I. Lý thuyết
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ u ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec{u} \neq \vec{0} u = 0 vectơ chỉ phương (VCP) của đường thẳng Δ \Delta Δ Δ \Delta Δ
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng Δ \Delta Δ M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) M_0(x_0; y_0; z_0) M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) u ⃗ = ( a ; b ; c ) \vec{u} = (a; b; c) u = ( a ; b ; c ) { x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t ( t ∈ R ) \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) ⎩ ⎨ ⎧ x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t ( t ∈ R )
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Nếu a b c ≠ 0 abc \neq 0 ab c = 0 x − x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c \dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c} a x − x 0 = b y − y 0 = c z − z 0
4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho d 1 d_1 d 1 M 1 M_1 M 1 u 1 ⃗ \vec{u_1} u 1 d 2 d_2 d 2 M 2 M_2 M 2 u 2 ⃗ \vec{u_2} u 2
Song song: u 1 ⃗ ∥ u 2 ⃗ \vec{u_1} \parallel \vec{u_2} u 1 ∥ u 2 M 1 ∉ d 2 M_1 \notin d_2 M 1 ∈ / d 2 Trùng nhau: u 1 ⃗ ∥ u 2 ⃗ \vec{u_1} \parallel \vec{u_2} u 1 ∥ u 2 M 1 ∈ d 2 M_1 \in d_2 M 1 ∈ d 2 Cắt nhau: u 1 ⃗ , u 2 ⃗ \vec{u_1}, \vec{u_2} u 1 , u 2 [ u 1 ⃗ , u 2 ⃗ ] ⋅ M 1 M 2 ⃗ = 0 [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = 0 [ u 1 , u 2 ] ⋅ M 1 M 2 = 0 Chéo nhau: [ u 1 ⃗ , u 2 ⃗ ] ⋅ M 1 M 2 ⃗ ≠ 0 [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} \neq 0 [ u 1 , u 2 ] ⋅ M 1 M 2 = 0
5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Xét d d d u ⃗ = ( a , b , c ) \vec{u}=(a,b,c) u = ( a , b , c ) ( P ) (P) ( P ) n ⃗ = ( A , B , C ) \vec{n}=(A,B,C) n = ( A , B , C )
Hệ số góc: Nếu A a + B b + C c = 0 Aa + Bb + Cc = 0 A a + B b + C c = 0 d ∥ ( P ) d \parallel (P) d ∥ ( P ) d ⊂ ( P ) d \subset (P) d ⊂ ( P ) Cắt: A a + B b + C c ≠ 0 Aa + Bb + Cc \neq 0 A a + B b + C c = 0 Vuông góc: u ⃗ \vec{u} u n ⃗ \vec{n} n
🔷 Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết điểm và VCP
📌 Phương pháp giải
Phương pháp:
Tìm điểm đi qua M 0 M_0 M 0
Tìm VCP u ⃗ \vec{u} u u ⃗ = [ n 1 ⃗ , n 2 ⃗ ] \vec{u} = [\vec{n_1}, \vec{n_2}] u = [ n 1 , n 2 ]
Viết PT tham số hoặc chính tắc.
🔍 Ví dụ 1 (Dễ)
Viết PT tham số của đường thẳng đi qua M ( 1 ; − 2 ; 3 ) M(1; -2; 3) M ( 1 ; − 2 ; 3 ) u ⃗ = ( 2 ; 0 ; − 1 ) \vec{u} = (2; 0; -1) u = ( 2 ; 0 ; − 1 )
💡 Xem lời giải { x = 1 + 2 t y = − 2 z = 3 − t \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 \\ z = 3 - t \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = − 2 z = 3 − t
🔍 Ví dụ 2 (Dễ)
Viết PT chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A ( 1 ; 2 ; − 1 ) A(1; 2; -1) A ( 1 ; 2 ; − 1 ) B ( 3 ; 0 ; 2 ) B(3; 0; 2) B ( 3 ; 0 ; 2 )
💡 Xem lời giải
VCP u ⃗ = A B ⃗ = ( 2 ; − 2 ; 3 ) \vec{u} = \vec{AB} = (2; -2; 3) u = A B = ( 2 ; − 2 ; 3 )
PT: x − 1 2 = y − 2 − 2 = z + 1 3 \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{-2} = \dfrac{z+1}{3} 2 x − 1 = − 2 y − 2 = 3 z + 1
🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)
Viết PT đường thẳng đi qua A ( 0 ; 1 ; 2 ) A(0; 1; 2) A ( 0 ; 1 ; 2 ) ( P ) : x + 2 y − z + 1 = 0 (P): x + 2y - z + 1 = 0 ( P ) : x + 2 y − z + 1 = 0
💡 Xem lời giải
Đường thẳng ⊥ ( P ) ⇒ \perp (P) \Rightarrow ⊥ ( P ) ⇒ u ⃗ = n P ⃗ = ( 1 ; 2 ; − 1 ) \vec{u} = \vec{n_P} = (1; 2; -1) u = n P = ( 1 ; 2 ; − 1 )
PT: { x = t y = 1 + 2 t z = 2 − t \begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - t \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 1 + 2 t z = 2 − t
🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)
Viết PT đường thẳng Δ \Delta Δ M ( 1 ; 1 ; 1 ) M(1; 1; 1) M ( 1 ; 1 ; 1 ) d : x − 1 2 = y 1 = z + 2 − 3 d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+2}{-3} d : 2 x − 1 = 1 y = − 3 z + 2
💡 Xem lời giải
Δ ∥ d ⇒ \Delta \parallel d \Rightarrow Δ ∥ d ⇒ u ⃗ = ( 2 ; 1 ; − 3 ) \vec{u} = (2; 1; -3) u = ( 2 ; 1 ; − 3 ) PT Δ \Delta Δ x − 1 2 = y − 1 1 = z − 1 − 3 \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-1}{-3} 2 x − 1 = 1 y − 1 = − 3 z − 1
🔍 Ví dụ 5 (Khó)
Viết PT đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0 (P): x+y+z-1=0 ( P ) : x + y + z − 1 = 0 ( Q ) : 2 x − y + z + 2 = 0 (Q): 2x-y+z+2=0 ( Q ) : 2 x − y + z + 2 = 0
💡 Xem lời giải
n P ⃗ = ( 1 ; 1 ; 1 ) , n Q ⃗ = ( 2 ; − 1 ; 1 ) \vec{n_P} = (1; 1; 1), \vec{n_Q} = (2; -1; 1) n P = ( 1 ; 1 ; 1 ) , n Q = ( 2 ; − 1 ; 1 ) VCP u ⃗ = [ n P ⃗ , n Q ⃗ ] = ( 2 ; 1 ; − 3 ) \vec{u} = [\vec{n_P}, \vec{n_Q}] = (2; 1; -3) u = [ n P , n Q ] = ( 2 ; 1 ; − 3 )
Tìm một điểm chung: Cho z = 0 ⇒ { x + y = 1 2 x − y = − 2 ⇒ 3 x = − 1 ⇒ x = − 1 / 3 , y = 4 / 3 ⇒ M ( − 1 / 3 ; 4 / 3 ; 0 ) z=0 \Rightarrow \begin{cases} x+y=1 \\ 2x-y=-2 \end{cases} \Rightarrow 3x=-1 \Rightarrow x=-1/3, y=4/3 \Rightarrow M(-1/3; 4/3; 0) z = 0 ⇒ { x + y = 1 2 x − y = − 2 ⇒ 3 x = − 1 ⇒ x = − 1/3 , y = 4/3 ⇒ M ( − 1/3 ; 4/3 ; 0 )
PT: { x = − 1 / 3 + 2 t y = 4 / 3 + t z = − 3 t \begin{cases} x = -1/3 + 2t \\ y = 4/3 + t \\ z = -3t \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = − 1/3 + 2 t y = 4/3 + t z = − 3 t
📝 Thực hành — Dạng 1
VCP của đường thẳng $d: \\\\begin{cases} x=1+t \\\\ y=2-2t \\\\ z=3 \\\\end{cases}$ là:
A $(1; -2; 3)$ B $(1; -2; 0)$ C $(1; 2; 3)$ D $(1; 2; 0)$
Đường thẳng $\\\\dfrac{x-1}{2} = \\\\dfrac{y+1}{-1} = \\\\dfrac{z}{3}$ đi qua điểm nào?
A $M(1; -1; 0)$ B $M(-1; 1; 0)$ C $M(2; -1; 3)$ D $M(1; 1; 0)$
Viết PT đường thẳng qua $O(0;0;0)$ và song song trục Oz.
A $x=t, y=t, z=t$ B $x=0, y=0, z=t$ C $x=t, y=0, z=0$ D $x=0, y=0, z=1$
a) VCP của d là $\\vec{u} = (1; 0; -1)$ Đúng Sai
b) PT chính tắc là $\\dfrac{x-1}{1} = \\dfrac{y-2}{0} = \\dfrac{z-3}{-1}$ Đúng Sai
c) Điểm $M(2; 2; 2)$ thuộc d Đúng Sai
d) d song song với mặt phẳng Oxy Đúng Sai
Kiểm tra kết quả 🔷 Dạng 2: Vị trí tương đối và các bài toán định tính
📌 Phương pháp giải
Phương pháp:
Xét tỉ lệ VCP u 1 ⃗ , u 2 ⃗ \vec{u_1}, \vec{u_2} u 1 , u 2
Giải hệ phương trình tìm điểm chung.
Sử dụng tích hỗn tạp [ u 1 ⃗ , u 2 ⃗ ] ⋅ M 1 M 2 ⃗ [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} [ u 1 , u 2 ] ⋅ M 1 M 2
🔍 Ví dụ 1 (Dễ)
Xét vị trí tương đối của d 1 : x 1 = y 1 = z 1 d_1: \dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1} d 1 : 1 x = 1 y = 1 z d 2 : x − 1 1 = y − 1 1 = z − 1 1 d_2: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-1}{1} d 2 : 1 x − 1 = 1 y − 1 = 1 z − 1
💡 Xem lời giải u 1 ⃗ = u 2 ⃗ = ( 1 , 1 , 1 ) \vec{u_1} = \vec{u_2} = (1, 1, 1) u 1 = u 2 = ( 1 , 1 , 1 ) O ( 0 , 0 , 0 ) ∈ d 1 O(0,0,0) \in d_1 O ( 0 , 0 , 0 ) ∈ d 1 d 2 d_2 d 2 − 1 = − 1 = − 1 -1 = -1 = -1 − 1 = − 1 = − 1 trùng nhau .
🔍 Ví dụ 2 (Dễ)
Tìm giao điểm của d : { x = 1 + t y = 2 + t z = 3 t d: \begin{cases} x = 1+t \\ y = 2+t \\ z = 3t \end{cases} d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 + t z = 3 t ( P ) : x + y + z − 8 = 0 (P): x + y + z - 8 = 0 ( P ) : x + y + z − 8 = 0
💡 Xem lời giải Thay x, y, z vào (P): ( 1 + t ) + ( 2 + t ) + 3 t − 8 = 0 ⇔ 5 t − 5 = 0 ⇔ t = 1 (1+t) + (2+t) + 3t - 8 = 0 \Leftrightarrow 5t - 5 = 0 \Leftrightarrow t=1 ( 1 + t ) + ( 2 + t ) + 3 t − 8 = 0 ⇔ 5 t − 5 = 0 ⇔ t = 1 A ( 2 ; 3 ; 3 ) A(2; 3; 3) A ( 2 ; 3 ; 3 )
🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)
Chứng minh hai đường thẳng sau chéo nhau: d 1 : { x = t y = 0 z = 0 d_1: \begin{cases} x=t \\ y=0 \\ z=0 \end{cases} d 1 : ⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 0 z = 0 d 2 : { x = 0 y = k z = 1 d_2: \begin{cases} x=0 \\ y=k \\ z=1 \end{cases} d 2 : ⎩ ⎨ ⎧ x = 0 y = k z = 1
💡 Xem lời giải
u 1 ⃗ = ( 1 , 0 , 0 ) , u 2 ⃗ = ( 0 , 1 , 0 ) ⇒ u 1 ⃗ ⊥ u 2 ⃗ \vec{u_1} = (1, 0, 0), \vec{u_2} = (0, 1, 0) \Rightarrow \vec{u_1} \perp \vec{u_2} u 1 = ( 1 , 0 , 0 ) , u 2 = ( 0 , 1 , 0 ) ⇒ u 1 ⊥ u 2 M 1 ( 0 , 0 , 0 ) ∈ d 1 , M 2 ( 0 , 0 , 1 ) ∈ d 2 ⇒ M 1 M 2 ⃗ = ( 0 ; 0 ; 1 ) M_1(0,0,0) \in d_1, M_2(0,0,1) \in d_2 \Rightarrow \vec{M_1M_2} = (0; 0; 1) M 1 ( 0 , 0 , 0 ) ∈ d 1 , M 2 ( 0 , 0 , 1 ) ∈ d 2 ⇒ M 1 M 2 = ( 0 ; 0 ; 1 ) [ u 1 ⃗ , u 2 ⃗ ] = ( 0 , 0 , 1 ) [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = (0, 0, 1) [ u 1 , u 2 ] = ( 0 , 0 , 1 ) Tích [ u 1 ⃗ , u 2 ⃗ ] ⋅ M 1 M 2 ⃗ = 1 ≠ 0 [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = 1 \neq 0 [ u 1 , u 2 ] ⋅ M 1 M 2 = 1 = 0
🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)
Tìm m m m d : x − 1 2 = y + 1 1 = z − m 2 d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z-m}{2} d : 2 x − 1 = 1 y + 1 = 2 z − m ( P ) : x + y − 1.5 z = 0 (P): x + y - 1.5z = 0 ( P ) : x + y − 1.5 z = 0
💡 Xem lời giải d ∥ ( P ) ⇒ u ⃗ ⋅ n ⃗ = 0 ⇒ 2 ( 1 ) + 1 ( 1 ) + 2 ( − 1.5 ) = 2 + 1 − 3 = 0 d \parallel (P) \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2(1) + 1(1) + 2(-1.5) = 2+1-3=0 d ∥ ( P ) ⇒ u ⋅ n = 0 ⇒ 2 ( 1 ) + 1 ( 1 ) + 2 ( − 1.5 ) = 2 + 1 − 3 = 0 M ( 1 ; − 1 ; m ) ∉ ( P ) M(1; -1; m) \notin (P) M ( 1 ; − 1 ; m ) ∈ / ( P ) 1 − 1 − 1.5 m ≠ 0 ⇒ m ≠ 0 1 - 1 - 1.5m \neq 0 \Rightarrow m \neq 0 1 − 1 − 1.5 m = 0 ⇒ m = 0
🔍 Ví dụ 5 (Khó)
Tìm m m m d 1 : { x = 1 + m t y = t z = − 1 + 2 t d_1: \begin{cases} x=1+mt \\ y=t \\ z=-1+2t \end{cases} d 1 : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + m t y = t z = − 1 + 2 t d 2 : { x = 1 − k y = 2 + 2 k z = 3 − k d_2: \begin{cases} x=1-k \\ y=2+2k \\ z=3-k \end{cases} d 2 : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 − k y = 2 + 2 k z = 3 − k
💡 Xem lời giải Giải hệ:
1 + m t = 1 − k ⇒ m t = − k 1+mt = 1-k \Rightarrow mt = -k 1 + m t = 1 − k ⇒ m t = − k t = 2 + 2 k ⇒ t = 2 − 2 m t ⇒ t ( 1 + 2 m ) = 2 t = 2+2k \Rightarrow t = 2 - 2mt \Rightarrow t(1+2m) = 2 t = 2 + 2 k ⇒ t = 2 − 2 m t ⇒ t ( 1 + 2 m ) = 2 − 1 + 2 t = 3 − k ⇒ k = 4 − 2 t -1+2t = 3-k \Rightarrow k = 4-2t − 1 + 2 t = 3 − k ⇒ k = 4 − 2 t m t = 2 t − 4 ⇒ t = 4 2 − m mt = 2t-4 \Rightarrow t = \dfrac{4}{2-m} m t = 2 t − 4 ⇒ t = 2 − m 4
📝 Thực hành — Dạng 2
Số điểm chung tối đa của một đường thẳng and một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) là:
A 0 B 1 C 2 D Vô số
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là chúng đồng phẳng and:
A Không song song B Cùng phương C Vuông góc D Có tích vô hướng = 0
Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì VCP và VPT của chúng như thế nào?
A Vuông góc B Cùng phương C Tạo góc 45 độ D Không liên quan
a) VCP của d là $\\vec{u} = (1; -1; 2)$ Đúng Sai
b) d vuông góc với (P) Đúng Sai
c) Giao điểm của d và (P) là $M(0; 1; -3)$ Đúng Sai
d) d song song với (P) Đúng Sai
Kiểm tra kết quả 🔷 Dạng 3: Bài toán về góc và khoảng cách (Mở rộng)
📌 Phương pháp giải
Phương pháp:
Khoảng cách từ điểm M M M d d d A A A u ⃗ \vec{u} u d ( M , d ) = ∣ [ A M ⃗ , u ⃗ ] ∣ ∣ u ⃗ ∣ d(M, d) = \dfrac{|[\vec{AM}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|} d ( M , d ) = ∣ u ∣ ∣ [ A M , u ] ∣
Góc giữa hai đường thẳng: cos ϕ = ∣ u 1 ⃗ ⋅ u 2 ⃗ ∣ ∣ u 1 ⃗ ∣ ⋅ ∣ u 2 ⃗ ∣ \cos \phi = \dfrac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|} cos ϕ = ∣ u 1 ∣ ⋅ ∣ u 2 ∣ ∣ u 1 ⋅ u 2 ∣
Góc giữa đường thẳng d d d ( P ) (P) ( P ) sin α = ∣ u ⃗ ⋅ n ⃗ ∣ ∣ u ⃗ ∣ ⋅ ∣ n ⃗ ∣ \sin \alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} sin α = ∣ u ∣ ⋅ ∣ n ∣ ∣ u ⋅ n ∣
🔍 Ví dụ 1 (Trung bình)
Tính khoảng cách từ điểm A ( 1 ; 0 ; 0 ) A(1; 0; 0) A ( 1 ; 0 ; 0 ) Δ : x − 2 1 = y − 1 2 = z 2 \Delta: \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z}{2} Δ : 1 x − 2 = 2 y − 1 = 2 z
💡 Xem lời giải
Δ \Delta Δ M ( 2 , 1 , 0 ) M(2, 1, 0) M ( 2 , 1 , 0 ) u ⃗ = ( 1 , 2 , 2 ) \vec{u} = (1, 2, 2) u = ( 1 , 2 , 2 ) M A ⃗ = ( − 1 , − 1 , 0 ) \vec{MA} = (-1, -1, 0) M A = ( − 1 , − 1 , 0 ) [ M A ⃗ , u ⃗ ] = ( − 2 , 2 , − 1 ) [\vec{MA}, \vec{u}] = (-2, 2, -1) [ M A , u ] = ( − 2 , 2 , − 1 ) d = ( − 2 ) 2 + 2 2 + ( − 1 ) 2 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3 3 = 1 d = \dfrac{\sqrt{(-2)^2+2^2+(-1)^2}}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \dfrac{3}{3} = 1 d = 1 2 + 2 2 + 2 2 ( − 2 ) 2 + 2 2 + ( − 1 ) 2 = 3 3 = 1
🔍 Ví dụ 2 (Trung bình)
Tính góc giữa d : { x = t y = t z = 2 d: \begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=2 \end{cases} d : ⎩ ⎨ ⎧ x = t y = t z = 2
💡 Xem lời giải
u d ⃗ = ( 1 , 1 , 0 ) , i ⃗ = ( 1 , 0 , 0 ) \vec{u_d} = (1, 1, 0), \vec{i} = (1, 0, 0) u d = ( 1 , 1 , 0 ) , i = ( 1 , 0 , 0 ) cos ϕ = ∣ 1 ∣ 2 ⋅ 1 = 1 / 2 ⇒ ϕ = 45 ∘ \cos \phi = \dfrac{|1|}{\sqrt{2} \cdot 1} = 1/\sqrt{2} \Rightarrow \phi = 45^\circ cos ϕ = 2 ⋅ 1 ∣1∣ = 1/ 2 ⇒ ϕ = 4 5 ∘
🔷 Dạng 4: Ứng dụng thực tế của đường thẳng
📌 Phương pháp giải
Phương pháp:
Mô hình hóa quỹ đạo chuyển động là đường thẳng.
Tìm giao điểm để xác định vị trí va chạm hoặc hạ cánh.
Tính khoảng cách để đảm bảo an toàn bay hoặc thi công kiến trúc.
🔍 Ví dụ 1 (Trung bình)
Một máy bay cất cánh từ A ( 0 ; 0 ; 0 ) A(0;0;0) A ( 0 ; 0 ; 0 ) u ⃗ = ( 1 ; 1 ; 0.1 ) \vec{u} = (1; 1; 0.1) u = ( 1 ; 1 ; 0.1 )
💡 Xem lời giải
PT: x = t , y = t , z = 0.1 t x=t, y=t, z=0.1t x = t , y = t , z = 0.1 t
Độ cao z = 0.1 t = 2 ⇒ t = 20 z = 0.1t = 2 \Rightarrow t = 20 z = 0.1 t = 2 ⇒ t = 20
Tọa độ M ( 20 , 20 , 2 ) M(20, 20, 2) M ( 20 , 20 , 2 ) M ′ ( 20 , 20 , 0 ) M'(20, 20, 0) M ′ ( 20 , 20 , 0 )
Khoảng cách hình chiếu: 20 2 + 20 2 = 20 2 ≈ 28.28 \sqrt{20^2+20^2} = 20\sqrt{2} \approx 28.28 2 0 2 + 2 0 2 = 20 2 ≈ 28.28
🔍 Ví dụ 2 (Khó) — Khoảng cách an toàn
Hai con tàu chuyển động thẳng đều. Tàu 1: x = 10 + 20 t , y = 30 + 10 t , z = 0 x=10+20t, y=30+10t, z=0 x = 10 + 20 t , y = 30 + 10 t , z = 0 x = 40 − 10 t , y = 10 + 20 t , z = 0 x=40-10t, y=10+20t, z=0 x = 40 − 10 t , y = 10 + 20 t , z = 0 t t t t t t
💡 Xem lời giải
Khoảng cách bình phương D ( t ) = ( 30 − 30 t ) 2 + ( − 20 + 10 t ) 2 D(t) = (30-30t)^2 + (-20+10t)^2 D ( t ) = ( 30 − 30 t ) 2 + ( − 20 + 10 t ) 2
D ( t ) = 900 ( 1 − t ) 2 + 100 ( t − 2 ) 2 D(t) = 900(1-t)^2 + 100(t-2)^2 D ( t ) = 900 ( 1 − t ) 2 + 100 ( t − 2 ) 2 Xét đạo hàm D ′ ( t ) = 0 D'(t) = 0 D ′ ( t ) = 0
📝 Thực hành — Dạng 4
Một đường hầm thẳng qua núi qua 2 điểm $A(1,1,1)$ and $B(2,2,2)$. VCP là:
A $(1,1,1)$ B $(3,3,3)$ C $(1,0,0)$ D $(0,1,0)$
Nếu tia sáng chiếu theo đường thẳng $d$ vuông góc sàn Oxy, VCP của d có thể là:
A $(0,0,1)$ B $(1,0,0)$ C $(0,1,0)$ D $(1,1,1)$
Vị trí của một vệ tinh được mô tả bởi PT đường thẳng. Khoảng cách ngắn nhất đến tâm Trái Đất $O(0,0,0)$ là:
A Khoảng cách từ O đến đường thẳng B Khoảng cách từ O đến điểm có t=0 C Độ dài vectơ chỉ phương D Bán kính Trái Đất
a) Robot đi qua điểm $M(1; 2; 3)$ Đúng Sai
b) Robot đi theo hướng $\\vec{u} = (1; 1; 1)$ Đúng Sai
c) Robot chạm sàn $z=0$ tại điểm có $x=-2$ Đúng Sai
d) Robot chuyển động song song với mặt phẳng $x+y+z=0$ Đúng Sai
Kiểm tra kết quả Câu 1. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng Δ \Delta Δ A ( 1 ; 2 ; 3 ) A(1; 2; 3) A ( 1 ; 2 ; 3 ) B ( 3 ; 2 ; 1 ) B(3; 2; 1) B ( 3 ; 2 ; 1 ) M ( 1 ; 0 ; − 2 ) M(1; 0; -2) M ( 1 ; 0 ; − 2 ) d : { x = 1 + 2 t y = 3 t z = 1 − t d: \begin{cases} x = 1+2t \\ y=3t \\ z=1-t \end{cases} d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 3 t z = 1 − t O ( 0 ; 0 ; 0 ) O(0; 0; 0) O ( 0 ; 0 ; 0 ) ( P ) : 3 x − y + 2 z − 7 = 0 (P): 3x - y + 2z - 7 = 0 ( P ) : 3 x − y + 2 z − 7 = 0
Câu 2. Tìm giao điểm của đường thẳng d : x − 1 2 = y + 2 1 = z 3 d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+2}{1} = \dfrac{z}{3} d : 2 x − 1 = 1 y + 2 = 3 z ( P ) : x + y − z + 1 = 0 (P): x + y - z + 1 = 0 ( P ) : x + y − z + 1 = 0
Câu 3. Cho hai đường thẳng:
d 1 : { x = 1 + t y = 2 t z = − 1 d_1: \begin{cases} x = 1+t \\ y=2t \\ z=-1 \end{cases} d 1 : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 t z = − 1 d 2 : x − 2 1 = y − 2 = z − 1 3 d_2: \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z-1}{3} d 2 : 1 x − 2 = − 2 y = 3 z − 1 d 1 d_1 d 1 d 2 d_2 d 2
Câu 4. Viết phương trình đường thẳng d d d ( P ) : x + y − z + 1 = 0 (P): x + y - z + 1 = 0 ( P ) : x + y − z + 1 = 0 d 1 : x − 1 2 = y 1 = z + 1 1 d_1: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+1}{1} d 1 : 2 x − 1 = 1 y = 1 z + 1 d 2 : { x = t y = 1 − t z = 2 t d_2: \begin{cases} x=t \\ y=1-t \\ z=2t \end{cases} d 2 : ⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 1 − t z = 2 t
Câu 5. Một ngọn hải đăng có tia sáng quét theo đường thẳng d : x − 1 2 = y − 2 1 = z − 50 − 1 d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z-50}{-1} d : 2 x − 1 = 1 y − 2 = − 1 z − 50 M ( 10 , 20 , 0 ) M(10, 20, 0) M ( 10 , 20 , 0 ) z = 0 z=0 z = 0
✏️ Luyện tập trắc nghiệm → 🎯
Luyện tập trắc nghiệm Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm