(0;6)$.

• $F(x,y) = 30x + 40y$. $F(O)=0, F(A)=240, F(B)=290, F(C)=240$.

• Lãi lớn nhất 290 triệu đồng khi trồng 3 ha lúa và 5 ha ngô.

Dạng 5: Bài toán dinh dưỡng & phối hợp nguyên liệu tối thiểu chi phí

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Lập hệ ràng buộc dinh dưỡng/nguyên liệu tối thiểu $\ge c_i$. Lập hàm chi phí $F(x, y) = p_1 x + p_2 y$ và tìm giá trị nhỏ nhất $F_{\min}$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Khẩu phần ăn dinh dưỡng tối thiểu chi phí)

Một bệnh nhân cần tối thiểu 600 đơn vị Vitamin A và 500 đơn vị Vitamin B mỗi ngày. Thức ăn X giá 40.000đ/kg chứa 200 đơn vị A và 100 đơn vị B. Thức ăn Y giá 30.000đ/kg chứa 100 đơn vị A và 100 đơn vị B. Tìm lượng X và Y để chi phí nhỏ nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Gọi $x, y$ là số kg thức ăn X và Y ($x, y \ge 0$).

• Ràng buộc A: $200x + 100y \ge 600 \Leftrightarrow 2x + y \ge 6$.

• Ràng buộc B: $100x + 100y \ge 500 \Leftrightarrow x + y \ge 5$.

• Đỉnh miền mở: $A(5; 0), I(1; 4), B(0; 6)$.

• $F(x,y) = 40x + 30y$. $F(A)=200, F(I)=160, F(B)=180$.

• Chi phí nhỏ nhất 160.000đ khi dùng 1 kg X và 4 kg Y.

🔍 Ví dụ 5.2 (Pha chế thức ăn chăn nuôi gia súc)

Để pha chế 1 bao thức ăn gia súc cần tối thiểu 10 đơn vị Chất đạm và 12 đơn vị Chất xơ. Nguyên liệu A giá 50k/kg chứa 2 đạm, 1 xơ. Nguyên liệu B giá 40k/kg chứa 1 đạm, 2 xơ. Tìm cách phối hợp tốn ít tiền nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Hệ ràng buộc: $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ 2x + y \ge 10 \\ x + 2y \ge 12 \end{cases}$.

• Đỉnh ranh giới: $A(12; 0), I(8/3; 14/3), B(0; 10)$.

• $F(x,y) = 50x + 40y$. $F(A)=600, F(I)=320, F(B)=400$.

• Chi phí nhỏ nhất 320k tại điểm $I(8/3; 14/3)$ kg.

🔍 Ví dụ 5.3 (Thuê xe vận chuyển hàng hóa chi phí tối thiểu)

Một công ty cần chở 140 người và 9 tấn hàng. Xe lớn giá 4 triệu/chiếc chở được 20 người và 0,6 tấn. Xe nhỏ giá 3 triệu/chiếc chở được 10 người và 1,5 tấn. Thuê bao nhiêu xe mỗi loại để tiền thuê nhỏ nhất?

💡Xem lời giải chi tiết

• Hệ ràng buộc: $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ 20x + 10y \ge 140 \Leftrightarrow 2x + y \ge 14 \\ 0,6x + 1,5y \ge 9 \Leftrightarrow 2x + 5y \ge 30 \end{cases}$.

• Đỉnh ranh giới: $A(15; 0), I(5; 4), B(0; 14)$.

• $F(x,y) = 4x + 3y$. $F(A)=60, F(I)=32, F(B)=42$.

• Chi phí nhỏ nhất 32 triệu đồng khi thuê 5 xe lớn và 4 xe nhỏ.

Dạng 6: Bài toán phân bổ nguồn lực & lao động giới hạn giờ công

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Kết hợp các hạn ngạch thị trường, lượng cầu tối đa/tối thiểu và quỹ thời gian máy móc để tối ưu hóa nguồn lực sản xuất.

🔍 Ví dụ 6.1 (Phân bổ giờ công của 2 phân xưởng)

Một xưởng may áo sơ mi và quần tây. Áo sơ mi lãi 50k/cái, quần tây lãi 80k/cái. Tổng số áo sơ mi sản xuất không quá 80 cái/ngày. Tổng số quần tây không quá 50 cái/ngày. Tổng số áo và quần không quá 100 cái/ngày. Tìm lợi nhuận tối đa.

💡Xem lời giải chi tiết

• Hệ ràng buộc: $0 \le x \le 80, 0 \le y \le 50, x + y \le 100$.

• Đỉnh ngũ giác: $O(0;0), A(80;0), B(80;20), C(50;50), D(0;50)$.

• $F(x,y) = 50x + 80y$. $F(O)=0, F(A)=4000, F(B)=5600, F(C)=6500, F(D)=4000$.

• Lợi nhuận lớn nhất 6,5 triệu đồng khi may 50 áo sơ mi và 50 quần tây.

🔍 Ví dụ 6.2 (Tối ưu hóa sản xuất nước giải khát)

Một nhà máy sản xuất nước cam và nước táo. Nước cam lãi 10k/lít, nước táo lãi 12k/lít. Mỗi lít nước cam cần 2kg cam và 1kg đường. Mỗi lít nước táo cần 1kg táo và 1kg đường. Kho có 100kg cam, 80kg táo và 120kg đường. Tìm lợi nhuận lớn nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Hệ ràng buộc: $0 \le x \le 50, 0 \le y \le 80, x + y \le 120$.

• Đỉnh: $O(0;0), A(50;0), B(50;70), C(40;80), D(0;80)$.

• $F(x,y) = 10x + 12y$. $F(B)=1340, F(C)=1360, F(D)=960$.

• Lãi lớn nhất 1,36 triệu đồng khi làm 40 lít nước cam và 80 lít nước táo.

🔍 Ví dụ 6.3 (Lập kế hoạch khai thác hai mỏ quặng)

Công ty khai thác Mỏ A giá 200 triệu/ngày cho 20 tấn quặng loại 1 và 10 tấn loại 2. Mỏ B giá 160 triệu/ngày cho 10 tấn loại 1 và 20 tấn loại 2. Cần tối thiểu 80 tấn loại 1 và 70 tấn loại 2. Tìm số ngày vận hành mỗi mỏ để chi phí thấp nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Ràng buộc: $\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ 20x + 10y \ge 80 \Leftrightarrow 2x + y \ge 8 \\ 10x + 20y \ge 70 \Leftrightarrow x + 2y \ge 7 \end{cases}$.

• Đỉnh ranh giới: $A(7; 0), I(3; 2), B(0; 8)$.

• $F(x,y) = 200x + 160y$. $F(A)=1400, F(I)=920, F(B)=1280$.

• Chi phí thấp nhất 920 triệu đồng khi vận hành Mỏ A 3 ngày và Mỏ B 2 ngày.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Hàm mục tiêu $F(x, y) = ax + by$ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một miền nghiệm đa giác lồi tại điểm nào?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho miền nghiệm là tứ giác $ABCD$ có tọa độ đỉnh $A(0; 0), B(2; 0), C(5; 4), D(0; 3)$. Giá trị lớn nhất của hàm $F(x, y) = 2x + 2y$ là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Cặp số $(x, y)$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \end{cases}$ sao cho $F(x, y) = 2x + y$ đạt giá trị lớn nhất là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn là một hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng. Nếu miền nghiệm là vô hạn (không bao kín), hàm mục tiêu $F(x,y)$ có thể:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Một xưởng sản xuất 2 loại sản phẩm A và B. Lãi 1 sản phẩm A là 2 trăm nghìn đồng, loại B là 3 trăm nghìn đồng. Gọi $x, y$ lần lượt là số sản phẩm A và B. Hàm lợi nhuận $F(x,y)$ cần tối ưu là:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Thuật toán tìm cực trị của bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn trên miền nghiệm đa giác gồm mấy bước chính?

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Một xí nghiệp có tối đa 100 giờ công làm việc. Mỗi sản phẩm loại 1 mất 2 giờ, sản phẩm loại 2 mất 4 giờ. Ràng buộc về thời gian làm việc là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $OAB$ với $O(0;0), A(4;0), B(0;6)$. Giá trị nhỏ nhất của $F(x,y) = 3x - 2y + 5$ trên miền tam giác $OAB$ là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Trong bài toán khẩu phần ăn tối ưu dinh dưỡng, mục tiêu thường là:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Điều kiện thực tế của số lượng sản phẩm $x, y$ trong bài toán sản xuất luôn là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Quy hoạch tuyến tính

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Quy hoạch tuyến tính (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $F(x, y) = 2x + 3y$ trên miền nghiệm tứ giác $ABCD$ với $A(0;0), B(4;0), C(3;3), D(0;2)$.

💡Xem lời giải Bài 1

• $F(A)=0, F(B)=8, F(C)=15, F(D)=6$.

• $F_{\max} = 15$ tại $C(3; 3)$; $F_{\min} = 0$ tại $A(0; 0)$.

Bài 2 (Thông hiểu — Kế hoạch sản xuất). Một cơ sở mộc làm bàn và ghế. 1 bàn lãi 200k và dùng 3h gỗ + 1h sơn. 1 ghế lãi 100k và dùng 1h gỗ + 1h sơn. Có 18h gỗ và 10h sơn mỗi ngày. Tìm số bàn ghế làm mỗi ngày để lãi lớn nhất.

💡Xem lời giải Bài 2

• Hệ: $3x + y \le 18, x + y \le 10 \Rightarrow B(4; 6)$.

• $F(x,y) = 200x + 100y$. $F(6;0)=1200, F(4;6)=1400, F(0;10)=1000$.

• Lãi lớn nhất 1,4 triệu khi đóng 4 bàn và 6 ghế.

Bài 3 (Vận dụng — Bài toán khẩu phần ăn). Cần phối hợp 2 loại thực phẩm A và B sao cho tổng Calo $\ge 800$ kcal và tổng Protein $\ge 60$g. 1kg A giá 60k chứa 200 kcal, 20g protein. 1kg B giá 40k chứa 100 kcal, 10g protein. Tìm chi phí tiền chợ nhỏ nhất.

💡Xem lời giải Bài 3

• $2x + y \ge 8, 2x + y \ge 6 \Rightarrow$ ràng buộc $2x + y \ge 8$.

• Miền mở đỉnh $A(4;0)$ và $B(0;8)$. $F(x,y) = 60x + 40y$. $F(A)=240, F(B)=320$.

• Chi phí nhỏ nhất 240k khi mua 4kg thực phẩm A và 0kg B.

Bài 4 (Vận dụng cao — Lập kế hoạch vận tải xe tải). Một đội xe có 10 xe lớn (tải trọng 5 tấn) và 8 xe nhỏ (tải trọng 2 tấn). Cần chở ít nhất 30 tấn hàng với chi phí xe lớn 1,5 triệu/chuyến, xe nhỏ 0,8 triệu/chuyến. Thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí nhỏ nhất?

💡Xem lời giải Bài 4

• $0 \le x \le 10, 0 \le y \le 8, 5x + 2y \ge 30$.

• Các đỉnh ranh giới: $A(6;0), B(10;0), C(10;8), D(2,8;8) \Rightarrow (3;8)$.

• $F(x,y) = 1,5x + 0,8y$. $F(6;0)=9, F(3;8)=10,9$. Chi phí nhỏ nhất 9 triệu khi dùng 6 xe lớn.

Bài 5 (Thực tế Doanh nghiệp). Công ty đầu tư dự án X (lãi 15%) và dự án Y (lãi 20%). Tổng vốn đầu tư không quá 10 tỷ. Vốn đầu tư vào Y không quá gấp 2 lần X. Tìm số tiền đầu tư vào mỗi dự án để lãi cao nhất.

💡Xem lời giải Bài 5

• $x + y \le 10, y \le 2x$. Đỉnh $A(10;0), B(10/3; 20/3)$.

• $F(x,y) = 0,15x + 0,20y$. $F(A)=1,5$ tỷ, $F(B) = 0,5 + 1,33 = 1,833$ tỷ.

• Đầu tư 3,33 tỷ vào X và 6,67 tỷ vào Y lãi lớn nhất 1,833 tỷ đồng.