🛠️ Công cụ

Bài 5: Elip

Các tính chất chuyên sâu của Elip: tâm sai, bán kính qua tiêu và đường chuẩn — Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Bài 5: Elip

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trong sách giáo khoa Toán 10, chúng ta đã biết phương trình chính tắc của elip là: x2a2+y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0) với hai tiêu điểm F1(−c;0),F2(c;0)F_1(-c; 0), F_2(c; 0), và c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2. Chuyên đề này sẽ bổ sung thêm các tính chất quan trọng khác của đường elip.

⚡ 1. Bán kính qua tiêu và tâm sai

Với mỗi điểm M(x;y)M(x; y) thuộc elip (E)(E), độ dài các đoạn thẳng MF1,MF2MF_1, MF_2 được gọi là các bán kính qua tiêu của điểm MM.

  • Tâm sai của elip là tỉ số e=cae = \frac{c}{a}. Vì 0<c<a0 < c < a nên 0<e<10 < e < 1.
  • Công thức bán kính qua tiêu: MF1=a+exMF_1 = a + ex MF2=a−exMF_2 = a - ex
⚡ 2. Đường chuẩn của elip

Cho elip (E)(E) có phương trình chính tắc x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 và tâm sai e<1e < 1.

  • Đường thẳng Δ1:x=−ae\Delta_1: x = -\frac{a}{e} gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1(−c;0)F_1(-c; 0).
  • Đường thẳng Δ2:x=ae\Delta_2: x = \frac{a}{e} gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2(c;0)F_2(c; 0).

Tính chất: Tỉ số giữa khoảng cách từ một điểm MM bất kì thuộc elip đến một tiêu điểm và khoảng cách từ MM đến đường chuẩn tương ứng luôn bằng tâm sai ee. MF1d(M,Δ1)=MF2d(M,Δ2)=e\frac{MF_1}{d(M, \Delta_1)} = \frac{MF_2}{d(M, \Delta_2)} = e

Hình minh họa Elip và các yếu tố

xyOΔ₁Δ₂F₁F₂A₁A₂B₂B₁Md(M, Δ₂)

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Phương pháp giải
  1. Tìm các yếu tố của elip: Từ phương trình chính tắc suy ra a,ba, b. Từ đó tính c=a2−b2c = \sqrt{a^2-b^2}, tâm sai e=cae = \frac{c}{a}. Các đường chuẩn là x=±ae=±a2cx = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{a^2}{c}.
  2. Tính độ dài bán kính qua tiêu: Sử dụng công thức MF1=a+exMF_1 = a + ex và MF2=a−exMF_2 = a - ex.
  3. Bài toán liên quan đến tỉ số khoảng cách: Áp dụng định nghĩa tỉ số MFd(M,Δ)=e\frac{MF}{d(M, \Delta)} = e.
🔍 Ví dụ 1: Tìm các yếu tố của elip

Cho elip (E):x225+y216=1(E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1. Tìm tiêu điểm, tâm sai, phương trình đường chuẩn của elip.

💡 Xem lời giải
  • Từ phương trình ta có a2=25⇒a=5a^2 = 25 \Rightarrow a = 5 và b2=16⇒b=4b^2 = 16 \Rightarrow b = 4.
  • c=a2−b2=25−16=3c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 16} = 3.
  • Tiêu điểm: F1(−3;0)F_1(-3; 0) và F2(3;0)F_2(3; 0).
  • Tâm sai: e=ca=35=0.6e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0.6.
  • Phương trình đường chuẩn: Δ1:x=−ae=−50.6=−253\Delta_1: x = -\frac{a}{e} = -\frac{5}{0.6} = -\frac{25}{3} Δ2:x=ae=253\Delta_2: x = \frac{a}{e} = \frac{25}{3}
🔍 Ví dụ 2: Tính bán kính qua tiêu

Cho elip (E)(E) có phương trình x2+4y2=4x^2 + 4y^2 = 4. Tính các bán kính qua tiêu của điểm M∈(E)M \in (E) biết tung độ của MM là yM=32y_M = \frac{\sqrt{3}}{2}.

💡 Xem lời giải
  • Đưa về dạng chính tắc: x24+y21=1\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1. Suy ra a=2,b=1,c=3a=2, b=1, c=\sqrt{3}.
  • Tâm sai e=ca=32e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Thay yM=32y_M = \frac{\sqrt{3}}{2} vào phương trình (E)(E): xM24+3/41=1⇒xM24=14⇒xM2=1⇒xM=±1.\frac{x_M^2}{4} + \frac{3/4}{1} = 1 \Rightarrow \frac{x_M^2}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow x_M^2 = 1 \Rightarrow x_M = \pm 1. Vậy có hai điểm MM thỏa mãn: M1(1;32)M_1(1; \frac{\sqrt{3}}{2}) và M2(−1;32)M_2(-1; \frac{\sqrt{3}}{2}).
  • Trường hợp 1: Tại M1(1;32)⇒xM=1M_1(1; \frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow x_M = 1. MF1=a+exM=2+32⋅1=2+32MF_1 = a + ex_M = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} MF2=a−exM=2−32⋅1=2−32MF_2 = a - ex_M = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}
  • Trường hợp 2: Tại M2(−1;32)⇒xM=−1M_2(-1; \frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow x_M = -1. MF1=a+exM=2−32MF_1 = a + ex_M = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} MF2=a−exM=2+32MF_2 = a - ex_M = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2}

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Một elip có trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 8. Viết phương trình các đường chuẩn của elip đó.
Câu 2:Tâm sai e của một elip luôn thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
Đúng / Sai
Câu 3Xét tính đúng sai của các khẳng định sau về elip $(E): \\frac{x^2}{25} + \\frac{y^2}{9} = 1$:
a)Tâm sai của elip là e = 4/5.
b)Đường chuẩn của elip ứng với tiêu điểm F2(4; 0) là x = -25/4.
c)Tiêu cự của elip bằng 8.
d)Với mọi điểm M trên elip, MF1 + MF2 = 10.
Câu 4:Cho elip có phương trình $\\frac{x^2}{100} + \\frac{y^2}{36} = 1$. Tính khoảng cách từ tâm elip đến một đường chuẩn của nó.

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Viết phương trình chính tắc của elip biết một đường chuẩn có phương trình x=163x = \frac{16}{3} và tiêu điểm tương ứng là F(3;0)F(3; 0).

💡 Lời giải
  • Do tiêu điểm là F(3;0)F(3; 0) nên c=3c = 3.
  • Phương trình đường chuẩn ứng với F(c;0)F(c; 0) là x=ae=a2cx = \frac{a}{e} = \frac{a^2}{c}.
  • Theo đề bài, ta có a2c=163⇒a23=163⇒a2=16\frac{a^2}{c} = \frac{16}{3} \Rightarrow \frac{a^2}{3} = \frac{16}{3} \Rightarrow a^2 = 16.
  • Tính b2=a2−c2=16−32=16−9=7b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 3^2 = 16 - 9 = 7.
  • Phương trình chính tắc của elip là: x216+y27=1\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1.

Câu 2. Trái Đất quay xunh quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip với Mặt Trời là một tiêu điểm. Khoảng cách gần nhất (khi ở điểm cận nhật) và xa nhất (khi ở điểm viễn nhật) từ Trái Đất đến Mặt Trời lần lượt là 147 triệu km và 152 triệu km. Tính tâm sai của quỹ đạo elip đó (làm tròn đến bốn chữ số thập phân).

💡 Lời giải
  • Gọi a là bán trục lớn, c là nửa tiêu cự của elip quỹ đạo.
  • Khoảng cách xa nhất từ một điểm trên quỹ đạo đến tiêu điểm là a+ca + c. Vậy a+c=152a + c = 152.
  • Khoảng cách gần nhất từ một điểm trên quỹ đạo đến tiêu điểm là a−ca - c. Vậy a−c=147a - c = 147.
  • Trừ vế theo vế ta được 2c=5⇒c=2.52c = 5 \Rightarrow c = 2.5.
  • Cộng vế theo vế ta được 2a=299⇒a=149.52a = 299 \Rightarrow a = 149.5.
  • Tâm sai của quỹ đạo là e=ca=2.5149.5≈0.0167e = \frac{c}{a} = \frac{2.5}{149.5} \approx 0.0167.
  • (Vì e rất gần 0 nên quỹ đạo của Trái Đất gần giống như một đường tròn).
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục