Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

• Đã chứng minh ở Bài 23: $BC \perp (SAB)$.

• Vì $BC \subset (SBC)$ nên $(SBC) \perp (SAB)$ (ĐPCM).

• $BD \perp AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD \perp SA$ (do $SA \perp (ABCD)$).

• Suy ra $BD \perp (SAC)$. Mà $BD \subset (SBD) \Rightarrow (SBD) \perp (SAC)$ (ĐPCM).

$CD \perp (SAD)$ và $CD \subset (SCD) \Rightarrow (SCD) \perp (SAD)$.

$OA \perp (OBC)$ mà $OA \subset (OAB) \Rightarrow (OAB) \perp (OBC)$.

• Giao tuyến $(SBC) \cap (ABC) = BC$.

• $AB \perp BC$ và $SB \perp BC \Rightarrow$ Góc phẳng nhị diện là $\widehat{SBA}$.

• $\tan \widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SBA} = 60^\circ$.

• Giao tuyến $CD$. $AD \perp CD, SD \perp CD \Rightarrow$ Góc là $\widehat{SDA}$.

• $\tan \widehat{SDA} = \dfrac{SA}{AD} = \dfrac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat{SDA} = 45^\circ$.

$\tan \alpha = SA/AD = \sqrt{3} \Rightarrow \alpha = 60^\circ$.

$\tan 60^\circ = \dfrac{h}{r} \Rightarrow r = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = a$.

• Giao tuyến $(SAB) \cap (ABC) = AB$.

• Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì $\triangle SAB$ đều nên $SH \perp AB$.

• Do $(SAB) \perp (ABC) \Rightarrow SH \perp (ABC)$. Chiều cao $h = SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Giao tuyến là $AD$. Vì $(SAD) \perp (ABCD)$ và $SH \perp AD \Rightarrow SH \perp (ABCD)$.

Trung tuyến $SH = \dfrac{1}{2} BC = a$.

$d \perp (R)$.

• $AC \perp AB$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$).

• $AC \perp AA'$ (do lăng trụ đứng).

Suy ra $AC \perp (ABB'A')$. Vì $AC \subset (ACC'A') \Rightarrow (ACC'A') \perp (ABB'A')$.

Bằng $90^\circ$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC \Rightarrow AM = a\sqrt{3}/2$. $\tan \alpha = \dfrac{AA'}{AM} = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ$.

$\tan \alpha = \dfrac{A'A}{AO} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}/2} = \sqrt{2} \Rightarrow \alpha = \arctan\sqrt{2} \approx 54.74^\circ$.