🛠️ Công cụ

Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Nguyên lí quy nạp, các bước thực hiện and ứng dụng chứng minh đẳng thức, chia hết — Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Nguyên lí quy nạp toán học

Để chứng minh một mệnh đề P(n)P(n) đúng với mọi số nguyên dương n≥pn \geq p (pp là số nguyên dương), ta thực hiện hai bước:

  • Bước 1 (Bước cơ sở): Kiểm tra P(p)P(p) đúng.
  • Bước 2 (Bước quy nạp): Giả sử mệnh đề đúng với n=k≥pn = k \geq p (gọi là giả thiết quy nạp). Ta chứng minh mệnh đề P(k+1)P(k+1) cũng đúng.
⚡ 2. Các dạng toán ứng dụng

Phương pháp quy nạp dùng để chứng minh:

  • Các đẳng thức toán học (tổng dãy số).
  • Các bất đẳng thức.
  • Tính chất chia hết of biểu thức số học.
  • Các công thức trong hình học, tổ hợp.

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Quy trình chứng minh quy nạp
  1. Kiểm tra n=1 (hoặc nn nhỏ nhất theo đề bài). Luôn phải ghi rõ “Mệnh đề đúng với n=…”.
  2. Giả sử n=k: Ghi rõ biểu thức P(k)P(k).
  3. Chứng minh n=k+1: Đây là bước quan trọng nhất. Thường biến đổi biểu thức P(k+1)P(k+1) để xuất hiện biểu thức P(k)P(k) bên trong.
🔍 Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức tổng

Chứng minh rằng với mọi n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, ta có: 1+2+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

💡 Xem lời giải
  • Với n=1n=1, VT=1,VP=1(2)2=1VT = 1, VP = \frac{1(2)}{2} = 1. Vậy đẳng thức đúng với n=1n=1.
  • Giả sử đẳng thức đúng với n=kn=k, tức là: 1+2+⋯+k=k(k+1)21 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}.
  • Ta chứng minh đúng với n=k+1n=k+1: VT=(1+2+⋯+k)+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)=(k+1)(k2+1)=(k+1)(k+2)2=VPVT = (1 + 2 + \dots + k) + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = (k+1)(\frac{k}{2} + 1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} = VP. Vậy đẳng thức đúng với mọi n≥1n \geq 1.
🔍 Ví dụ 2: Chứng minh tính chất chia hết

Chứng minh rằng n3−nn^3 - n chia hết cho 3 với mọi n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

💡 Xem lời giải
  • Với n=1n=1, 13−1=01^3 - 1 = 0 chia hết cho 3.
  • Giả sử k3−kk^3 - k chia hết cho 3.
  • Xét (k+1)3−(k+1)=k3+3k2+3k+1−k−1=(k3−k)+3(k2+k)(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = (k^3 - k) + 3(k^2 + k).
  • Vì (k3−k)(k^3 - k) chia hết cho 3 (theo GTQN) and 3(k2+k)3(k^2 + k) hiển nhiên chia hết cho 3.
  • Do đó biểu thức chia hết cho 3.
🔍 Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức

Chứng minh rằng 2n>n2^n > n với mọi số nguyên dương nn.

💡 Xem lời giải
  • Với n=1n=1, 21=2>12^1 = 2 > 1 (đúng).
  • Giả thiết 2k>k2^k > k.
  • Ta chứng minh 2k+1>k+12^{k+1} > k+1.
  • Ta có 2k+1=2⋅2k2^{k+1} = 2 \cdot 2^k. Theo GTQN: 2⋅2k>2k2 \cdot 2^k > 2k.
  • Ta cần so sánh 2k2k with k+1k+1. Với k≥1k \geq 1 thì 2k=k+k≥k+12k = k + k \geq k + 1.
  • Vậy 2k+1>k+12^{k+1} > k+1.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Bước đầu tiên of phương pháp quy nạp gọi là gì?
Câu 2:Nếu n=k+1, VT of đẳng thức $1 + 3 + ... + (2n-1) = n^2$ là:
Đúng / Sai
Câu 3Khi chứng minh quy nạp, các ý kiến sau đúng hay sai?
a)Chỉ cần bước cơ sở đúng là đủ để kết luận.
b)Bước quy nạp nhằm chứng minh tính liên kết giữa k and k+1.
c)Giả thiết quy nạp là giả định mệnh đề đúng với n=k.
d)Mọi mệnh đề liên quan đến n đều chứng minh được bằng quy nạp.
Câu 4:Cho $S_n = 1^2 + 2^2 + ... + n^2$. Tính giá trị of $S_3$.

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Chứng minh bằng quy nạp: 12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} with n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

💡 Lời giải
  • Với n=1n=1, 1=1(2)(3)6=11 = \frac{1(2)(3)}{6} = 1 (đúng).
  • Giả sử đúng với n=kn=k. Xét n=k+1n=k+1: Sk+1=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=k+16[k(2k+1)+6(k+1)]=k+16(2k2+7k+6)S_{k+1} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{k+1}{6} [k(2k+1) + 6(k+1)] = \frac{k+1}{6} (2k^2 + 7k + 6).
  • Ta có 2k2+7k+6=(k+2)(2k+3)2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3).
  • Vậy Sk+1=(k+1)(k+2)(2k+3)6S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} (đpcm).

Câu 2. Chứng minh n3+2nn^3 + 2n chia hết cho 3 với mọi n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

💡 Lời giải
  • n=1:1+2=3n=1: 1+2=3 chia hết cho 3.
  • Giả thiết k3+2k⋮3k^3 + 2k \vdots 3.
  • Với k+1k+1: (k+1)3+2(k+1)=k3+3k2+3k+1+2k+2=(k3+2k)+3(k2+k+1)(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2 = (k^3 + 2k) + 3(k^2 + k + 1).
  • Cả hai số hạng đều chia hết cho 3.

Câu 3. Chứng minh bất đẳng thức n!>n2n! > n^2 với n≥4n \geq 4.

💡 Lời giải
  • n=4:4!=24>42=16n=4: 4! = 24 > 4^2 = 16 (đúng).
  • Giả thiết k!>k2k! > k^2 with k≥4k \geq 4.
  • Xét (k+1)!=(k+1)⋅k!>(k+1)⋅k2(k+1)! = (k+1) \cdot k! > (k+1) \cdot k^2.
  • Ta cần chứng minh (k+1)k2>(k+1)2⇔k2>k+1(k+1)k^2 > (k+1)^2 \Leftrightarrow k^2 > k+1.
  • Với k≥4k \geq 4, k2≥16k^2 \geq 16 and k+1=5k+1 = 5. Vậy k2>k+1k^2 > k+1 đúng.
  • Kết luận: n!>n2n! > n^2 with mọi n≥4n \geq 4.
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục