🛠️ Công cụ

Ôn tập Chương 3 - Toán 10

Ôn tập Chương III: Hệ thức lượng trong tam giác - Toán 10 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Ôn tập Chương III: Hệ thức lượng trong tam giác

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Giá trị lượng giác của góc từ 0° đến 180°
  • Định nghĩa: Cho góc α\alpha, điểm M(x;y)M(x; y) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM^=α\widehat{xOM} = \alpha.
    • sin⁡α=yM\sin \alpha = y_M
    • cos⁡α=xM\cos \alpha = x_M
    • tan⁡α=yMxM\tan \alpha = \frac{y_M}{x_M} (α≠90∘\alpha \neq 90^\circ)
  • Tính chất:
    • sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha
    • cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha
    • tan⁡(180∘−α)=−tan⁡α\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha
    • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
⚡ 2. Hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABCABC có các cạnh a,b,ca, b, c đối diện với các góc A,B,CA, B, C.

  • Định lý Côsin: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A.
  • Định lý Sin: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp).
  • Độ dài đường trung tuyến: ma2=2(b2+c2)−a24m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4}.
⚡ 3. Các công thức tính diện tích tam giác $S$
  1. S=12a⋅haS = \frac{1}{2} a \cdot h_a
  2. S=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12casin⁡BS = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} ca \sin B
  3. S=abc4RS = \frac{abc}{4R}
  4. S=p⋅rS = p \cdot r (pp là nửa chu vi, rr là bán kính đường tròn nội tiếp)
  5. Công thức Heron: S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Chiến lược giải toán:

  1. Nếu biết 2 cạnh và góc xen giữa →\rightarrow dùng định lý Côsin tìm cạnh thứ ba.
  2. Nếu biết 1 cạnh và 2 góc →\rightarrow dùng định lý Sin để tìm các cạnh còn lại.
  3. Nếu biết 3 cạnh →\rightarrow dùng định lý Côsin để tìm các góc hoặc công thức Heron để tìm diện tích.
🔍 Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức lượng giác

Tính giá trị của A=sin⁡150∘+cos⁡120∘−tan⁡135∘A = \sin 150^\circ + \cos 120^\circ - \tan 135^\circ.

💡 Xem lời giải

Ta có:

  • sin⁡150∘=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
  • cos⁡120∘=−cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡60∘=−12\cos 120^\circ = -\cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}
  • tan⁡135∘=−tan⁡(180∘−45∘)=−tan⁡45∘=−1\tan 135^\circ = -\tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1 Thay vào: A=12+(−12)−(−1)=1A = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) - (-1) = 1.
🔍 Ví dụ 2: Giải tam giác (Tìm cạnh)

Cho tam giác ABCABC có b=8b = 8, c=5c = 5 và góc A=60∘A = 60^\circ. Tính cạnh aa và diện tích SS.

💡 Xem lời giải
  • Theo định lý Côsin: a2=b2+c2−2bccos⁡A=82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡60∘a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ a2=64+25−80⋅12=89−40=49⇒a=7a^2 = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49 \Rightarrow a = 7.
  • Diện tích: S=12bcsin⁡A=12⋅8⋅5⋅sin⁡60∘=20⋅32=103S = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}.
🔍 Ví dụ 3: Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$

Cho tam giác ABCABC có a=10a = 10 và góc A=45∘A = 45^\circ. Tính RR.

💡 Xem lời giải

Theo định lý Sin: asin⁡A=2R⇒10sin⁡45∘=2R\frac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow \frac{10}{\sin 45^\circ} = 2R 2R=1022=102⇒R=522R = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2} \Rightarrow R = 5\sqrt{2}.

🔍 Ví dụ 4: Sử dụng công thức Heron và bán kính nội tiếp

Cho tam giác ABCABC có 3 cạnh a=13,b=14,c=15a = 13, b = 14, c = 15. Tính diện tích SS và bán kính nội tiếp rr.

💡 Xem lời giải
  • Nửa chu vi: p=13+14+152=21p = \frac{13+14+15}{2} = 21.
  • Diện tích (Heron): S=21(21−13)(21−14)(21−15)=21⋅8⋅7⋅6=7056=84S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84.
  • Bán kính nội tiếp: r=Sp=8421=4r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4.
🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Đo khoảng cách giữa hai ngọn núi

Để đo khoảng cách giữa hai ngọn núi A và B, người ta chọn một điểm C sao cho CA=400CA = 400 m, CB=600CB = 600 m và góc ACB^=120∘\widehat{ACB} = 120^\circ. Tính khoảng cách ABAB.

💡 Xem lời giải

Áp dụng định lý Côsin cho tam giác ABCABC: AB2=CA2+CB2−2⋅CA⋅CB⋅cos⁡120∘AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos 120^\circ AB2=4002+6002−2⋅400⋅600⋅(−12)AB^2 = 400^2 + 600^2 - 2 \cdot 400 \cdot 600 \cdot (-\frac{1}{2}) AB2=160000+360000+240000=760000AB^2 = 160000 + 360000 + 240000 = 760000 AB=760000=20019≈871,8AB = \sqrt{760000} = 200\sqrt{19} \approx 871{,}8 m. Khoảng cách giữa hai ngọn núi là khoảng 871,8 m.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Giá trị của $\cos 150^\circ$ là:
Câu 2:Trong tam giác $ABC$, hệ thức nào sau đây là sai?
Câu 3:Cho tam giác $ABC$ có $a=4, b=5$ và góc $C=30^\circ$. Diện tích của tam giác là:
Câu 4:Cho tam giác $ABC$ có $A=120^\circ, R=4$. Độ dài cạnh $a$ bằng:
Câu 5:Tam giác có 3 cạnh là 3, 4, 5. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ bằng:
Câu 6:Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi góc $\alpha$ từ $0^\circ$ đến $180^\circ$?
Đúng / Sai
Câu 7Cho tam giác $ABC$ có $a=7, b=8, c=5$. Xét tính đúng sai:
a)$cos A = 1/7$
b)Góc $A = 60^circ$.
c)Diện tích $S = 10sqrt{3}$.
d)Nửa chu vi $p = 10$.
Đúng / Sai
Câu 8Xét một tam giác $ABC$ bất kỳ, đúng hay sai?
a)Nếu $sin A = sin B$ thì tam giác cân tại C.
b)Bán kính nội tiếp $r$ tính bởi $S/p$.
c)Công thức Heron dùng khi biết 2 cạnh và 1 góc.
d)Trong tam giác đều cạnh $a$ thì $S = a^2sqrt{3}/4$.
Câu 9:Tính giá trị của $M = \sin^2 30^\circ + \sin^2 150^\circ$.
Câu 10:Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $a = 6, \cos A = 1/2$. Tính độ dài cạnh $b$.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau (không dùng máy tính): a) P=sin⁡30∘cos⁡60∘+sin⁡60∘cos⁡30∘P = \sin 30^\circ \cos 60^\circ + \sin 60^\circ \cos 30^\circ b) Q=cos⁡0∘+cos⁡20∘+cos⁡160∘+cos⁡180∘Q = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ c) R=tan⁡45∘⋅cot⁡45∘−sin⁡150∘R = \tan 45^\circ \cdot \cot 45^\circ - \sin 150^\circ d) S=sin⁡245∘+cos⁡2135∘S = \sin^2 45^\circ + \cos^2 135^\circ

💡 Đáp án

a) P=12⋅12+32⋅32=1P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1. b) Q=1+cos⁡20∘−cos⁡20∘−1=0Q = 1 + \cos 20^\circ - \cos 20^\circ - 1 = 0. c) R=1⋅1−12=0,5R = 1 \cdot 1 - \frac{1}{2} = 0,5. d) S=12+12=1S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.

Câu 2. Giải tam giác ABCABC (tìm các cạnh và các góc còn lại) biết: a) a=15,b=20,C=60∘a = 15, b = 20, C = 60^\circ b) a=10,B=45∘,C=75∘a = 10, B = 45^\circ, C = 75^\circ c) a=7,b=24,c=25a = 7, b = 24, c = 25 d) b=10,c=10,A=120∘b = 10, c = 10, A = 120^\circ

💡 Đáp án

a) c=513≈18,03;A≈46,1∘,B≈73,9∘c = 5\sqrt{13} \approx 18,03; A \approx 46,1^\circ, B \approx 73,9^\circ. b) A=60∘,b=8,16;c=11,15A = 60^\circ, b = 8,16; c = 11,15. c) C=90∘,A≈16,3∘,B≈73,7∘C = 90^\circ, A \approx 16,3^\circ, B \approx 73,7^\circ. d) a=103,B=C=30∘a = 10\sqrt{3}, B = C = 30^\circ.

Câu 3. Cho tam giác ABCABC có b=5,c=8,cos⁡A=3/5b = 5, c = 8, \cos A = 3/5. a) Tính cạnh aa. b) Tính diện tích SS của tam giác. c) Tính độ dài đường cao hah_a và đường trung tuyến mam_a. d) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp RR.

💡 Đáp án

a) a=210a = 2\sqrt{10}. b) S=16S = 16. c) ha=1610,ma=34,5h_a = \frac{16}{\sqrt{10}}, m_a = \sqrt{34,5}. d) R=5104R = \frac{5\sqrt{10}}{4}.

Câu 4. (Thực tế - Địa lý) Hai chiếc tàu thủy R và S cùng rời bến O theo hai hướng tạo với nhau một góc 60∘60^\circ. Tàu R chạy với vận tốc 20 km/h, tàu S chạy với vận tốc 30 km/h. Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

💡 Đáp án

RS=207≈52,9RS = 20\sqrt{7} \approx 52,9 km.

Câu 5. Cho tam giác ABCABC có diện tích S=103S = 10\sqrt{3}, cạnh a=5,b=8a = 5, b = 8. a) Tính sin⁡C\sin C. b) Tìm các giá trị có thể có của góc CC. c) Nếu CC là góc nhọn, tính cạnh cc. d) Với cc vừa tìm được, tính bán kính đường tròn nội tiếp rr.

💡 Đáp án

a) sin⁡C=32\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}. b) C=60∘C = 60^\circ hoặc 120∘120^\circ. c) c=7c = 7. d) r=3r = \sqrt{3}.

Câu 6. Một tam giác có độ dài các cạnh là 13, 14, 15. a) Tính diện tích tam giác. b) Tính góc lớn nhất của tam giác (làm tròn đến độ). c) Tính độ dài đường cao tương ứng với cạnh lớn nhất. d) Nếu tăng độ dài mỗi cạnh thêm 1 đơn vị, diện tích tăng bao nhiêu %?

💡 Đáp án

a) S=84S = 84. b) Goˊc≈67∘Góc \approx 67^\circ. c) h=11,2h = 11,2. d) Tăng khoảng 18%18\%.

Câu 7. (Thực tế - Kiến trúc) Một tháp cao 50 m có bóng trên mặt đất dài 30 m. Tính góc của tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (làm tròn đến phút).

💡 Đáp án

≈59∘2′\approx 59^\circ 2'.

Câu 8. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABCABC ta luôn có: a) sin⁡A=sin⁡(B+C)\sin A = \sin(B+C) b) a=bcos⁡C+ccos⁡Ba = b \cos C + c \cos B c) S=2R2sin⁡Asin⁡Bsin⁡CS = 2R^2 \sin A \sin B \sin C d) ma2+mb2+mc2=34(a2+b2+c2)m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)

💡 Đáp án

a, b, c, d) Học sinh sử dụng các định lý Sin, Côsin và công thức diện tích để biến đổi vế tương ứng.

Câu 9. (Thực tế - Xây dựng) Để xây dựng một cây cầu bắc qua sông từ điểm A đến điểm B, người ta đo được khoảng cách từ một điểm C đến A là 40 m, đến B là 60 m và góc ACB^=45∘\widehat{ACB} = 45^\circ. Hãy tính chiều dài cây cầu.

💡 Đáp án

AB≈42,5AB \approx 42,5 m.

Câu 10. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, đường cao AH=4AH = 4, HB=3HB = 3. a) Tính HCHC và cạnh AC,ABAC, AB. b) Tính diện tích của tam giác ABCABC. c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp RR và nội tiếp rr. d) Gọi M là trung điểm BC, tính độ dài đoạn AM.

💡 Đáp án

a) HC=16/3,AB=5,AC=20/3HC = 16/3, AB = 5, AC = 20/3. b) S=50/3S = 50/3. c) R=25/6,r=5/3R = 25/6, r = 5/3. d) AM=25/6AM = 25/6.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục