🛠️ Công cụ

Ôn tập Chương 1 - Toán 12

Ôn tập Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Toán 12 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Ôn tập Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số f(x)f(x) có đạo hàm trên khoảng KK.

  • Nếu f′(x)>0f'(x) > 0 với mọi x∈Kx \in K thì f(x)f(x) đồng biến trên KK.
  • Nếu f′(x)<0f'(x) < 0 với mọi x∈Kx \in K thì f(x)f(x) nghịch biến trên KK.
  • Nếu f′(x)=0f'(x) = 0 với mọi x∈Kx \in K thì f(x)f(x) là hàm hằng trên KK.
⚡ 2. Cực trị của hàm số
  • Điều kiện cần: Nếu f(x)f(x) đạt cực trị tại x0x_0 và có đạo hàm tại đó thì f′(x0)=0f'(x_0) = 0.
  • Điều kiện đủ (Quy tắc 1): Nếu f′(x)f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0x_0 thì x0x_0 là điểm cực đại. Ngược lại là điểm cực tiểu.
  • Quy tắc 2: Nếu f′(x0)=0f'(x_0) = 0 và f′′(x0)<0f''(x_0) < 0 thì x0x_0 là điểm cực đại. Nếu f′′(x0)>0f''(x_0) > 0 thì x0x_0 là điểm cực tiểu.
⚡ 3. Giá trị lớn nhất (GTLN) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN)
  • Để tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên [a;b][a; b]:
    1. Tìm các điểm tới hạn xi∈(a;b)x_i \in (a; b) mà tại đó f′(x)=0f'(x) = 0 hoặc không xác định.
    2. Tính f(a),f(xi),f(b)f(a), f(x_i), f(b).
    3. Kết luận GTLN, GTNN là số lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị vừa tính.
⚡ 4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
  • Tiệm cận ngang: y=y0y = y_0 nếu lim⁡x→+∞f(x)=y0\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 hoặc lim⁡x→−∞f(x)=y0\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0.
  • Tiệm cận đứng: x=x0x = x_0 nếu ít nhất một trong các giới hạn lim⁡x→x0+f(x)\lim_{x \to x_0^+} f(x) hoặc lim⁡x→x0−f(x)\lim_{x \to x_0^-} f(x) là vô cực.
  • Tiệm cận xiên: y=ax+by = ax + b (a≠0a \neq 0) nếu lim⁡x→∞[f(x)−(ax+b)]=0\lim_{x \to \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0.
    • a=lim⁡x→∞f(x)xa = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}; b=lim⁡x→∞[f(x)−ax]b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax].

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Kỹ năng giải toán Chương 1:

  1. Lập bảng biến thiên: Bước quan trọng nhất để xác định tính đơn điệu và cực trị.
  2. Nhận diện đồ thị: Dựa vào các đường tiệm cận, điểm đặc biệt (cắt Ox, Oy), và hình dáng (hệ số a).
  3. Bài toán tối ưu thực tế: Thiết lập hàm số dựa trên đại lượng cần tìm cực trị.
🔍 Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x3−3x+2y = x^3 - 3x + 2.

💡 Xem lời giải
  • Tập xác định: D=RD = \mathbb{R}.
  • Sự biến thiên:
    • Đạo hàm: y′=3x2−3y' = 3x^2 - 3.
    • y′=0⇔x=±1y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.
    • Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên (−∞;−1)(-\infty; -1) và (1;+∞)(1; +\infty), nghịch biến trên (−1;1)(-1; 1).
    • Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=−1,yCĐ=4x = -1, y_{CĐ} = 4; đạt cực tiểu tại x=1,yCT=0x = 1, y_{CT} = 0.
    • Giới hạn: lim⁡x→−∞y=−∞;lim⁡x→+∞y=+∞\lim_{x \to -\infty} y = -\infty; \lim_{x \to +\infty} y = +\infty.
  • Đồ thị: Đồ thị cắt OyOy tại (0;2)(0; 2), cắt OxOx tại (−2;0)(-2; 0) và (1;0)(1; 0). Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(0;2)I(0; 2).
🔍 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=x+4xy = x + \frac{4}{x} trên đoạn [1;3][1; 3].

💡 Xem lời giải
  • y′=1−4x2=x2−4x2y' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}.
  • y′=0⇔x2=4⇔x=2y' = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2 (do x∈[1;3]x \in [1; 3]) hoặc x=−2x = -2 (loại).
  • Tính các giá trị:
    • f(1)=1+4=5f(1) = 1 + 4 = 5.
    • f(2)=2+2=4f(2) = 2 + 2 = 4.
    • f(3)=3+43=133≈4,33f(3) = 3 + \frac{4}{3} = \frac{13}{3} \approx 4,33.
  • Kết luận: max⁡[1;3]y=5\max_{[1; 3]} y = 5 tại x=1x = 1; min⁡[1;3]y=4\min_{[1; 3]} y = 4 tại x=2x = 2.
🔍 Ví dụ 3: Tìm tất cả các đường tiệm cận

Tìm các đường tiệm cận đứng, ngang và xiên (nếu có) của đồ thị hàm số y=x2−3x+2x−3y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 3}.

💡 Xem lời giải
  • Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu là x=3x = 3. Vì lim⁡x→3+x2−3x+2x−3=∞\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2-3x+2}{x-3} = \infty nên x=3x = 3 là TCĐ.
  • Tiệm cận ngang: lim⁡x→∞x2−3x+2x−3=lim⁡x→∞1−3/x+2/x21/x−3/x2=∞\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-3x+2}{x-3} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 3/x + 2/x^2}{1/x - 3/x^2} = \infty. Không có TCN.
  • Tiệm cận xiên: Thực hiện phép chia đa thức: y=x+2x−3y = x + \frac{2}{x-3}.
    • Vì lim⁡x→∞[y−x]=lim⁡x→∞2x−3=0\lim_{x \to \infty} [y - x] = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x-3} = 0 nên y=xy = x là TCX.
🔍 Ví dụ 4: Nhận diện đồ thị hàm số

Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+dy = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị uốn lượn hình chữ N đi lên, cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Hãy xác định dấu của aa và dd.

💡 Xem lời giải
  • Hình dáng đồ thị “đi lên” từ trái sang phải ở hai đầu xa (lim⁡x→+∞y=+∞)(\lim_{x \to +\infty} y = +\infty) cho thấy hệ số a>0a > 0.
  • Đồ thị cắt trục OyOy tại điểm (0;d)(0; d). Đề bài nói điểm này có tung độ dương, suy ra d>0d > 0.
🔍 Ví dụ 5: Bài toán tối ưu thực tế

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 100 m2m^2 được bao quanh bởi một bức tường. Chủ vườn muốn chia mảnh vườn thành hai phần bằng một hàng rào song song với một cạnh. Tìm kích thước mảnh vườn để tổng chiều dài tường bao và hàng rào là nhỏ nhất.

💡 Xem lời giải
  • Gọi xx là chiều dài cạnh song song với hàng rào, yy là chiều dài cạnh còn lại (x,y>0x, y > 0).
  • Ta có diện tích x⋅y=100⇒y=100xx \cdot y = 100 \Rightarrow y = \frac{100}{x}.
  • Tổng chiều dài cần tối thiểu: L=2(x+y)+x=3x+2y=3x+200xL = 2(x + y) + x = 3x + 2y = 3x + \frac{200}{x}.
  • Xét hàm L(x)=3x+200xL(x) = 3x + \frac{200}{x} với x>0x > 0.
  • L′(x)=3−200x2L'(x) = 3 - \frac{200}{x^2}. Cho L′=0⇒x2=2003⇒x=2003≈8,16L' = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{200}{3} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{200}{3}} \approx 8,16 m.
  • Khi đó y=100x≈12,25y = \frac{100}{x} \approx 12,25 m.
  • Vậy chiều dài tường và rào cực tiểu khi cạnh song song rào dài khoảng 8,16m và cạnh kia 12,25m.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 1$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 2:Số điểm cực trị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 5$ là:
Câu 3:Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \\frac{x+1}{x-1}$ trên đoạn $[2; 3]$ là:
Câu 4:Đồ thị hàm số $y = \\frac{2x - 1}{x + 1}$ có đường tiệm cận đứng là:
Câu 5:Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \\frac{1}{x^2 - 1}$ là:
Câu 6:Hàm số bậc ba nào sau đây không có cực trị?
Đúng / Sai
Câu 7Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau: (Giả sử đi từ $-\infty$ lên 3 rồi xuống -1 rồi lên $+\infty$). Đúng hay sai?
a)Hàm số đạt cực đại tại $x = -1, y_{CĐ} = 3$.
b)Hàm số đồng biến trên khoảng $(-infty; 3)$.
c)Giá trị thấp nhất của hàm số trên $mathbb{R}$ là -1.
d)Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Đúng / Sai
Câu 8Cho hàm số $y = \\frac{x^2 + x - 1}{x - 1}$. Xét tính đúng sai của các phát biểu:
a)Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$.
b)Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 1$.
c)Hàm số có tiệm cận xiên $y = x + 2$.
d)Hàm số không có cực trị.
Câu 9:Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên: $x$ từ $-\infty$ đến $-1$ (y tăng lên 2), từ $-1$ đến $1$ (y giảm xuống $-2$), từ $1$ đến $+\infty$ (y tăng lên $+\infty$). Hỏi đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
Câu 10:Đồ thị hàm số $y = \\frac{ax+1}{x+b}$ có TCĐ $x = 2$ và TCN $y = 3$. Tính $a + b$.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) y=x3−3x+2y = x^3 - 3x + 2 b) y=−x4+4x2−3y = -x^4 + 4x^2 - 3 c) y=2x−4x+1y = \frac{2x-4}{x+1} d) y=x2−x+1x−1y = \frac{x^2-x+1}{x-1}

💡 Đáp án

Học sinh tự vẽ theo các bước: Tập xác định, Đạo hàm, Bảng biến thiên, Tiệm cận, Điểm đặc biệt.

Câu 2. Tiếp tuyến và giao điểm: a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3−3x+2y = x^3 - 3x + 2 tại điểm có hoành độ x=2x = 2. b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y=2x−4x+1y = \frac{2x-4}{x+1} và đường thẳng y=x−2y = x - 2. c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y=x2−x+1x−1y = \frac{x^2-x+1}{x-1} tại giao điểm của nó với trục tung. d) Tìm các điểm trên đồ thị y=x4−2x2y = x^4 - 2x^2 có tiếp tuyến song song với trục hoành.

💡 Đáp án

a) y′=3x2−3⇒y′(2)=9,y(2)=4⇒y=9x−14y' = 3x^2-3 \Rightarrow y'(2)=9, y(2)=4 \Rightarrow y = 9x - 14. b) Giải PT hoành độ giao điểm ⇒x=2,x=−1\Rightarrow x=2, x=-1. Tọa độ (2,0)(2, 0) and (−1,−3)(-1, -3). c) y′(0)=−1,y(0)=−1⇒y=−x−1y'(0)=-1, y(0)=-1 \Rightarrow y = -x - 1. d) y′=0⇔x=0,x=±1⇒(0,0),(1,−1),(−1,−1)y'=0 \Leftrightarrow x=0, x=\pm 1 \Rightarrow (0,0), (1,-1), (-1,-1).

Câu 3. Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: a) y=x2+1xy = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} b) y=x2x2−4y = \frac{x^2}{x^2-4} c) y=2x2+x−1x+2y = \frac{2x^2+x-1}{x+2} d) y=x2−2x+xy = \sqrt{x^2-2x} + x

💡 Đáp án

a) x=0,y=1,y=−1x=0, y=1, y=-1. b) x=2,x=−2,y=1x=2, x=-2, y=1. c) x=−2,y=2x−3x=-2, y=2x-3. d) y=2x−1y=2x-1 khi x→+∞x \to +\infty, y=1y=1 khi x→−∞x \to -\infty.

Câu 4. (Tối ưu hóa) Một công ty dự định sản xuất một loại hộp sữa hình trụ có thể tích V=500V = 500 ml. a) Hãy tính bán kính rr và chiều cao hh của hộp sữa để tốn ít nguyên liệu (diện tích toàn phần) nhất. b) Nếu giá nguyên liệu đáy đắt gấp đôi nguyên liệu thân, kích thước thay đổi thế nào?

💡 Đáp án

a) r=V/(2π)3r = \sqrt[3]{V/(2\pi)}. b) Thiết lập hàm chi phí C=2(2πr2)+2πrhC = 2(2\pi r^2) + 2\pi rh rồi lấy đạo hàm.

Câu 5. Bài toán liên quan đến đồ thị (Không tham số): Cho hàm số y=x3−3x2+2y = x^3 - 3x^2 + 2 có đồ thị (C). a) Dựa vào đồ thị, tìm các giá trị của xx để x3−3x2+2>0x^3 - 3x^2 + 2 > 0. b) Vẽ đồ thị hàm số y=∣x3−3x2+2∣y = |x^3 - 3x^2 + 2| bằng cách phối hợp đồ thị (C). c) Xác định số nghiệm của phương trình x3−3x2+2=2x^3 - 3x^2 + 2 = 2.

💡 Đáp án

a) Lập bảng xét dấu hoặc nhìn đồ thị. b) Giữ phần trên Ox, lấy đối xứng phần dưới Ox qua Ox. c) x3−3x2=0⇔x=0,x=3x^3 - 3x^2 = 0 \Leftrightarrow x=0, x=3. Có 2 nghiệm.

Câu 6. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y=x2−2x+2x−1y = \frac{x^2-2x+2}{x-1} luôn có tâm đối xứng. Tìm tọa độ tâm đối xứng đó.

💡 Đáp án

Tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận: x=1x=1 and y=x−1⇒I(1,0)y=x-1 \Rightarrow I(1, 0).

Câu 7. (Thực tế - Khoa học) Nồng độ một loại thuốc trong máu của bệnh nhân sau tt giờ tiêm được cho bởi C(t)=0,2tt2+1C(t) = \frac{0,2t}{t^2 + 1}. a) Sau bao lâu thì nồng độ thuốc đạt giá trị lớn nhất? b) Khi tt tiến ra vô cực, nồng độ thuốc thay đổi thế nào? Giải thích ý nghĩa thực tế.

💡 Đáp án

a) C′(t)=0⇔t=1C'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1 giờ. b) lim⁡C(t)=0\lim C(t) = 0. Nghĩa là thuốc bị đào thải hết khỏi cơ thể sau thời gian dài.

Câu 8. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số lượng giác: a) y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos x b) y=3sin⁡x−4cos⁡xy = 3\sin x - 4\cos x c) y=sin⁡4x+cos⁡4xy = \sin^4 x + \cos^4 x d) y=sin⁡x+1sin⁡x+cos⁡x+2y = \frac{\sin x + 1}{\sin x + \cos x + 2}

💡 Đáp án

a) [−2,2][-\sqrt{2}, \sqrt{2}]. b) [−5,5][-5, 5]. c) [1/2,1][1/2, 1]. d) Sử dụng phương pháp miền giá trị.

Câu 9. (Thực tế - Kinh tế) Một cửa hàng bán máy tính với giá xx triệu đồng một chiếc. Số lượng máy tính bán được mỗi tháng tỉ lệ nghịch với bình phương của giá bán. Nếu giá là 10 triệu, họ bán được 100 chiếc. a) Tìm hàm doanh thu R(x)R(x). b) Với mức giá nào thì doanh thu hàng tháng là lớn nhất?

💡 Đáp án

a) N(x)=k/x2⇒100=k/100⇒k=10000.R(x)=x⋅(10000/x2)=10000/xN(x) = k/x^2 \Rightarrow 100 = k/100 \Rightarrow k=10000. R(x) = x \cdot (10000/x^2) = 10000/x. b) Doanh thu càng lớn khi giá xx càng nhỏ (trong thực tế có giới hạn khác).

Câu 10. (Tổng hợp) Cho hàm số y=ax+bcx+dy = \frac{ax+b}{cx+d} có đồ thị đi qua A(0,−1),B(2,3)A(0, -1), B(2, 3) và có tiệm cận đứng x=1x = 1. a) Xác định các hệ số a,b,c,da, b, c, d. b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.

💡 Đáp án

a) x=1x=1 là TCĐ ⇒c+d=0\Rightarrow c+d=0. Qua (0,−1)⇒b/d=−1⇒b=−d=c(0,-1) \Rightarrow b/d = -1 \Rightarrow b = -d = c. Qua (2,3)⇒(2a+b)/(2c+d)=3⋯⇒y=x+1x−1(2,3) \Rightarrow (2a+b)/(2c+d)=3 \dots \Rightarrow y = \frac{x+1}{x-1}.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục