🛠️ Công cụ

Bài 15: Phương trình đường thẳng

Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng và vị trí tương đối giữa các đường thẳng trong không gian.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

I. Lý thuyết

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u⃗≠0⃗\vec{u} \neq \vec{0} được gọi là vectơ chỉ phương (VCP) của đường thẳng Δ\Delta nếu giá của nó song song hoặc trùng với Δ\Delta.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng Δ\Delta đi qua M0(x0;y0;z0)M_0(x_0; y_0; z_0) và có VCP u⃗=(a;b;c)\vec{u} = (a; b; c) có phương trình tham số: {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(t∈R)\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Nếu abc≠0abc \neq 0: x−x0a=y−y0b=z−z0c\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}

4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho d1d_1 qua M1M_1 có VCP u1⃗\vec{u_1} và d2d_2 qua M2M_2 có VCP u2⃗\vec{u_2}.

  • Song song: u1⃗∥u2⃗\vec{u_1} \parallel \vec{u_2} và M1∉d2M_1 \notin d_2.
  • Trùng nhau: u1⃗∥u2⃗\vec{u_1} \parallel \vec{u_2} và M1∈d2M_1 \in d_2.
  • Cắt nhau: u1⃗,u2⃗\vec{u_1}, \vec{u_2} không cùng phương và [u1⃗,u2⃗]⋅M1M2⃗=0[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = 0.
  • Chéo nhau: [u1⃗,u2⃗]⋅M1M2⃗≠0[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} \neq 0.

5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xét dd có VCP u⃗=(a,b,c)\vec{u}=(a,b,c) và (P)(P) có VPT n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C).

  • Hệ số góc: Nếu Aa+Bb+Cc=0Aa + Bb + Cc = 0: d∥(P)d \parallel (P) hoặc d⊂(P)d \subset (P).
  • Cắt: Aa+Bb+Cc≠0Aa + Bb + Cc \neq 0.
  • Vuông góc: u⃗\vec{u} cùng phương n⃗\vec{n}.

🔷 Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết điểm và VCP

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  1. Tìm điểm đi qua M0M_0.
  2. Tìm VCP u⃗\vec{u}. Nếu đường thẳng là giao tuyến 2 mặt phẳng, u⃗=[n1⃗,n2⃗]\vec{u} = [\vec{n_1}, \vec{n_2}].
  3. Viết PT tham số hoặc chính tắc.
🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Viết PT tham số của đường thẳng đi qua M(1;−2;3)M(1; -2; 3) và có VCP u⃗=(2;0;−1)\vec{u} = (2; 0; -1).

💡 Xem lời giải

{x=1+2ty=−2z=3−t\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 \\ z = 3 - t \end{cases}.

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Viết PT chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;−1)A(1; 2; -1) và B(3;0;2)B(3; 0; 2).

💡 Xem lời giải
  • VCP u⃗=AB⃗=(2;−2;3)\vec{u} = \vec{AB} = (2; -2; 3).
  • PT: x−12=y−2−2=z+13\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{-2} = \dfrac{z+1}{3}.
🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Viết PT đường thẳng đi qua A(0;1;2)A(0; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P):x+2y−z+1=0(P): x + 2y - z + 1 = 0.

💡 Xem lời giải
  • Đường thẳng ⊥(P)⇒\perp (P) \Rightarrow VCP u⃗=nP⃗=(1;2;−1)\vec{u} = \vec{n_P} = (1; 2; -1).
  • PT: {x=ty=1+2tz=2−t\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - t \end{cases}.
🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Viết PT đường thẳng Δ\Delta đi qua M(1;1;1)M(1; 1; 1), song song với đường thẳng d:x−12=y1=z+2−3d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+2}{-3}.

💡 Xem lời giải
  • Δ∥d⇒\Delta \parallel d \Rightarrow VCP u⃗=(2;1;−3)\vec{u} = (2; 1; -3).
  • PT Δ\Delta: x−12=y−11=z−1−3\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-1}{-3}.
🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Viết PT đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P):x+y+z−1=0(P): x+y+z-1=0 và (Q):2x−y+z+2=0(Q): 2x-y+z+2=0.

💡 Xem lời giải
  • nP⃗=(1;1;1),nQ⃗=(2;−1;1)\vec{n_P} = (1; 1; 1), \vec{n_Q} = (2; -1; 1).
  • VCP u⃗=[nP⃗,nQ⃗]=(2;1;−3)\vec{u} = [\vec{n_P}, \vec{n_Q}] = (2; 1; -3).
  • Tìm một điểm chung: Cho z=0⇒{x+y=12x−y=−2⇒3x=−1⇒x=−1/3,y=4/3⇒M(−1/3;4/3;0)z=0 \Rightarrow \begin{cases} x+y=1 \\ 2x-y=-2 \end{cases} \Rightarrow 3x=-1 \Rightarrow x=-1/3, y=4/3 \Rightarrow M(-1/3; 4/3; 0).
  • PT: {x=−1/3+2ty=4/3+tz=−3t\begin{cases} x = -1/3 + 2t \\ y = 4/3 + t \\ z = -3t \end{cases}.

📝 Thực hành — Dạng 1

VCP của đường thẳng $d: \\\\begin{cases} x=1+t \\\\ y=2-2t \\\\ z=3 \\\\end{cases}$ là:
Đường thẳng $\\\\dfrac{x-1}{2} = \\\\dfrac{y+1}{-1} = \\\\dfrac{z}{3}$ đi qua điểm nào?
Viết PT đường thẳng qua $O(0;0;0)$ và song song trục Oz.
Đúng / Sai
Cho đường thẳng $d$ đi qua $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 2; 1)$:
a)VCP của d là $\\vec{u} = (1; 0; -1)$
b)PT chính tắc là $\\dfrac{x-1}{1} = \\dfrac{y-2}{0} = \\dfrac{z-3}{-1}$
c)Điểm $M(2; 2; 2)$ thuộc d
d)d song song với mặt phẳng Oxy
Cho đường thẳng $d: x=1+2t, y=t, z=1-t$. Tính cao độ $z$ của điểm thuộc d có tung độ $y=2$.

🔷 Dạng 2: Vị trí tương đối và các bài toán định tính

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • Xét tỉ lệ VCP u1⃗,u2⃗\vec{u_1}, \vec{u_2}.
  • Giải hệ phương trình tìm điểm chung.
  • Sử dụng tích hỗn tạp [u1⃗,u2⃗]⋅M1M2⃗[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} để kiểm tra tính đồng phẳng (cắt/song song vs chéo).
🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Xét vị trí tương đối của d1:x1=y1=z1d_1: \dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{1} và d2:x−11=y−11=z−11d_2: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z-1}{1}.

💡 Xem lời giải

u1⃗=u2⃗=(1,1,1)\vec{u_1} = \vec{u_2} = (1, 1, 1). Điểm O(0,0,0)∈d1O(0,0,0) \in d_1. Thay vào d2d_2: −1=−1=−1-1 = -1 = -1 (Đúng). Vậy hai đường thẳng trùng nhau.

🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Tìm giao điểm của d:{x=1+ty=2+tz=3td: \begin{cases} x = 1+t \\ y = 2+t \\ z = 3t \end{cases} và (P):x+y+z−8=0(P): x + y + z - 8 = 0.

💡 Xem lời giải

Thay x, y, z vào (P): (1+t)+(2+t)+3t−8=0⇔5t−5=0⇔t=1(1+t) + (2+t) + 3t - 8 = 0 \Leftrightarrow 5t - 5 = 0 \Leftrightarrow t=1. Giao điểm A(2;3;3)A(2; 3; 3).

🔍 Ví dụ 3 (Trung bình)

Chứng minh hai đường thẳng sau chéo nhau: d1:{x=ty=0z=0d_1: \begin{cases} x=t \\ y=0 \\ z=0 \end{cases} và d2:{x=0y=kz=1d_2: \begin{cases} x=0 \\ y=k \\ z=1 \end{cases}.

💡 Xem lời giải
  • u1⃗=(1,0,0),u2⃗=(0,1,0)⇒u1⃗⊥u2⃗\vec{u_1} = (1, 0, 0), \vec{u_2} = (0, 1, 0) \Rightarrow \vec{u_1} \perp \vec{u_2}.
  • M1(0,0,0)∈d1,M2(0,0,1)∈d2⇒M1M2⃗=(0;0;1)M_1(0,0,0) \in d_1, M_2(0,0,1) \in d_2 \Rightarrow \vec{M_1M_2} = (0; 0; 1).
  • [u1⃗,u2⃗]=(0,0,1)[\vec{u_1}, \vec{u_2}] = (0, 0, 1).
  • Tích [u1⃗,u2⃗]⋅M1M2⃗=1≠0[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = 1 \neq 0. Vậy hai đường thẳng chéo nhau.
🔍 Ví dụ 4 (Trung bình)

Tìm mm để đường thẳng d:x−12=y+11=z−m2d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z-m}{2} song song với mặt phẳng (P):x+y−1.5z=0(P): x + y - 1.5z = 0.

💡 Xem lời giải

d∥(P)⇒u⃗⋅n⃗=0⇒2(1)+1(1)+2(−1.5)=2+1−3=0d \parallel (P) \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2(1) + 1(1) + 2(-1.5) = 2+1-3=0. (Luôn đúng với mọi t). Để song song thực sự, điểm M(1;−1;m)∉(P)M(1; -1; m) \notin (P). 1−1−1.5m≠0⇒m≠01 - 1 - 1.5m \neq 0 \Rightarrow m \neq 0.

🔍 Ví dụ 5 (Khó)

Tìm mm để hai đường thẳng sau cắt nhau: d1:{x=1+mty=tz=−1+2td_1: \begin{cases} x=1+mt \\ y=t \\ z=-1+2t \end{cases} và d2:{x=1−ky=2+2kz=3−kd_2: \begin{cases} x=1-k \\ y=2+2k \\ z=3-k \end{cases}.

💡 Xem lời giải

Giải hệ:

  1. 1+mt=1−k⇒mt=−k1+mt = 1-k \Rightarrow mt = -k
  2. t=2+2k⇒t=2−2mt⇒t(1+2m)=2t = 2+2k \Rightarrow t = 2 - 2mt \Rightarrow t(1+2m) = 2
  3. −1+2t=3−k⇒k=4−2t-1+2t = 3-k \Rightarrow k = 4-2t Từ (1) và (3): mt=2t−4⇒t=42−mmt = 2t-4 \Rightarrow t = \dfrac{4}{2-m}. Thay vào (2) và giải tìm m.

📝 Thực hành — Dạng 2

Số điểm chung tối đa của một đường thẳng and một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) là:
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là chúng đồng phẳng and:
Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì VCP và VPT của chúng như thế nào?
Đúng / Sai
Cho $d: \\\\dfrac{x-1}{1} = \\\\dfrac{y}{-1} = \\\\dfrac{z+1}{2}$ and $(P): x+y-z-5=0$:
a)VCP của d là $\\vec{u} = (1; -1; 2)$
b)d vuông góc với (P)
c)Giao điểm của d và (P) là $M(0; 1; -3)$
d)d song song với (P)
Tính tích vô hướng $\\\\vec{u} \\\\cdot \\\\vec{n}$ để biết đường thẳng d có VCP $(1, 2, 3)$ vuông góc mp (P) có VPT $(2, 4, 6)$ hay không? (Trả lời: 1 nếu đúng, 0 nếu sai)

🔷 Dạng 3: Bài toán về góc và khoảng cách (Mở rộng)

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • Khoảng cách từ điểm MM đến đường thẳng dd (đi qua AA, VCP u⃗\vec{u}): d(M,d)=∣[AM⃗,u⃗]∣∣u⃗∣d(M, d) = \dfrac{|[\vec{AM}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|}
  • Góc giữa hai đường thẳng: cos⁡ϕ=∣u1⃗⋅u2⃗∣∣u1⃗∣⋅∣u2⃗∣\cos \phi = \dfrac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}.
  • Góc giữa đường thẳng dd và mặt phẳng (P)(P): sin⁡α=∣u⃗⋅n⃗∣∣u⃗∣⋅∣n⃗∣\sin \alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}.
🔍 Ví dụ 1 (Trung bình)

Tính khoảng cách từ điểm A(1;0;0)A(1; 0; 0) đến đường thẳng Δ:x−21=y−12=z2\Delta: \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z}{2}.

💡 Xem lời giải
  • Δ\Delta qua M(2,1,0)M(2, 1, 0), VCP u⃗=(1,2,2)\vec{u} = (1, 2, 2).
  • MA⃗=(−1,−1,0)\vec{MA} = (-1, -1, 0). [MA⃗,u⃗]=(−2,2,−1)[\vec{MA}, \vec{u}] = (-2, 2, -1).
  • d=(−2)2+22+(−1)212+22+22=33=1d = \dfrac{\sqrt{(-2)^2+2^2+(-1)^2}}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \dfrac{3}{3} = 1.
🔍 Ví dụ 2 (Trung bình)

Tính góc giữa d:{x=ty=tz=2d: \begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=2 \end{cases} và trục Ox.

💡 Xem lời giải
  • ud⃗=(1,1,0),i⃗=(1,0,0)\vec{u_d} = (1, 1, 0), \vec{i} = (1, 0, 0).
  • cos⁡ϕ=∣1∣2⋅1=1/2⇒ϕ=45∘\cos \phi = \dfrac{|1|}{\sqrt{2} \cdot 1} = 1/\sqrt{2} \Rightarrow \phi = 45^\circ.

🔷 Dạng 4: Ứng dụng thực tế của đường thẳng

📌 Phương pháp giải

Phương pháp:

  • Mô hình hóa quỹ đạo chuyển động là đường thẳng.
  • Tìm giao điểm để xác định vị trí va chạm hoặc hạ cánh.
  • Tính khoảng cách để đảm bảo an toàn bay hoặc thi công kiến trúc.
🔍 Ví dụ 1 (Trung bình)

Một máy bay cất cánh từ A(0;0;0)A(0;0;0) theo đường thẳng có VCP u⃗=(1;1;0.1)\vec{u} = (1; 1; 0.1) (đv: km). Hỏi khi máy bay đạt độ cao 2km thì nó cách điểm xuất phát bao xa theo hình chiếu mặt đất?

💡 Xem lời giải
  • PT: x=t,y=t,z=0.1tx=t, y=t, z=0.1t.
  • Độ cao z=0.1t=2⇒t=20z = 0.1t = 2 \Rightarrow t = 20.
  • Tọa độ M(20,20,2)M(20, 20, 2). Hình chiếu M′(20,20,0)M'(20, 20, 0).
  • Khoảng cách hình chiếu: 202+202=202≈28.28\sqrt{20^2+20^2} = 20\sqrt{2} \approx 28.28 (km).
🔍 Ví dụ 2 (Khó) — Khoảng cách an toàn

Hai con tàu chuyển động thẳng đều. Tàu 1: x=10+20t,y=30+10t,z=0x=10+20t, y=30+10t, z=0. Tàu 2: x=40−10t,y=10+20t,z=0x=40-10t, y=10+20t, z=0 (tt là giờ). Tìm thời điểm tt mà hai con tàu gần nhau nhất.

💡 Xem lời giải
  • Khoảng cách bình phương D(t)=(30−30t)2+(−20+10t)2D(t) = (30-30t)^2 + (-20+10t)^2.
  • D(t)=900(1−t)2+100(t−2)2D(t) = 900(1-t)^2 + 100(t-2)^2.
  • Xét đạo hàm D′(t)=0D'(t) = 0 để tìm cực tiểu.

📝 Thực hành — Dạng 4

Một đường hầm thẳng qua núi qua 2 điểm $A(1,1,1)$ and $B(2,2,2)$. VCP là:
Nếu tia sáng chiếu theo đường thẳng $d$ vuông góc sàn Oxy, VCP của d có thể là:
Vị trí của một vệ tinh được mô tả bởi PT đường thẳng. Khoảng cách ngắn nhất đến tâm Trái Đất $O(0,0,0)$ là:
Đúng / Sai
Một cánh tay robot chuyển động trên đường thẳng $d: \\\\dfrac{x}{1} = \\\\dfrac{y-1}{1} = \\\\dfrac{z-2}{1}$:
a)Robot đi qua điểm $M(1; 2; 3)$
b)Robot đi theo hướng $\\vec{u} = (1; 1; 1)$
c)Robot chạm sàn $z=0$ tại điểm có $x=-2$
d)Robot chuyển động song song với mặt phẳng $x+y+z=0$
Một quả bóng bay theo đường thẳng $x=t, y=t, z=t$. Nó đập vào bức tường $x+y+z-3=0$. Tìm tung độ $y$ của điểm va chạm.
📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng Δ\Delta: a) Đi qua A(1;2;3)A(1; 2; 3) và B(3;2;1)B(3; 2; 1). b) Đi qua M(1;0;−2)M(1; 0; -2) và song song với đường thẳng d:{x=1+2ty=3tz=1−td: \begin{cases} x = 1+2t \\ y=3t \\ z=1-t \end{cases}. c) Đi qua O(0;0;0)O(0; 0; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P):3x−y+2z−7=0(P): 3x - y + 2z - 7 = 0.

Câu 2. Tìm giao điểm của đường thẳng d:x−12=y+21=z3d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+2}{1} = \dfrac{z}{3} và mặt phẳng (P):x+y−z+1=0(P): x + y - z + 1 = 0.

Câu 3. Cho hai đường thẳng: d1:{x=1+ty=2tz=−1d_1: \begin{cases} x = 1+t \\ y=2t \\ z=-1 \end{cases} và d2:x−21=y−2=z−13d_2: \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z-1}{3}. Chứng minh d1d_1 và d2d_2 chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng.

Câu 4. Viết phương trình đường thẳng dd nằm trong mặt phẳng (P):x+y−z+1=0(P): x + y - z + 1 = 0, cắt đường thẳng d1:x−12=y1=z+11d_1: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+1}{1} và vuông góc với đường thẳng d2:{x=ty=1−tz=2td_2: \begin{cases} x=t \\ y=1-t \\ z=2t \end{cases}.

Câu 5. Một ngọn hải đăng có tia sáng quét theo đường thẳng d:x−12=y−21=z−50−1d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{1} = \dfrac{z-50}{-1}. Một con tàu đang đứng yên tại tọa độ M(10,20,0)M(10, 20, 0). a) Tính khoảng cách từ con tàu đến tia sáng hải đăng. b) Nếu tia sáng hải đăng chạm mặt biển (nằm ngang z=0z=0), hãy tìm tọa độ điểm sáng trên mặt biển. Nếu con tàu muốn di chuyển đến đúng điểm sáng đó, nó cần đi theo hướng vectơ nào?

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục