Ôn tập Chương V: Phương pháp tọa độ trong không gian

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Phương trình mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến (VPT): $\vec{n} = (a; b; c)$ (với $a^2+b^2+c^2 \neq 0$ ).
Phương trình tổng quát: $ax + by + cz + d = 0$ .
Mặt phẳng theo đoạn chắn: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (cắt 3 trục tại $A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ ).
Khoảng cách từ $M(x_0; y_0; z_0)$ đến (P): $d(M, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .

⚡ 2. Phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương (VTCP): $\vec{u} = (a; b; c)$ .
Phương trình tham số: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ ( $t \in \mathbb{R}$ ).
Phương trình chính tắc: $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$ ( $a, b, c \neq 0$ ).

⚡ 3. Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R$ :

Dạng chính tắc: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ .
Dạng tổng quát: $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ (với $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ ).
Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$ .

⚡ 4. Vị trí tương đương và Góc

Góc giữa hai MP: $\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$ .
Góc giữa hai ĐT: $\cos \alpha = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|}$ .
Góc giữa ĐT và MP: $\sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Chiến lược giải toán Hình tọa độ 12:

Lập phương trình: Luôn tìm điểm qua và vectơ pháp tuyến/chỉ phương.
Tìm giao điểm: Chuyển đường thẳng về tham số $t$ , thay vào phương trình mặt phẳng hoặc mặt cầu.
Hình chiếu - Đối xứng: Sử dụng đường thẳng qua điểm và vuông góc với mặt phẳng.

🔍 Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1; 2; 3)$ và vuông góc với đường thẳng $d: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ .

💡 Xem lời giải

Vì $(P) \perp d$ nên $(P)$ nhận VTCP của $d$ làm VPT. Suy ra $\vec{n} = (1; 2; -1)$ .
Phương trình $(P)$ : $1(x - 1) + 2(y - 2) - 1(z - 3) = 0$ .
Rút gọn: $x + 2y - z - 2 = 0$ .

🔍 Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đường và mặt

Tìm tọa độ giao điểm $M$ của đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ and mặt phẳng $(P): x + y + z - 9 = 0$ .

💡 Xem lời giải

Thay $x, y, z$ từ $d$ vào $(P)$ : $(1 + t) + (2 - t) + (3 + 2t) - 9 = 0$ .
Giải phương trình: $2t + 6 - 9 = 0 \Leftrightarrow 2t = 3 \Leftrightarrow t = 1,5$ .
Thay $t = 1,5$ vào $d$ : $x = 2{,}5; y = 0{,}5; z = 6$ .
Vậy $M(2{,}5; 0{,}5; 6)$ .

🔍 Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu

Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; -2; 0)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 2x - 2y + z + 3 = 0$ .

💡 Xem lời giải

Bán kính $R$ bằng khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ : $R = \frac{|2(1) - 2(-2) + 0 + 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 4 + 3|}{3} = \frac{9}{3} = 3$ .
Phương trình mặt cầu: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 9$ .

🔍 Ví dụ 4: Tính góc giữa đường và mặt

Tính góc giữa đường thẳng $d: \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{\sqrt{2}}$ and mặt phẳng $(Oxy)$ .

💡 Xem lời giải

VTCP của $d$ : $\vec{u} = (1; 1; \sqrt{2})$ .
VPT của $(Oxy)$ : $\vec{k} = (0; 0; 1)$ .
$\sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{k}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|0+0+\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+1^2+2} \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Suy ra $\theta = 45^\circ$ .

🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Tòa nhà và tia nắng

Một tòa nhà có tường nằm trên mặt phẳng $(P): x + y - 2 = 0$ . Một tia nắng được coi là đường thẳng $d$ đi qua mặt trời $S(10; 10; 10)$ và điểm $A(1; 1; 1)$ trên đỉnh tòa nhà. a) Viết phương trình tia nắng $SA$ . b) Tìm điểm bóng của đỉnh tòa nhà trên mặt đất (mặt phẳng $z = 0$ ).

💡 Xem lời giải

a) Vectơ $\overrightarrow{AS} = (9; 9; 9)$ , chọn VTCP $\vec{u} = (1; 1; 1)$ . Phương trình tia nắng $SA$ qua $A(1;1;1)$ : $\begin{cases} x = 1+t \\ y = 1+t \\ z = 1+t \end{cases}$ . b) Bóng của đỉnh trên mặt đất là giao của $SA$ và $(Oxy): z = 0$ . $1 + t = 0 \Rightarrow t = -1$ . Thay $t = -1$ vào phương trình đường thẳng: $M(0; 0; 0)$ . Vậy bóng của đỉnh nằm tại gốc tọa độ.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là:

Câu 2:Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y + 3z - 5 = 0$ là:

Câu 3:Đường thẳng qua $A(1; 1; 1)$ và vuông góc với $(P): x + 2y - 3z + 1 = 0$ có VTCP là:

Câu 4:Khoảng cách từ điểm $O(0; 0; 0)$ đến mặt phẳng $x + 2y + 2z - 6 = 0$ bằng:

Câu 5:Tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 1 = 0$ là:

Câu 6:Hai mặt phẳng $(P): x + y + z - 1 = 0$ và $(Q): 2x + 2y + 2z + 5 = 0$ có vị trí tương quan:

Đúng / Sai

Câu 7Cho đường thẳng $d: \\frac{x-1}{2} = \\frac{y+2}{1} = \\frac{z-3}{-1}$ and mặt phẳng $(P): x + y + z - 2 = 0$. Đúng hay sai?

a)Vectơ chỉ phương của d là $(2; 1; -1)$.

b)Đường thẳng d song song với mặt phẳng $(P)$.

c)Điểm $A(1; -2; 3)$ thuộc cả $d$ và $(P)$.

d)Góc giữa d và $(P)$ bằng $0^circ$.

Đúng / Sai

Câu 8Cho mặt cầu $(S): (x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 25$. Đúng hay sai?

a)Tâm mặt cầu nằm trên trục $Oy$.

b)Bán kính mặt cầu bằng 5.

c)Mặt cầu cắt trục $Oz$ tại hai điểm phân biệt.

d)Gốc tọa độ O nằm bên trong mặt cầu.

Câu 9:Tìm m để mặt phẳng $(P): x - 2y + z + m = 0$ đi qua điểm $A(1; 1; 1)$.

Câu 10:Tính góc (độ) giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $z = 0$.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ trong các trường hợp: a) Đi qua $M(1; -2; 3)$ và song song với $(Q): 2x - y + 3z - 1 = 0$ . b) Đi qua 3 điểm $A(2; 0; 0), B(0; -1; 0), C(0; 0; 3)$ . c) Là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ với $A(1; 1; 1), B(3; 3; 3)$ . d) Qua $A(1; 0; 0)$ và chứa đường thẳng $Ox$ . (Sửa lại: Chứa trục $Ox$ và qua $M(0; 1; 1)$ ).

💡 Đáp án

a) $2x - y + 3z - 13 = 0$ . b) $3x - 6y + 2z - 6 = 0$ . c) $x+y+z-6=0$ . d) $y-z=0$ .

Câu 2. Lập phương trình đường thẳng $d$ trong các trường hợp: a) Qua $A(1; 2; 3)$ and $B(3; 2; 1)$ . b) Qua $M(0; -1; 2)$ and song song với $d': \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{-1}$ . c) Qua $A(1; 1; 1)$ and vuông góc với mặt phẳng $(P): x + y - z = 0$ . d) Là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P): x+y-1=0$ and $(Q): y+z-2=0$ .

💡 Đáp án

a) $\begin{cases} x=1+2t, y=2, z=3-2t \end{cases}$ . b) Dùng VTCP của $d'$ . c) VTCP là $(1, 1, -1)$ . d) Tìm 1 điểm chung and VTCP là tích có hướng 2 VPT.

Câu 3. Cho điểm $A(2; 1; 3)$ and mặt phẳng $(P): x + y + z - 2 = 0$ . a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên $(P)$ . b) Tìm tọa độ điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua $(P)$ . c) Tính khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ . d) Viết phương trình mặt cầu tâm $A$ và tiếp xúc $(P)$ .

💡 Đáp án

a) $H(2/3, -1/3, 5/3)$ . b) $A'(-2/3, -5/3, 1/3)$ . c) $4/\sqrt{3}$ . d) $(x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2 = 16/3$ .

Câu 4. (Thực tế) Một trạm radar đặt tại $O$ phát hiện tàu thủy tại $A(1; 2; 0)$ and máy bay tại $B(5; 5; 5)$ (đơn vị: km). a) Tính khoảng cách giữa tàu thủy and máy bay. b) Nếu máy bay bay thẳng đến tàu thủy, hãy viết phương trình đường bay. c) Tìm tọa độ điểm trên mặt biển ( $z=0$ ) nằm chính giữa hình chiếu của máy bay and vị trí tàu thủy.

💡 Đáp án

a) $\sqrt{4^2+3^2+5^2} = 5\sqrt{2} \approx 7,07$ km. b) Đường thẳng qua A, B. c) Hình chiếu B là $(5,5,0)$ , trung điểm với $(1,2,0)$ là $(3; 3,5; 0)$ .

Câu 5. Cho hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{1}$ and $d_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{2}$ . a) Chứng minh $d_1, d_2$ chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa $d_1, d_2$ . c) Viết phương trình mặt phẳng chứa $d_1$ and song song $d_2$ . d) Viết phương trình đường vuông góc chung của $d_1, d_2$ .

💡 Đáp án

a) Kiểm tra tích hỗn tạp. b) $d = \frac{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}|}{|[\vec{u_1}, \vec{u_2}]|}$ .

Câu 6. Lập phương trình mặt cầu $(S)$ : a) Có đường kính $AB$ với $A(1; 2; -3), B(3; -2; 1)$ . b) Tâm $I(1; 1; 1)$ and cắt $(P): 2x + y + 2z + 1 = 0$ theo một đường tròn có bán kính $r = 4$ . c) Qua 4 điểm $O, A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)$ .

💡 Đáp án

a) $(x-2)^2+y^2+(z+1)^2 = 8$ . b) Tính $d(I, P) = 2 \Rightarrow R = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20}$ . c) $x^2+y^2+z^2-x-y-z=0$ .

Câu 7. (Thực tế - Thiết kế) Một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật. Một ngọn đèn treo tại $S(2; 2; 3)$ . Một bức tranh treo phẳng trên tường $(P): x = 0$ trong khoảng $1 \leq y \leq 2, 1 \leq z \leq 2$ . a) Tìm khoảng cách ngắn nhất từ đèn đến bức tranh. b) Nếu đèn bị rơi theo phương thẳng đứng, nó sẽ chạm sàn ( $z=0$ ) tại điểm nào?

💡 Đáp án

a) $d(S, P) = |2| = 2$ . b) $M(2; 2; 0)$ .

Câu 8. Tìm m để: a) $(P): x + my + 2z - 1 = 0$ vuông góc với $(Q): mx - y + z + 3 = 0$ . b) Đường thẳng $d: \frac{x-1}{m} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$ song song với $(P): x - 2y + z = 0$ .

💡 Đáp án

a) $1(m) + m(-1) + 2(1) = 0 \Rightarrow 2 = 0$ (Vô nghiệm). b) $m(1) + 1(-2) + 2(1) = 0 \Rightarrow m = 0$ .

Câu 9. Tìm tọa độ điểm $M$ trên đường thẳng $d: \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$ sao cho $M$ cách đều $A(1; 0; 0)$ and $B(0; 1; 0)$ .

💡 Đáp án

Tham số hóa $M(1+t; -1+2t; t)$ , giải $MA^2 = MB^2$ .

Câu 10. (Tổng hợp) Cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0$ and điểm $M(1; 1; 1)$ . a) Chứng minh $M$ nằm trong mặt cầu. b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M$ sao cho $(P)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất.

💡 Đáp án

a) Thay tọa độ. b) $(P)$ phải vuông góc với $IM$ tại $M$ . VPT là $\overrightarrow{IM}$ .

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 5 - Toán 12

Ôn tập Chương V: Phương pháp tọa độ trong không gian

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm