Ôn tập Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Hai đường thẳng vuông góc

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa a’ và b’ (a’ // a, b’ // b) cùng đi qua một điểm.
Hai đường thẳng vuông góc nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$ . Kí hiệu $a \perp b$ .

⚡ 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định nghĩa: d $\perp$ (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong (P).
Điều kiện: Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a, b nằm trong (P) thì d $\perp$ (P).
Định lý ba đường vuông góc: Gọi $a'$ là hình chiếu của a lên (P). Khi đó $d \perp a \Leftrightarrow d \perp a'$ .

⚡ 3. Hai mặt phẳng vuông góc

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến tại một điểm.
Điều kiện: Nếu (P) chứa một đường thẳng d vuông góc với (Q) thì (P) $\perp$ (Q).
Tính chất: Nếu (P) $\perp$ (Q), đường thẳng d nằm trong (P) và $d$ vuông góc giao tuyến $\Delta$ thì d $\perp$ (Q).

⚡ 4. Khoảng cách và Thể tích

Khoảng cách: Từ điểm đến mp; giữa đường thẳng và mp song song; giữa hai mp song song; giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Thể tích khối lăng trụ: $V = S \cdot h$ (S: diện tích đáy, h: chiều cao).
Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} S \cdot h$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Phương pháp giải hình không gian:

Chứng minh $d \perp (P)$ : Tìm 2 đường cắt nhau trong $(P)$ cùng vuông góc với $d$ .
Tìm góc giữa đường và mặt: Xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng.
Tìm góc giữa mặt và mặt: Xác định giao tuyến, tìm 2 đường cùng vuông giao tuyến.
Tính thể tích: Xác định đường cao (hình chiếu của đỉnh) và diện tích đáy.

🔍 Ví dụ 1: Chứng minh đường vuông góc với mặt

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $SA \perp (ABC)$ . Chứng minh $BC \perp (SAB)$ .

💡 Xem lời giải

Ta có $SA \perp (ABC)$ , mà $BC \subset (ABC) \Rightarrow BC \perp SA$ .
Đáy $ABC$ vuông tại $B \Rightarrow BC \perp AB$ .
Vì $BC$ vuông góc với cả $SA$ và $AB$ (hai đường cắt nhau trong $(SAB)$ ) nên $BC \perp (SAB)$ .

🔍 Ví dụ 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ , $SA = a\sqrt{3}$ , tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ . Tính góc giữa $SB$ và $(ABC)$ .

💡 Xem lời giải

Vì $SA \perp (ABC)$ , hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $A$ .
Hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$ là $AB$ .
Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SBA}$ .
Trong tam giác vuông $SAB$ : $\tan \widehat{SBA} = \frac{SA}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$ . $\Rightarrow \widehat{SBA} = 60^\circ$ .

🔍 Ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Tính khoảng cách từ $C'$ đến mặt phẳng $(BDD'B')$ .

💡 Xem lời giải

Gọi $O'$ là tâm hình vuông $A'B'C'D'$ . Ta có $C'O' \perp B'D'$ và $C'O' \perp DD'$ (do $DD' \perp đáy$ ).
Suy ra $C'O' \perp (BDD'B')$ .
Khoảng cách cần tìm là $C'O' = \frac{1}{2} A'C' = \frac{1}{2} a\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

🔍 Ví dụ 4: Bài toán thực tế — Cột cờ

Một cột cờ thẳng đứng cao 5m được dựng trên sân nhà. Tại một thời điểm, bóng của cột cờ trên mặt sân dài 5m. a) Chứng minh cột cờ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt sân. b) Tính góc mà tia sáng Mặt Trời tạo với mặt sân tại thời điểm đó.

💡 Xem lời giải

a) Cột cờ được coi là đường thẳng $d$ , mặt sân là $(P)$ . Vì $d \perp (P)$ nên theo định nghĩa, $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ . b) Gọi đỉnh cột cờ là $S$ , chân cột là $A$ , đầu bóng là $B$ . Ta có tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA = 5$ , $AB = 5$ . $\tan \widehat{SBA} = 5/5 = 1 \Rightarrow \widehat{SBA} = 45^\circ$ . Tia sáng Mặt Trời tạo với mặt sân góc 45°.

🔍 Ví dụ 5: Thể tích khối chóp

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $a$ , cạnh bên $a$ . Tính thể tích khối chóp.

💡 Xem lời giải

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD \Rightarrow SO \perp (ABCD)$ .
Diện tích đáy $S = a^2$ .
Độ dài $OA = \frac{1}{2} AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ .
Trong tam giác vuông $SOA$ : $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ .
Thể tích $V = \frac{1}{3} S \cdot SO = \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}$ .

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là định nghĩa d vuông góc với (P)?

Câu 2:Nếu $a \perp b$ và $b \perp c$ thì $a$ và $c$ có tính chất gì?

Câu 3:Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và:

Câu 4:Trong các hình sau, hình nào có các mặt bên luôn vuông góc với mặt đáy?

Câu 5:Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:

Câu 6:Cho hình lập phương cạnh a. Khoảng cách giữa hai mặt đáy là:

Đúng / Sai

Câu 7Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và đáy $ABC$ vuông tại $B$. Đúng hay sai?

a)$SA perp BC$.

b)$BC perp (SAB)$.

c)$SC perp AB$.

d)Tam giác $SBC$ vuông tại $B$.

Đúng / Sai

Câu 8Xét các mệnh đề về khoảng cách và thể tích sau, đúng hay sai?

a)Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung.

b)Khối lăng trụ tam giác và khối chóp tam giác có cùng đáy và chiều cao sẽ có thể tích bằng nhau.

c)Đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó.

d)Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng luôn là một đường thẳng.

Câu 9:Cho hình chóp có $S = 6$ cm² và $h = 5$ cm. Tính thể tích khối chóp (cm³).

Câu 10:Tính góc (độ) giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ nếu biết $a // b$.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$ . a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ . c) Tính góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ and mặt phẳng $(ABCD)$ . d) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ .

💡 Đáp án

a) $SAB, SAD$ vuông tại $A$ ; $SBC, SDC$ vuông tại $B, D$ . b) $\widehat{SCA} = \arctan(SA/AC) \approx 35,26^\circ$ ( $AC=a\sqrt{2}$ ). c) $\widehat{SBA} = 45^\circ$ . d) $AH \perp SB \Rightarrow d = a/\sqrt{2}$ .

Câu 2. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc and $OA = OB = OC = a$ . a) Chứng minh $OA \perp BC$ . b) Chứng minh $BC \perp (OAM)$ with $M$ là trung điểm $BC$ . c) Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ . d) Tính thể tích khối tứ diện $OABC$ .

💡 Đáp án

a) $OA \perp (OBC)$ . b) $BC \perp OM$ and $BC \perp OA$ . c) $d = a/\sqrt{3}$ . d) $V = a^3/6$ .

Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a, AD = 2a$ . Cạnh bên $SA \perp (ABCD)$ . a) Tìm hình chiếu vuông góc của các điểm $S, B, D$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ . b) Chứng minh $(SAB) \perp (SBC)$ . c) Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ . Chứng minh $AH \perp (SBC)$ . d) Tính thể tích khối chóp nếu biết góc giữa $SC$ and đáy bằng 60°.

💡 Đáp án

a) $A, B, D$ . b) $BC \perp (SAB)$ . c) Do $AH \perp SB$ and $AH \perp BC$ . d) $AC = a\sqrt{5} \Rightarrow SA = a\sqrt{15}$ . $V = \frac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a\sqrt{15} = \frac{2a^3\sqrt{15}}{3}$ .

Câu 4. (Thực tế - Thiết kế) Một biển quảng cáo hình chữ nhật được dựng vuông góc with mặt đất bằng hai cột dọc $AA'$ và $BB'$ . Để gia cố, người ta dùng thêm hai thanh sắt $AB'$ và $BA'$ . a) Chứng minh mặt phẳng biển quảng cáo vuông góc với mặt đất. b) Nếu cột $AA'$ cao 3m và khoảng cách $A'B'$ là 4m, tính độ dài thanh sắt gia cố. c) Tính góc giữa thanh sắt $AB'$ and mặt đất. d) Tại sao các cột phải đặt vuông góc with mặt đất thay vì nghiêng? (Xét về tính ổn định và khoảng cách).

💡 Đáp án

a) Cột vuông góc đất. b) $\sqrt{3^2+4^2} = 5$ m. c) $\approx 36,87^\circ$ . d) Tối ưu khả năng chịu lực nén.

Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$ . $AB = a, AA' = a\sqrt{2}$ . a) Chứng minh $BC \perp (ABA')$ . b) Tính góc giữa đường thẳng $A'C$ and mặt phẳng $(ABC)$ . c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ and $BC$ . d) Tính thể tích khối lăng trụ.

💡 Đáp án

a) Không đúng (đáy cân tại A). BC không vuông (ABA’). b) $\widehat{A'CA} = \arctan(A'A/AC) = \arctan(\sqrt{2})$ . c) $d(AA', BC) = d(A, BC) = a/\sqrt{2}$ . d) $V = 1/2 a^2 \cdot a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{2}$ .

Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . a) Tính độ dài đường cao của hình chóp. b) Tính góc giữa mặt bên and mặt đáy. c) Tính khoảng cách từ tâm $O$ của đáy đến mặt bên $(SBC)$ . d) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ .

💡 Đáp án

a) $a/\sqrt{2}$ . b) $\approx 54,7^\circ$ . c) $a/\sqrt{6}$ . d) $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$ .

Câu 7. (Thực tế - Kiến trúc) Một kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều. Cạnh đáy dài 200m, góc tạo bởi mặt bên and mặt đáy là 52°. a) Tính chiều cao của kim tự tháp (làm tròn đến hàng đơn vị). b) Tính diện tích toàn phần (không tính mặt đáy). c) Tính thể tích kim tự tháp. d) Nếu muốn leo từ chân một mặt bên lên đỉnh theo đường ngắn nhất, bạn phải đi quãng đường bao nhiêu?

💡 Đáp án

a) $100 \cdot \tan 52^\circ \approx 128$ m. b) $\approx 64964$ m². c) $\approx 1.706.667$ m³. d) Đường cao mặt bên $\approx 162,4$ m.

Câu 8. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . a) Chứng minh $AC' \perp (A'BD)$ . b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ and $(C'B'D)$ . c) Tính thể tích khối tứ diện $A'ABD$ . d) Tính góc giữa hai đường thẳng $AC$ and $A'D$ .

💡 Đáp án

a) $AC'$ vuông góc với 2 đường chéo mặt. b) $a/\sqrt{3}$ . c) $a^3/6$ . d) $60^\circ$ .

Câu 10. (Tổng hợp) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ and $D$ . $AB = 2a, AD = DC = a$ . $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$ . a) Chứng minh tam giác $SBC$ vuông tại $C$ . b) Tính góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ and mặt phẳng $(ABCD)$ . c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ and $BC$ . d) Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ (Lưu ý đáy là tam giác $ABC$ ).

💡 Đáp án

a) $BC^2 = a^2+a^2 = 2a^2$ ; $SB^2 = a^2+4a^2=5a^2$ ; $SC^2 = a^2+2a^2=3a^2$ . $SB^2 = SC^2+BC^2$ . b) $\widehat{SCA} = \arctan(1/\sqrt{2}) \approx 35,3^\circ$ . c) $a$ . d) $V = \frac{1}{3} \cdot (1/2 \cdot a \cdot 2a) \cdot a = a^3/3$ .

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 7 - Toán 11

Ôn tập Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm