🛠️ Công cụ

Ôn tập Chương 6 - Toán 12

Ôn tập Chương VI: Xác suất có điều kiện - Toán 12 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Ôn tập Chương VI: Xác suất có điều kiện

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố AA và BB với P(B)>0P(B) > 0. Xác suất của biến cố AA với điều kiện biến cố BB đã xảy ra là: P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

  • Quy tắc nhân: P(A∩B)=P(B)⋅P(A∣B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A).
  • Nếu A,BA, B độc lập thì P(A∣B)=P(A)P(A|B) = P(A).
⚡ 2. Công thức xác suất toàn phần

Giả sử {B1,B2,…,Bn}\{B_1, B_2, \dots, B_n\} là một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc (tổng các xác suất bằng 1). Khi đó với mọi biến cố AA: P(A)=∑i=1nP(Bi)⋅P(A∣Bi)P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i)

  • Thường dùng khi biến cố AA có thể xảy ra trong các trường hợp (nhóm) khác nhau.
⚡ 3. Công thức Bayes

Giả sử {B1,B2,…,Bn}\{B_1, B_2, \dots, B_n\} là một hệ đầy đủ các biến cố. Với P(A)>0P(A) > 0, xác suất của BkB_k khi biết AA đã xảy ra là: P(Bk∣A)=P(Bk)⋅P(A∣Bk)P(A)=P(Bk)⋅P(A∣Bk)∑i=1nP(Bi)⋅P(A∣Bi)P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A)} = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i)}

  • Ý nghĩa: Cập nhật xác suất của giả thuyết BkB_k sau khi có thêm thông tin (biến cố AA).

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Kỹ năng giải toán Xác suất 12:

  1. Sơ đồ hình cây: Rất hữu dụng để mô tả các công đoạn và xác suất nhánh.
  2. Phân biệt P(A∣B)P(A|B) và P(B∣A)P(B|A):
    • P(A∣B)P(A|B): Xác suất bị bệnh nếu xét nghiệm dương tính.
    • P(B∣A)P(B|A): Xác suất xét nghiệm dương tính nếu đã bị bệnh.
  3. Bảng xác suất: Dùng khi số liệu cho dưới dạng số lượng tuyệt đối.
🔍 Ví dụ 1: Tính xác suất có điều kiện cơ bản

Cho P(A)=0,6,P(B)=0,4P(A) = 0,6, P(B) = 0,4 and P(A∪B)=0,8P(A \cup B) = 0,8. Tính P(A∣B)P(A|B).

💡 Xem lời giải
  • Ta có P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0,6+0,4−0,8=0,2P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}4 - 0{,}8 = 0{,}2.
  • P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=0,20,4=0,5P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5.
🔍 Ví dụ 2: Sử dụng sơ đồ cây

Hộp I có 3 bi đỏ, 2 bi xanh. Hộp II có 4 bi đỏ, 1 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một viên bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ.

💡 Xem lời giải
  • Gọi B1B_1 là chọn hộp I, B2B_2 là chọn hộp II. P(B1)=P(B2)=0,5P(B_1) = P(B_2) = 0{,}5.
  • AA là biến cố lấy được bi đỏ.
  • P(A∣B1)=3/5=0,6P(A|B_1) = 3/5 = 0{,}6; P(A∣B2)=4/5=0,8P(A|B_2) = 4/5 = 0{,}8.
  • P(A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)=0,5⋅0,6+0,5⋅0,8=0,7P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) = 0{,}5 \cdot 0{,}6 + 0{,}5 \cdot 0{,}8 = 0{,}7.
🔍 Ví dụ 3: Bài toán Bayes — Xét nghiệm y tế

Một căn bệnh có tỉ lệ mắc là 1%. Xét nghiệm có độ chính xác 95% (tức là P(+ tıˊnh∣Bệnh)=0,95P(+\text{ tính}|\text{Bệnh}) = 0{,}95 and P(− tıˊnh∣Khỏe)=0,95P(-\text{ tính}|\text{Khỏe}) = 0{,}95). Một người có xét nghiệm dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh.

💡 Xem lời giải
  • Gọi BB là có bệnh, KK là khỏe. P(B)=0,01,P(K)=0,99P(B) = 0{,}01, P(K) = 0{,}99.
  • AA là xét nghiệm dương tính.
  • P(A∣B)=0,95;P(A∣K)=1−0,95=0,05P(A|B) = 0{,}95; P(A|K) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05.
  • P(A)=0,01⋅0,95+0,99⋅0,05=0,0095+0,0495=0,059P(A) = 0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}05 = 0{,}0095 + 0{,}0495 = 0{,}059.
  • P(B∣A)=0,01⋅0,950,059≈0,161P(B|A) = \frac{0{,}01 \cdot 0{,}95}{0{,}059} \approx 0{,}161 (Chỉ khoảng 16%).
🔍 Ví dụ 4: Bài toán Sản xuất

Nhà máy có 2 máy. Máy A sản xuất 60% sản phẩm, tỉ lệ lỗi 2%. Máy B sản xuất 40%, tỉ lệ lỗi 3%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thấy bị lỗi. Xác suất sản phẩm đó do máy A sản xuất là bao nhiêu?

💡 Xem lời giải
  • P(A)=0,6,P(B)=0,4P(A) = 0{,}6, P(B) = 0{,}4.
  • LL là biến cố lỗi. P(L∣A)=0,02,P(L∣B)=0,03P(L|A) = 0{,}02, P(L|B) = 0{,}03.
  • P(L)=0,6⋅0,02+0,4⋅0,03=0,012+0,012=0,024P(L) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}03 = 0{,}012 + 0{,}012 = 0{,}024.
  • P(A∣L)=0,0120,024=0,5P(A|L) = \frac{0{,}012}{0{,}024} = 0{,}5 (tương đương 50%).
🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Dự báo thời tiết

Tại một vùng, xác suất trời mưa là 0,3. Nếu trời mưa, khả năng xảy ra tắc đường là 0,8. Nếu trời không mưa, khả năng tắc đường chỉ là 0,2. a) Tính xác suất xảy ra tắc đường. b) Hôm nay trời tắc đường, tính xác suất là do trời mưa.

💡 Xem lời giải
  • P(M)=0,3,P(M‾)=0,7P(M) = 0{,}3, P(\overline{M}) = 0{,}7. TT là tắc đường.
  • P(T∣M)=0,8,P(T∣M‾)=0,2P(T|M) = 0{,}8, P(T|\overline{M}) = 0{,}2.
  • a) P(T)=0,3⋅0,8+0,7⋅0,2=0,24+0,14=0,38P(T) = 0{,}3 \cdot 0{,}8 + 0{,}7 \cdot 0{,}2 = 0{,}24 + 0{,}14 = 0{,}38.
  • b) P(M∣T)=0,240,38≈0,63P(M|T) = \frac{0{,}24}{0{,}38} \approx 0{,}63 (khoảng 63%).

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Cho $P(A \cap B) = 0,2$ và $P(B) = 0,5$. Khi đó $P(A|B)$ bằng:
Câu 2:Công thức Bayes dùng để cập nhật xác suất dựa trên:
Câu 3:Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì $P(A|B)$ bằng:
Câu 4:Hệ biến cố $\{B_1, B_2, \dots, B_n\}$ được gọi là đầy đủ nếu:
Câu 5:Trong công thức xác suất toàn phần, kết quả $P(A)$ là:
Câu 6:Xác suất để một người bị bệnh (B) khi biết kết quả xét nghiệm dương tính (+) là:
Đúng / Sai
Câu 7Xét một trò chơi tung đồng xu 2 lần. Gọi A là lần 1 ngửa, B là lần 2 ngửa. Đúng hay sai?
a)$P(B|A) = 0,5$.
b)Hai biến cố $A$ and $B$ độc lập.
c)$P(A cap B) = P(A)P(B)$.
d)$P(A|B) = 1$.
Đúng / Sai
Câu 8Về công thức Bayes. Đúng hay sai?
a)Tử số của công thức Bayes là một số hạng trong tổng ở mẫu số.
b)Mẫu số của công thức Bayes chính là $P(A)$ tính theo xác suất toàn phần.
c)Nếu $P(A|B_k)$ rất lớn thì $P(B_k|A)$ chắc chắn sẽ rất lớn.
d)Xác suất hậu nghiệm có thể bé hơn xác suất tiên nghiệm.
Câu 9:Cho $P(A) = 0,5, P(B) = 0,4$ and $A, B$ độc lập. Tính $P(A|B)$.
Câu 10:Một túi có 2 kẹo đỏ, 3 kẹo xanh. Lấy lần 1 (không trả lại) được kẹo đỏ. Tính xác suất lần 2 lấy được kẹo đỏ.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Tỉ lệ sinh con trai là 0,51. Gia đình nọ có 2 con. a) Tính xác suất để con thứ 2 là trai nếu biết con đầu là gái. b) Tính xác suất để cả hai cùng là trai nếu biết ít nhất một đứa là trai.

💡 Đáp án

a) 0,51 (độc lập). b) P(TT)/P(ıˊt nhaˆˊt 1 T)=(0,512)/(1−0,492)≈0,34P(TT) / P(\text{ít nhất 1 T}) = (0,51^2) / (1 - 0,49^2) \approx 0,34.

Câu 2. Một lớp có 60% học sinh học môn Pháp, 40% học môn Anh. Tỉ lệ đạt môn Pháp là 70%, tỉ lệ đạt môn Anh là 80%. a) Tính xác suất một học sinh bất kỳ đạt môn ngoại ngữ. b) Biết một học sinh đã trượt ngoại ngữ, tính xác xuất học sinh đó học môn Pháp.

💡 Đáp án

a) 0,6⋅0,7+0,4⋅0,8=0,740,6 \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 0,8 = 0,74. b) Trượt Pháp là 0,6⋅0,3=0,180,6 \cdot 0,3 = 0,18. Tổng trượt là 1−0,74=0,261-0,74=0,26. P=0,18/0,26=9/13≈0,69P = 0,18/0,26 = 9/13 \approx 0,69.

Câu 3. Rút ngẫu nhiên 2 lá bài từ bộ bài 52 lá (không trả lại). a) Tính xác suất lá thứ 2 là Át nếu lá đầu là Át. b) Tính xác suất lá thứ 2 là Át nếu lá đầu không phải Át. c) Tính xác suất cả hai đều là Át.

💡 Đáp án

a) 3/51. b) 4/51. c) 4/52⋅3/514/52 \cdot 3/51.

Câu 4. (Thực tế - Xét nghiệm) Thiết bị kiểm tra nồng độ cồn cho kết quả đúng 99% nếu lái xe có uống rượu. Tuy nhiên, nó cũng cho kết quả “Dương tính” sai với tỉ lệ 2% cho người không uống rượu. Biết trong vùng có 5% lái xe uống rượu. a) Tính tỉ lệ máy báo dương tính nói chung. b) Nếu một người bị máy báo dương tính, xác suất người đó thực sự không uống rượu là bao nhiêu?

💡 Đáp án

a) 0,05⋅0,99+0,95⋅0,02=0,06850,05 \cdot 0,99 + 0,95 \cdot 0,02 = 0,0685. b) P(Khỏe∣+)=(0,95⋅0,02)/0,0685≈0,277P(\text{Khỏe}|+) = (0,95 \cdot 0,02) / 0,0685 \approx 0,277 (27,7%).

Câu 5. Một túi có 3 đồng xu: một đồng 2 mặt ngửa, một đồng 2 mặt sấp, và một đồng công bằng. Lấy ngẫu nhiên 1 đồng xu và tung. a) Tính xác suất hiện mặt ngửa. b) Nếu mặt ngửa xuất hiện, tính xác suất đó là đồng xu 2 mặt ngửa.

💡 Đáp án

a) 1/3⋅1+1/3⋅0+1/3⋅0,5=1/21/3 \cdot 1 + 1/3 \cdot 0 + 1/3 \cdot 0,5 = 1/2. b) (1/3⋅1)/(1/2)=2/3(1/3 \cdot 1) / (1/2) = 2/3.

Câu 6. (Thực tế - Marketing) Tế lệ email spam là 80%. Bộ lọc spam nhận diện đúng 90% email spam, nhưng lại lọc nhầm 5% email quan trọng. a) Tính tỉ lệ email bị bộ lọc chuyển vào thùng rác. b) Một email trong thùng rác, xác suất nó là email quan trọng là bao nhiêu?

💡 Đáp án

a) 0,8⋅0,9+0,2⋅0,05=0,730,8 \cdot 0,9 + 0,2 \cdot 0,05 = 0,73. b) (0,2⋅0,05)/0,73≈0,0137(0,2 \cdot 0,05) / 0,73 \approx 0,0137.

Câu 7. Chứng minh rằng nếu A,BA, B độc lập thì A‾\overline{A} and BB cũng độc lập.

💡 Đáp án

Sử dụng công thức P(A‾∩B)=P(B)−P(A∩B)P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) và thay P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B).

Câu 8. (Học tập) Một học sinh đi thi trắc nghiệm. Xác suất học sinh biết lời giải là pp. Nếu biết thì chắc chắn đúng. Nếu không biết thì học sinh đoán mò với xác suất đúng là 1/k1/k (với k là số phương án). a) Tính xác suất học sinh làm đúng câu hỏi đó. b) Nếu học sinh đã làm đúng, tính xác suất là do học sinh thực sự biết lời giải.

💡 Đáp án

a) p+(1−p)/kp + (1-p)/k. b) p/[p+(1−p)/k]p / [p + (1-p)/k].

Câu 9. Một cuộc khảo sát: 70% người thích bóng đá, 60% thích bóng rổ, 50% thích cả hai. a) Một người thích bóng đá, tính xác suất người đó cũng thích bóng rổ. b) Một người không thích bóng rổ, tính xác suất người đó thích bóng đá.

💡 Đáp án

a) 0,5/0,7=5/70,5/0,7 = 5/7. b) P(khoˆng BR)=0,4P(\text{không BR}) = 0,4. P(BĐ∩Khoˆng BR)=0,7−0,5=0,2P(BĐ \cap \text{Không BR}) = 0,7 - 0,5 = 0,2. P=0,2/0,4=0,5P = 0,2/0,4 = 0,5.

Câu 10. (Tổng hợp) Tại sao công thức Bayes được gọi là “quy tắc học máy” cơ bản? Cho một ví dụ về việc bác sĩ thay đổi chẩn đoán sau khi có kết quả xét nghiệm mới.

💡 Đáp án

Vì nó mô tả cách cập nhật niềm tin khi có dữ liệu mới. Ví dụ: Bác sĩ nghi ngờ bệnh nhân đau dạ dày (60%), sau khi nội soi thấy loét (thông tin mới), xác suất đau dạ dày tăng lên 99%.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục