🛠️ Công cụ

Bài 1: Phép biến hình

Khái niệm phép biến hình, ảnh của một hình và phép dời hình — Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Bài 1: Phép biến hình

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Định nghĩa phép biến hình

Quy tắc ff biến mỗi điểm MM trong mặt phẳng thành duy nhất một điểm M′M' được gọi là một phép biến hình.

  • Kí hiệu: M′=f(M)M' = f(M).
  • M′M' gọi là ảnh của MM; MM gọi là tạo ảnh của M′M'.
📋 2. Các khái niệm liên quan
  • Ảnh của một hình: Ảnh của hình H\mathcal{H} qua phép biến hình ff là hình H′\mathcal{H}' gồm các điểm M′=f(M)M' = f(M) với mọi M∈HM \in \mathcal{H}.
  • Điểm bất động: Nếu f(M)=Mf(M) = M thì MM được gọi là một điểm bất động của phép biến hình ff.
  • Phép đồng nhất: Biến mọi điểm MM thành chính nó.
⚡ 3. Phép dời hình

Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

  • Nếu M,N→fM′,N′M, N \xrightarrow{f} M', N' thì M′N′=MNM'N' = MN.
  • Các phép dời hình cơ bản: Tịnh tiến, Đối xứng trục, Đối xứng tâm, Phép quay.

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Kỹ năng xác định phép biến hình và ảnh
  1. Để chứng minh là phép biến hình: Chỉ ra tính duy nhất của ảnh M′M'.
  2. Để tìm ảnh của hình: Tìm ảnh của các điểm đặc trưng (đỉnh, tâm) hoặc dùng biểu thức tọa độ.
  3. Để chứng minh phép dời hình: Chứng minh d(M′,N′)=d(M,N)d(M', N') = d(M, N).
🔍 Ví dụ 1: Xác định ảnh qua quy tắc cho trước

Cho điểm OO cố định. Quy tắc ff biến mỗi điểm MM thành điểm M′M' sao cho OO là trung điểm của MM′MM'. Tìm ảnh của điểm A(2;3)A(2; 3) qua ff nếu O(0;0)O(0; 0).

💡 Xem lời giải

Vì OO là trung điểm của AM′AM' nên: {xM′=2xO−xA=2(0)−2=−2yM′=2yO−yA=2(0)−3=−3\begin{cases} x_{M'} = 2x_O - x_A = 2(0) - 2 = -2 \\ y_{M'} = 2y_O - y_A = 2(0) - 3 = -3 \end{cases} Vậy A′(−2;−3)A'(-2; -3). Đây chính là phép đối xứng tâm OO.

🔍 Ví dụ 2: Kiểm tra tính chất dời hình

Xét phép biến hình FF biến mỗi điểm M(x;y)M(x; y) thành M′(x+1;2y)M'(x+1; 2y). Hỏi FF có phải là phép dời hình không?

💡 Xem lời giải

Lấy A(0;0)A(0; 0) và B(0;1)B(0; 1). Ta có AB=1AB = 1.

  • Ảnh A′=F(A)=(0+1;2⋅0)=(1;0)A' = F(A) = (0+1; 2 \cdot 0) = (1; 0).
  • Ảnh B′=F(B)=(0+1;2⋅1)=(1;2)B' = F(B) = (0+1; 2 \cdot 1) = (1; 2).
  • Khoảng cách A′B′=(1−1)2+(2−0)2=2A'B' = \sqrt{(1-1)^2 + (2-0)^2} = 2. Vì A′B′=2≠AB=1A'B' = 2 \neq AB = 1 nên phép biến hình này không phải là phép dời hình.
🔍 Ví dụ 3: Điểm bất động

Tìm các điểm bất động của phép biến hình ff biến M(x;y)M(x; y) thành M′(2x−1;3y+4)M'(2x-1; 3y+4).

💡 Xem lời giải

MM là điểm bất động ⇔f(M)=M⇔{2x−1=x3y+4=y⇔{x=12y=−4⇒y=−2\Leftrightarrow f(M) = M \Leftrightarrow \begin{cases} 2x - 1 = x \\ 3y + 4 = y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ 2y = -4 \Rightarrow y = -2 \end{cases}. Vậy duy nhất điểm M(1;−2)M(1; -2) là điểm bất động của phép biến hình này.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Trong các quy tắc sau, quy tắc nào KHÔNG định nghĩa một phép biến hình?
Câu 2:Phép biến hình nào sau đây là phép dời hình?
Đúng / Sai
Câu 3Xét các khẳng định sau về phép dời hình:
a)Phép dời hình luôn biến đường thẳng thành đường thẳng.
b)Phép dời hình biến tam giác thành tam giác bằng nó.
c)Mọi phép biến hình đều là phép dời hình.
d)Phép đồng nhất là một phép dời hình.
Câu 4:Cho phép biến hình f biến $M(x; y)$ thành $M'(x-2; y+3)$. Tìm hoành độ ảnh của điểm $A(5; 1)$.

IV. Bài tập tự luận

📝 Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho đường thẳng dd cố định. Với mỗi điểm MM, ta xác định M′M' là điểm đối xứng của MM qua dd. Chứng minh quy tắc trên là một phép biến hình và tìm các điểm bất động của nó.

💡 Lời giải
  • Với mỗi MM, điểm đối xứng M′M' qua dd là duy nhất ⇒\Rightarrow là phép biến hình.
  • Điểm bất động M≡M′M \equiv M' khi và chỉ khi MM nằm trên đường thẳng dd.

Câu 2. Cho phép biến hình ff xác định bởi biểu thức tọa độ: x′=xcos⁡α−ysin⁡αx' = x \cos \alpha - y \sin \alpha và y′=xsin⁡α+ycos⁡αy' = x \sin \alpha + y \cos \alpha. Chứng minh ff là một phép dời hình.

💡 Lời giải

Tính A′B′2=(xB′−xA′)2+(yB′−yA′)2A'B'^2 = (x_{B'} - x_{A'})^2 + (y_{B'} - y_{A'})^2. Thay biểu thức vào và dùng công thức sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1, ta được A′B′2=(xB−xA)2+(yB−yA)2=AB2A'B'^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = AB^2. Vậy ff là phép dời hình (đây là phép quay).

Câu 3. Cho hình vuông ABCDABCD. Gọi ff là phép biến hình biến A→BA \to B, B→CB \to C, C→DC \to D, D→AD \to A. Tìm ảnh của tâm OO của hình vuông qua phép biến hình ff đó.

💡 Lời giải

Dễ thấy ff là phép quay tâm OO góc 90∘90^\circ. Vì OO là tâm quay nên f(O)=Of(O) = O. Vậy ảnh của OO là chính nó.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục