Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

$S = \int_1^2 |x^2| dx = \int_1^2 x^2 dx = [\dfrac{x^3}{3}]_1^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$.

$S = \int_0^{\pi/2} |\cos x| dx = \int_0^{\pi/2} \cos x dx = [\sin x]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1$.

Hoành độ giao điểm: $x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$. $S = \int_{-2}^2 |x^2 - 4| dx = \int_{-2}^2 (4 - x^2) dx = [4x - \dfrac{x^3}{3}]_{-2}^2 = \dfrac{32}{3}$.

Giao điểm: $x(x^2-1)=0 \Leftrightarrow x \in \{0, \pm 1\}$. $S = \int_{-1}^0 (x^3-x)dx + \int_0^1 (x-x^3)dx$ (do tính đối xứng). $S = 2 \int_0^1 (x-x^3)dx = 2 [x^2/2 - x^4/4]_0^1 = 2(\frac{1}{4}) = 0.5$.

Trên $[1, e]$, $x \ln x \ge 0$. $S = \int_1^e x \ln x dx$. Dùng nguyên hàm từng phần: $u = \ln x, dv = x dx$. $S = [\dfrac{x^2}{2} \ln x]_1^e - \int_1^e \dfrac{x}{2} dx = \dfrac{e^2}{2} - [\frac{x^2}{4}]_1^e = \dfrac{e^2}{2} - (\dfrac{e^2-1}{4}) = \dfrac{e^2+1}{4}$.

Giao điểm: $x^2 = x \Leftrightarrow x = 0; x = 1$. $S = \int_0^1 |x^2 - x| dx = \int_0^1 (x - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1 = 1/6$.

Giao điểm: $x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (tiếp xúc). Vì chỉ có 1 giao điểm, trong trường hợp này hình phẳng phải được giới hạn thêm bởi các đường thẳng dọc (nếu đề cho). Nếu không, diện tích bằng 0. Sửa lại đề: giới hạn bởi $y=x^2$ và $y=2x$. Giao điểm: $x=0, x=2$. $S = \int_0^2 (2x-x^2)dx = 4/3$.

Phương trình giao điểm: $\sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow x = (x-2)^2$ (với $x \ge 2$) $\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow x=4$. Trục hoành: $\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0$. $x-2=0 \Rightarrow x=2$. Hình phẳng giới hạn bởi 3 đường này cần chia làm 2 phần: $S = \int_0^2 \sqrt{x} dx + \int_2^4 (\sqrt{x} - (x-2))dx = 10/3$.

Giao điểm: $x^2 = \sqrt{x} \Leftrightarrow x(x^{3/2}-1)=0 \Leftrightarrow x=0, x=1$. $S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)dx = [2x^{3/2}/3 - x^3/3]_0^1 = 2/3 - 1/3 = 1/3$.

Tại $x=3, y=5$. $y' = 2x-2 \Rightarrow y'(3)=4$. Tiếp tuyến $d: y = 4(x-3)+5 = 4x-7$. $S = \int_0^3 |(x^2-2x+2) - (4x-7)| dx = \int_0^3 (x^2-6x+9)dx$. $S = \int_0^3 (x-3)^2 dx = [(x-3)^3/3]_0^3 = 0 - (-27/3) = 9$.

$V = \pi \int_0^1 (x^3)^2 dx = \pi \int_0^1 x^6 dx = \pi/7$.

$V = \pi \int_0^1 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^1 x dx = \pi/2$.

Cận: $1-x^2=0 \Rightarrow x = \pm 1$. $V = \pi \int_{-1}^1 (1-x^2)^2 dx = \pi \int_{-1}^1 (1 - 2x^2 + x^4)dx = \pi [x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5}]_{-1}^1 = \frac{16\pi}{15}$.

$V = \pi \int_0^\pi \sin^2 x dx = \pi \int_0^\pi \frac{1-\cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2} [x - \frac{\sin 2x}{2}]_0^\pi = \frac{\pi^2}{2}$.

Giao điểm: $x=0, x=1$. Trong khoảng này $\sqrt{x} \ge x^2$. $V = \pi \int_0^1 |(\sqrt{x})^2 - (x^2)^2| dx = \pi \int_0^1 (x - x^4)dx = \pi [\frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5}]_0^1 = \frac{3\pi}{10}$.

Cận: $4-x^2=0 \Rightarrow x = \pm 2$. $S = \int_{-2}^2 (4-x^2)dx = 32/3 \approx 10.67$ ($m^2$).

$V = \pi \int_0^{10} x^2 dx = \pi [x^3/3]_0^{10} = 1000\pi/3$ ($cm^3$).

$V = \frac{4}{3}\pi (20^3 - 19^3) \approx 4771$ ($mm^3$).

$y = \pm \frac{2}{3} \sqrt{9-x^2}$. $S = 4 \times \int_0^3 \frac{2}{3} \sqrt{9-x^2} dx$. Dùng đổi biến $x = 3 \sin t \Rightarrow S = 6\pi \approx 18.85$ (m²). (Cũng trùng công thức $S = \pi ab$).

Đặt trục Ox dọc theo chiều cao thùng, $x \in [-40, 40]$. Parabol đi qua $(-40, 20), (0, 30), (40, 20)$. Hàm có dạng $y = ax^2 + b$. $b = 30$. $a(40^2) + 30 = 20 \Rightarrow 1600a = -10 \Rightarrow a = -1/160$. $y = -x^2/160 + 30$. $V = \pi \int_{-40}^{40} (-x^2/160 + 30)^2 dx$. Tính toán tích phân này thu được thể tích thùng.