Ôn chương 6 - Toán 12 — Sách Toán THPT

I. Sơ đồ hệ thống công thức Xác suất Chương VI

📊 Bảng tổng hợp công thức Chương VI (Xác suất có điều kiện & Bayes)

Tên công thức	Biểu thức toán học	Điều kiện / Phạm vi áp dụng
Xác suất có điều kiện	$P(A\|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$	$P(B) > 0$. Tính xác suất $A$ khi biết $B$ đã xảy ra.
Công thức nhân xác suất	$P(AB) = P(B) \cdot P(A\|B) = P(A) \cdot P(B\|A)$	Hai biến cố bất kỳ (hoặc $P(AB) = P(A)P(B)$ nếu $A, B$ độc lập).
Xác suất toàn phần	$P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A\|B_i)$	$B_1, \dots, B_n$ là hệ biến cố đầy đủ ($B_i \cap B_j = \varnothing, \bigcup B_i = \Omega$).
Công thức Bayes	$P(B_k\|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A\|B_k)}{\sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A\|B_i)}$	Truy xuất nguồn gốc / cập nhật xác suất giả thuyết khi biết $A$ xảy ra.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây tổng hợp mối quan hệ giữa Xác suất toàn phần và Công thức Bayes trong cây quyết định xác suất.

💡 Mô phỏng tổng hợp: Sơ đồ dòng chảy xác suất Toàn phần và quy trình Bayes.

III. Các dạng toán ôn tập tổng hợp (Mỗi dạng 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Xác suất có điều kiện P(A|B) & Đếm số phần tử

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Thu hẹp không gian mẫu về phần tử thuộc $B$ với số lượng $n(B)$. Đếm số phần tử giao $n(AB)$. Tính $P(A|B) = \frac{n(AB)}{n(B)}$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Tính xác suất có điều kiện từ bảng học sinh giỏi)

Một trường THPT có 200 học sinh khối 12. Số học sinh đăng ký thi môn Lý là 120, môn Hóa là 100, và chọn cả hai môn là 60. Chọn 1 học sinh thi Lý, tính xác suất học sinh đó cũng thi Hóa.

💡Xem lời giải chi tiết

• Không gian mẫu thu hẹp thi Lý là $n(L) = 120$.

• Số học sinh thi cả Lý và Hóa $n(L \cap H) = 60$.

• $P(H|L) = \frac{60}{120} = 0,5$ (tức 50%).

🔍 Ví dụ 1.2 (Gieo súc sắc khi tổng chấm cho trước)

Gieo hai con súc sắc cân đối. Biết tổng số chấm bằng 9, tính xác suất con súc sắc thứ nhất xuất hiện số chấm lớn hơn 4.

💡Xem lời giải chi tiết

• Các cặp có tổng bằng 9: $S = \{(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)\} \Rightarrow n(S) = 4$.

• Các cặp có con thứ nhất $> 4$: $E = \{(5,4), (6,3)\} \Rightarrow n(E) = 2$.

• Xác suất có điều kiện: $P = \frac{2}{4} = 0,5$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Rút 2 sản phẩm không hoàn lại)

Hộp có 8 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Lấy lần lượt 2 sản phẩm không hoàn lại. Biết sản phẩm thứ nhất là phế phẩm, tính xác suất sản phẩm thứ hai là tốt.

💡Xem lời giải chi tiết

• Sau khi lấy 1 phế phẩm ở lần 1, trong hộp còn 9 sản phẩm với 8 sản phẩm tốt.

• Xác suất có điều kiện: $P = \frac{8}{9} \approx 0,8889$.

Dạng 2: Công thức nhân xác suất P(AB)

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Áp dụng $P(AB) = P(A) \cdot P(B|A)$ cho các quá trình xảy ra theo nhiều giai đoạn nối tiếp nhau.

🔍 Ví dụ 2.1 (Rút 3 quả cầu khác màu liên tiếp)

Hộp chứa 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút 3 bi không hoàn lại. Tính xác suất để 2 bi đầu là đỏ và bi thứ 3 là xanh.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(Đ_1) = 6/10 = 3/5$. $P(Đ_2|Đ_1) = 5/9$. $P(X_3|Đ_1 Đ_2) = 4/8 = 1/2$.

• $P = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \approx 0,1667$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Bắn đạn 2 giai đoạn độc lập)

Hai máy bay phát hiện mục tiêu độc lập. Xác suất ra-đa máy bay 1 phát hiện là 0,85 và máy bay 2 là 0,90. Tính xác suất cả 2 máy bay cùng phát hiện mục tiêu.

💡Xem lời giải chi tiết

• Do độc lập nên $P = P(M_1) \cdot P(M_2) = 0,85 \cdot 0,90 = 0,765$ (tức 76,5%).

🔍 Ví dụ 2.3 (Kiểm tra chất lượng dây chuyền 3 công đoạn)

Sản phẩm đi qua 3 công đoạn với tỷ lệ đạt tương ứng là 95%, 90%, 85%. Tính xác suất một sản phẩm đạt tiêu chuẩn sau cả 3 công đoạn.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P = 0,95 \cdot 0,90 \cdot 0,85 = 0,72675$ (tức 72,675%).

Dạng 3: Bài toán Công thức Xác suất toàn phần

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Phân tích các trường hợp của hệ biến cố đầy đủ $B_1, \dots, B_n$. Tính $P(A) = \sum P(B_i)P(A|B_i)$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Tỷ lệ sản phẩm lỗi của 3 máy)

Máy A, B, C sản xuất tương ứng 40%, 35%, 25% số lượng linh kiện. Tỷ lệ lỗi tương ứng là 2%, 3%, 4%. Chọn ngẫu nhiên 1 linh kiện, tính xác suất linh kiện bị lỗi.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(L) = 0,40(0,02) + 0,35(0,03) + 0,25(0,04) = 0,008 + 0,0105 + 0,0100 = 0,0285$ (tức 2,85%).

🔍 Ví dụ 3.2 (Chọn 1 trong 2 chiếc hộp rồi lấy bi)

Hộp I có 5 đỏ, 5 xanh. Hộp II có 8 đỏ, 2 xanh. Gieo đồng xu: nếu sấp chọn Hộp I, nếu ngửa chọn Hộp II, sau đó rút 1 bi. Tính xác suất rút được bi đỏ.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(H_1) = P(H_2) = 0,5$. $P(Đ|H_1) = 0,5; P(Đ|H_2) = 0,8$.

• $P(Đ) = 0,5(0,5) + 0,5(0,8) = 0,25 + 0,40 = 0,65$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Xác suất đỗ đại học của lớp học sinh)

Một lớp gồm 60% học sinh nam và 40% học sinh nữ. Tỷ lệ học sinh nam đỗ đại học là 70%, học sinh nữ đỗ đại học là 80%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh, tính xác suất học sinh đó đỗ đại học.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(D) = 0,60(0,70) + 0,40(0,80) = 0,42 + 0,32 = 0,74$ (tức 74%).

Dạng 4: Bài toán Công thức Bayes truy xuất nguồn gốc

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Áp dụng $P(B_k|A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{P(A)}$ để tính xác suất nguyên nhân khi biết kết quả $A$ đã xảy ra.

🔍 Ví dụ 4.1 (Truy xuất nguồn gốc linh kiện lỗi)

Trở lại Ví dụ 3.1: Máy A (40%, lỗi 2%), Máy B (35%, lỗi 3%), Máy C (25%, lỗi 4%). Lấy 1 linh kiện thấy lỗi, tính xác suất linh kiện đó do máy C sản xuất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Đã có $P(L) = 0,0285$. Tích $P(C \cap L) = 0,25 \times 0,04 = 0,0100$.

• $P(C|L) = \frac{0,0100}{0,0285} = \frac{20}{57} \approx 35,09\%$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Tìm hộp ban đầu khi biết bi rút ra)

Trở lại Ví dụ 3.2: Rút được bi đỏ. Tính xác suất bi đỏ này xuất phát từ Hộp II.

💡Xem lời giải chi tiết

• Đã có $P(Đ) = 0,65$. $P(H_2 \cap Đ) = 0,5 \times 0,8 = 0,40$.

• $P(H_2|Đ) = \frac{0,40}{0,65} = \frac{8}{13} \approx 61,54\%$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Xác định giới tính học sinh khi biết kết quả đỗ đại học)

Biết một học sinh đỗ đại học (ở Ví dụ 3.3), tính xác suất học sinh đó là nữ.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(N \cap D) = 0,40 \times 0,80 = 0,32$. Đã có $P(D) = 0,74$.

• $P(N|D) = \frac{0,32}{0,74} = \frac{16}{37} \approx 43,24\%$.

Dạng 5: Chẩn đoán y tế & Đánh giá rủi ro Bảo hiểm/Tài chính

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Mô hình hóa các bài toán độ nhạy y tế, lọc email rác Spam, phân loại nợ xấu ngân hàng dựa vào Bayes.

🔍 Ví dụ 5.1 (Chẩn đoán bệnh với độ nhạy 98% và độ đặc hiệu 95%)

Tỷ lệ mắc bệnh viêm phổi trong cộng đồng là 2%. Xét nghiệm có độ nhạy 98% và độ đặc hiệu 95%. Chọn 1 người xét nghiệm ra dương tính (+), tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(+) = 0,02 \times 0,98 + 0,98 \times 0,05 = 0,0196 + 0,0490 = 0,0686$.

• $P(B|+) = \frac{0,0196}{0,0686} = \frac{2}{7} \approx 28,57\%$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Bộ lọc Spam lọc email khuyến mãi)

Email rác Spam chiếm 35% tổng thư. Từ "Giảm giá" xuất hiện trong 80% thư Spam và 4% thư hợp lệ. Nếu thư có chứa từ "Giảm giá", tính xác suất đó là thư rác.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(K) = 0,35 \times 0,80 + 0,65 \times 0,04 = 0,280 + 0,026 = 0,306$.

• $P(Spam|K) = \frac{0,280}{0,306} = \frac{140}{153} \approx 91,50\%$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Rủi ro chi trả bảo hiểm tai nạn giao thông)

Khách hàng bảo hiểm gồm 80% tài xế lái xe dưới 10.000 km/năm (tỷ lệ tai nạn 2%) và 20% lái xe trên 10.000 km/năm (tỷ lệ tai nạn 10%). Một khách hàng gặp tai nạn, tính xác suất người đó thuộc nhóm lái xe trên 10.000 km/năm.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(TN) = 0,80 \times 0,02 + 0,20 \times 0,10 = 0,016 + 0,020 = 0,036$.

• $P(Nhóm > 10k|TN) = \frac{0,020}{0,036} = \frac{5}{9} \approx 55,56\%$.

Dạng 6: Bài toán Tổng hợp nâng cao THPT Quốc Gia

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Kết hợp công thức xác suất toàn phần, công thức nhân và Bayes cho các mô hình xác suất biến đổi nhiều bước.

🔍 Ví dụ 6.1 (Bài toán chuyển bi liên tiếp qua 2 hộp)

Hộp I có 4 bi đỏ, 2 bi xanh. Hộp II có 3 bi đỏ, 3 bi xanh. Chuyển ngẫu nhiên 1 bi từ Hộp I sang Hộp II, sau đó rút 1 bi từ Hộp II thấy bi đỏ. Tính xác suất bi chuyển từ Hộp I sang Hộp II là bi xanh.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(Đ_1) = 4/6 = 2/3$; $P(X_1) = 1/3$.

• Nếu chuyển đỏ: Hộp II có 4 đỏ, 3 xanh $\Rightarrow P(Đ_2|Đ_1) = 4/7$.

• Nếu chuyển xanh: Hộp II có 3 đỏ, 4 xanh $\Rightarrow P(Đ_2|X_1) = 3/7$.

• $P(Đ_2) = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{8+3}{21} = \frac{11}{21}$.

• $P(X_1|Đ_2) = \frac{\frac{3}{21}}{\frac{11}{21}} = \frac{3}{11} \approx 27,27\%$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Xét nghiệm lại 2 lần độc lập khi nghi ngờ kết quả)

Tỷ lệ mắc bệnh là 1%. Xét nghiệm có độ nhạy 95% và độ đặc hiệu 90%. Một bệnh nhân xét nghiệm lần 1 ra dương tính. Bác sĩ cho xét nghiệm lại lần 2 độc lập cũng ra dương tính. Tính xác suất bệnh nhân thực sự mắc bệnh.

💡Xem lời giải chi tiết

• Sau lần 1 (+): $P(B|+_1) = \frac{0,01 \times 0,95}{0,01 \times 0,95 + 0,99 \times 0,10} = \frac{0,0095}{0,0095 + 0,099} = \frac{95}{1085} \approx 0,08756$.

• Coi $P(B) = 0,08756$ cho lần 2 (+):

$$P(B|++ ) = \frac{0,08756 \times 0,95}{0,08756 \times 0,95 + (1 - 0,08756) \times 0,10} = \frac{0,08318}{0,08318 + 0,09124} \approx 47,69\%$$

🔍 Ví dụ 6.3 (Bài toán thi trắc nghiệm đoán mò phương án)

Một học sinh làm 1 câu trắc nghiệm 4 phương án. Học sinh thuộc bài (xác suất 70%) thì chọn đúng 100%. Nếu không thuộc bài (xác suất 30%) thì chọn mò ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án. Biết học sinh trả lời đúng câu hỏi, tính xác suất học sinh đó thực sự thuộc bài.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(\text{Đúng}) = 0,70 \times 1 + 0,30 \times 0,25 = 0,70 + 0,075 = 0,775$.

• $P(\text{Thuộc bài}|\text{Đúng}) = \frac{0,70}{0,775} = \frac{28}{31} \approx 90,32\%$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn tổng ôn toàn bộ Chương 6.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Công thức tính xác suất có điều kiện $P(B|A)$ khi $P(A) > 0$ là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho $P(A) = 0.5$, $P(B|A) = 0.8$. Xác suất của biến cố giao $P(AB)$ bằng:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Cho $A, B$ là hai biến cố độc lập với $P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.3$. Giá trị $P(A|B)$ là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Một người bắn 4 phát đạn độc lập vào mục tiêu. Xác suất trúng mỗi phát là !p:0.6:0.8!. Xác suất mục tiêu bị trúng đạn ít nhất 1 phát là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Hộp I có 5 bi đỏ, 4 bi xanh. Hộp II có 4 bi đỏ, 4 bi xanh. Chọn 1 hộp ngẫu nhiên rồi rút 1 bi. Xác suất rút được bi đỏ là:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Trong ví dụ trên, nếu biết bi rút ra là bi đỏ, xác suất bi đó đến từ Hộp I là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$, $P(A \cup B) = 0.7$. Xác suất có điều kiện $P(A|B)$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Độ nhạy xét nghiệm là 95% (mắc bệnh -> dương tính 95%). Tỷ lệ mắc bệnh trong cộng đồng là 1%. Xét nghiệm 1 người ngẫu nhiên kết quả dương tính. Xác suất người đó không mắc bệnh nhưng xét nghiệm dương tính giả là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Hai máy A và B cùng sản xuất một loại chi tiết. Máy A sản xuất 60%, máy B sản xuất 40%. Tỷ lệ chính phẩm của A là 95%, của B là 90%. Chọn ngẫu nhiên 1 chi tiết thấy chính phẩm. Xác suất chi tiết đó do máy A sản xuất là:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Gieo 1 đồng xu cân đối 3 lần. Gọi A là biến cố 'có ít nhất 2 mặt sấp', B là biến cố 'lần gieo đầu tiên ra mặt sấp'. Tính $P(A|B)$:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Tổng ôn Chương 6 Xác suất

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm tổng ôn ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Đề kiểm tra tổng hợp Chương 6 (45 Phút - Ma trận chuẩn)

📝 Đề kiểm tra 45 phút Xác suất có điều kiện & Bayes (Phân loại 4 mức độ)

Câu 1 (Nhận biết - 2.0 điểm). Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(A) = 0,5; P(B) = 0,6; P(AB) = 0,3$.

a) Tính xác suất có điều kiện $P(A|B)$ và $P(B|A)$.

b) Hai biến cố $A$ và $B$ có độc lập với nhau không? Vì sao?

💡Xem lời giải Câu 1

a) $P(A|B) = \frac{0,3}{0,6} = 0,5$; $P(B|A) = \frac{0,3}{0,5} = 0,6$.

b) Độc lập vì $P(AB) = 0,3 = 0,5 \times 0,6 = P(A) \cdot P(B)$.

Câu 2 (Thông hiểu - 3.0 điểm). Một hộp chứa 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Rút ngẫu nhiên lần lượt 2 bi không hoàn lại.

a) Tính xác suất để bi thứ nhất màu đỏ và bi thứ hai màu xanh.

b) Tính xác suất để bi thứ hai màu xanh.

💡Xem lời giải Câu 2

a) $P(Đ_1 X_2) = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{15} \approx 0,2667$.

b) $P(X_2) = P(Đ_1)P(X_2|Đ_1) + P(X_1)P(X_2|X_1) = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} + \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{24+12}{90} = \frac{36}{90} = 0,4$.

Câu 3 (Vận dụng - 3.0 điểm). Nhà máy có 2 xưởng I và II sản xuất 70% và 30% sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của xưởng I là 1%, xưởng II là 3%.

a) Tính tỷ lệ phế phẩm chung của nhà máy.

b) Chọn 1 sản phẩm thấy phế phẩm, tính xác suất sản phẩm đó do xưởng I sản xuất.

💡Xem lời giải Câu 3

a) $P(F) = 0,70(0,01) + 0,30(0,03) = 0,007 + 0,009 = 0,016$ (1,6%).

b) $P(X_I|F) = \frac{0,007}{0,016} = \frac{7}{16} = 43,75\%$.

Câu 4 (Vận dụng cao - 2.0 điểm). Tỷ lệ nhiễm bệnh trong cộng đồng là 0,5%. Xét nghiệm có độ nhạy 98% và độ đặc hiệu 99%. Một người đi xét nghiệm có kết quả Dương tính (+). Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh.

💡Xem lời giải Câu 4

• $P(+) = 0,005 \times 0,98 + 0,995 \times 0,01 = 0,0049 + 0,00995 = 0,01485$.

• $P(B|+) = \frac{0,0049}{0,01485} = \frac{98}{297} \approx 32,99\%$.