Bài 4: Khảo sát & vẽ đồ thị

I. Sơ đồ tổng quát khảo sát & vẽ đồ thị hàm số

📌 Quy trình 3 bước chuẩn mực khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1. Tập xác định: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

2. Sự biến thiên:

Tính đạo hàm $y'$. Giải phương trình $y' = 0$ hoặc tìm các điểm làm $y'$ không xác định.
Xét dấu $y'$ để suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị.
Tìm các giới hạn tại vô cực ($\lim_{x \to \pm\infty} y$) và giới hạn vô cực tại các điểm đứt gãy để xác định các tiệm cận (nếu có).
Lập Bảng biến thiên (BBT) tổng hợp thể hiện đầy đủ các thông tin.

3. Đồ thị:

Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ $Ox, Oy$ và các điểm đặc biệt.
Xác định tính đối xứng (tâm đối xứng là điểm uốn đối với hàm bậc ba; giao điểm 2 tiệm cận đối với hàm phân thức).
Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), biểu diễn các điểm đặc biệt và vẽ đồ thị nét liền sắc nét.

II. Khảo sát hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$)

1. Sơ đồ khảo sát & Dạng đồ thị hàm bậc ba

⚡ Khung sơ đồ khảo sát hàm bậc ba

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $y' = 3ax^2 + 2bx + c$. $\Delta' = b^2 - 3ac$.

Nếu $\Delta' > 0 \Rightarrow y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2 \Rightarrow$ Hàm số có 2 điểm cực trị (1 CĐ, 1 CT).
Nếu $\Delta' \le 0 \Rightarrow y' \ge 0$ (hoặc $y' \le 0$), $\forall x \Rightarrow$ Hàm số đơn điệu liên tục trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

• Giới hạn: Với $a > 0 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} y = +\infty, \lim_{x \to -\infty} y = -\infty$. Đồ thị không có tiệm cận.

• Tâm đối xứng: Nghiệm của $y'' = 6ax + 2b = 0 \Leftrightarrow x_U = -\frac{b}{3a} \Rightarrow$ Điểm uốn $I\left(-\frac{b}{3a}; y\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$ là tâm đối xứng của đồ thị.

2. 3 Ví dụ mẫu minh họa có đồ thị JSXGraph

🔍 Ví dụ 1 (Khảo sát hàm bậc ba có 2 cực trị với $a > 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

- Cực đại tại $x = 0 \Rightarrow y_{CĐ} = 2$.

- Cực tiểu tại $x = 2 \Rightarrow y_{CT} = -2$.

• Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$; nghịch biến trên $(0; 2)$.

• Điểm uốn $I(1; 0)$ là tâm đối xứng.

📈 Đồ thị Ví dụ 1: y = x³ - 3x² + 2 có CĐ (0; 2), CT (2; -2) và tâm uốn I(1; 0).

🔍 Ví dụ 2 (Khảo sát hàm bậc ba có 2 cực trị với $a < 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = -x^3 + 3x - 1$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• $y' = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 1$.

- Cực tiểu tại $x = -1 \Rightarrow y_{CT} = -3$.

- Cực đại tại $x = 1 \Rightarrow y_{CĐ} = 1$.

• Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$; đồng biến trên $(-1; 1)$.

• Điểm uốn $I(0; -1)$ là tâm đối xứng.

📈 Đồ thị Ví dụ 2: y = -x³ + 3x - 1 có CT (-1; -3), CĐ (1; 1) và tâm uốn I(0; -1).

🔍 Ví dụ 3 (Khảo sát hàm bậc ba không có cực trị)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• Biến đổi: $y = (x + 1)^3$. TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• $y' = 3(x + 1)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = -1$ (nghiệm kép).

• Hàm số đồng biến liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

• Điểm uốn $I(-1; 0)$ là tâm đối xứng (tại đây đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang $y = 0$).

📈 Đồ thị Ví dụ 3: y = (x + 1)³ luôn đồng biến trên ℝ, điểm uốn I(-1; 0).

III. Khảo sát hàm số nhất biến $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0, ad - bc \ne 0$)

1. Sơ đồ khảo sát & Dạng đồ thị Hyperbol

⚡ Khung sơ đồ khảo sát hàm nhất biến

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}$.

• Đạo hàm: $y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$.

Nếu $ad - bc > 0 \Rightarrow y' > 0, \forall x \ne -\frac{d}{c} \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; -d/c)$ và $(-d/c; +\infty)$.
Nếu $ad - bc < 0 \Rightarrow y' < 0, \forall x \ne -\frac{d}{c} \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; -d/c)$ và $(-d/c; +\infty)$.

• Tiệm cận: Tiệm cận đứng $x = -\frac{d}{c}$; Tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$.

• Tâm đối xứng: Giao điểm $I\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right)$ của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị Hyperbol.

2. 3 Ví dụ mẫu minh họa có đồ thị JSXGraph

🔍 Ví dụ 4 (Khảo sát hàm nhất biến đồng biến với $ad - bc > 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

• $y' = \frac{2(1) - (-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0, \forall x \ne -1$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.

• TCĐ $x = -1$; TCN $y = 2$. Tâm đối xứng $I(-1; 2)$.

• Giao điểm với các trục: $Ox(0{,}5; 0)$, $Oy(0; -1)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 4: y = (2x - 1)/(x + 1) đồng biến, TCĐ x = -1, TCN y = 2.

🔍 Ví dụ 5 (Khảo sát hàm nhất biến nghịch biến với $ad - bc < 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{-x + 2}{x - 1}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

• $y' = \frac{(-1)(-1) - (2)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2} < 0, \forall x \ne 1$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.

• TCĐ $x = 1$; TCN $y = -1$. Tâm đối xứng $I(1; -1)$.

• Giao điểm với các trục: $Ox(2; 0)$, $Oy(0; -2)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 5: y = (-x + 2)/(x - 1) nghịch biến, TCĐ x = 1, TCN y = -1.

🔍 Ví dụ 6 (Khảo sát hàm nhất biến có đảo thứ tự mẫu số $y = \frac{3x + 1}{1 - 2x}$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{3x + 1}{1 - 2x}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• Đổi lại đúng dạng: $y = \frac{3x + 1}{-2x + 1}$. TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{0{,}5\}$.

• $y' = \frac{3(1) - (1)(-2)}{(-2x+1)^2} = \frac{5}{(-2x+1)^2} > 0, \forall x \ne 0{,}5$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0{,}5)$ và $(0{,}5; +\infty)$.

• TCĐ $x = 0{,}5$; TCN $y = -1{,}5$. Tâm đối xứng $I(0{,}5; -1{,}5)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 6: y = (3x + 1)/(1 - 2x) có TCĐ x = 0.5, TCN y = -1.5.

IV. Khảo sát hàm số $y = \frac{ax^2 + bx + c}{px + q}$ ($a \ne 0, p \ne 0$)

1. Sơ đồ khảo sát & Dạng đồ thị 2 nhánh có tiệm cận xiên

⚡ Khung sơ đồ khảo sát hàm bậc hai trên bậc nhất

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{q}{p}\right\}$.

• Dạng phân tích: $y = Ax + B + \frac{r}{px + q}$ (phép chia đa thức).

• Tiệm cận: Tiệm cận đứng $x = -\frac{q}{p}$; Tiệm cận xiên $y = Ax + B$.

• Tâm đối xứng: Giao điểm $I$ của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là tâm đối xứng của đồ thị.

2. 3 Ví dụ mẫu minh họa có đồ thị JSXGraph

🔍 Ví dụ 7 (Khảo sát hàm bậc 2 / bậc 1 có 2 cực trị với $a > 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Chia tử cho mẫu: $y = x - 1 + \frac{1}{x - 1}$.

• $y' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

- Cực đại tại $x = 0 \Rightarrow y_{CĐ} = -2$.

- Cực tiểu tại $x = 2 \Rightarrow y_{CT} = 2$.

• TCĐ $x = 1$; TCX $y = x - 1$. Tâm đối xứng $I(1; 0)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 7: y = (x² - 2x + 2)/(x - 1) có CĐ (0; -2), CT (2; 2), TCĐ x = 1, TCX y = x - 1.

🔍 Ví dụ 8 (Khảo sát hàm bậc 2 / bậc 1 có 2 cực trị với $a < 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{-x^2 + 3x - 1}{x - 2}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Chia tử cho mẫu: $y = -x + 1 + \frac{1}{x - 2}$.

• $y' = -1 - \frac{1}{(x-2)^2} < 0, \forall x \ne 2 \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Không có cực trị.

• TCĐ $x = 2$; TCX $y = -x + 1$. Tâm đối xứng $I(2; -1)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 8: y = (-x² + 3x - 1)/(x - 2) nghịch biến, TCĐ x = 2, TCX y = -x + 1.

🔍 Ví dụ 9 (Khảo sát hàm bậc 2 / bậc 1 với tử số không cắt $Ox$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Chia tử cho mẫu: $y = x + \frac{1}{x + 1}$.

• $y' = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$.

- Cực đại tại $x = -2 \Rightarrow y_{CĐ} = -3$.

- Cực tiểu tại $x = 0 \Rightarrow y_{CT} = 1$.

• TCĐ $x = -1$; TCX $y = x$. Tâm đối xứng $I(-1; -1)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 9: y = (x² + x + 1)/(x + 1) có CĐ (-2; -3), CT (0; 1), TCĐ x = -1, TCX y = x.

V. Bài toán sự tương giao f(x) = m & Đọc đồ thị

📌 Quy tắc biện luận số nghiệm phương trình f(x) = m bằng đồ thị

Số nghiệm của phương trình $f(x) = m$ chính là **số giao điểm** của đồ thị $y = f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y = m$ (song song hoặc trùng với trục $Ox$).

Đường thẳng $y = m$ nằm trên đỉnh cực đại $\Rightarrow$ số giao điểm ít.
Đường thẳng $y = m$ nằm giữa cực tiểu và cực đại $\Rightarrow$ phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

🎯 VI. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm 10 câu hỏi trắc nghiệm tuyển chọn về Khảo sát & Đọc đồ thị dưới đây để kiểm tra năng lực. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn chọn đáp án.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$) có đồ thị với nét cuối đi lên, đạt hai điểm cực trị tại $x = 0$ và $x = 2$, đồng thời cắt trục tung $Oy$ tại điểm có tung độ âm. Khẳng định nào sau đây là **đúng**?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Tọa độ tâm đối xứng $I$ (điểm uốn) của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 4$ là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ với trục hoành $Ox$ là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ tại tâm đối xứng của nó là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Tọa độ tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 3}$ là:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ với trục tung $Oy$ và trục hoành $Ox$ lần lượt là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ và đường thẳng $y = x + 1$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$ là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$ bằng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Cho hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$. Đường thẳng $y = -1$ cắt đồ thị hàm số tại bao nhiêu điểm phân biệt?

Câu 11:🎲 Câu hỏi động

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + x - 2}{x - 1}$ với trục tung $Oy$ là điểm:

Câu 12:🎲 Câu hỏi động

Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương $y = x^4 - 2x^2 - 3$ là đường thẳng nào sau đây?

Đúng / Sai

Câu 13Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Xét tính đúng hay sai của các phát biểu sau:

a)Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = 3x^2 - 6x$ triệt tiêu tại hai điểm $x = 0$ và $x = 2$.

b)Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$.

c)Đồ thị hàm số có điểm cực đại là $(0; 2)$ và điểm cực tiểu là $(2; -2)$.

d)Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm uốn $I(1; 0)$.

Đúng / Sai

Câu 14Cho hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$. Xét tính đúng hay sai của các khẳng định sau:

a)Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

b)Đạo hàm $y' = \frac{3}{(x+1)^2} > 0, \forall x \ne -1$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.

c)Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là tiệm cận đứng $x = -1$ và tiệm cận ngang $y = 2$.

d)Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là $I(2; -1)$.

Đúng / Sai

Câu 15Cho hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = f(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$. Xét tính đúng hay sai của các phát biểu sau:

a)Hàm số có thể viết dưới dạng $y = x - 1 + \frac{1}{x - 1}$.

b)Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 1$ và đường tiệm cận xiên $y = x - 1$.

c)Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía khác nhau so với đường tiệm cận đứng.

d)Đồ thị hàm số cắt trục hoành $Ox$ tại hai điểm phân biệt.

Đúng / Sai

Câu 16Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = -x^3 + 3x + 1$ có bảng biến thiên: đạt cực tiểu tại điểm $(-1; -1)$ và đạt cực đại tại điểm $(1; 3)$. Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:

a)Đồ thị hàm số cắt trục tung $Oy$ tại điểm $(0; 1)$.

b)Phương trình $f(x) = 0$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

c)Phương trình $f(x) = 4$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

d)Phương trình $f(x) = 3$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

Câu 17:Một cổng chào hình parabol có chiều rộng hai chân cổng là $AB = 12\text{ m}$ và chiều cao đỉnh cổng là $OH = 9\text{ m}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O$ là trung điểm $AB$ và đỉnh cổng trên trục $Oy$, phương trình biên cổng là parabol $y = -\frac{1}{4}x^2 + 9$. Tại điểm trên mặt đất cách tâm $O$ một khoảng bằng $4\text{ m}$ ($x = 4$), chiều cao của cổng chào bằng bao nhiêu mét?

Câu 18:Một con đường uốn lượn được mô hình hóa bởi đồ thị hàm số bậc ba $y = -x^3 + 12x$ (với $x \in [0; 3]$, trong đó $x$ và $y$ tính bằng km). Độ lệch ngang lớn nhất của con đường so với trục chuẩn $Ox$ trên đoạn này là bao nhiêu km?

Câu 19:Một doanh nghiệp sản xuất $x$ tấn sản phẩm ($x > 0$) có hàm tổng chi phí là $C(x) = x^2 + 30x + 100$ (triệu đồng) và hàm doanh thu bán hàng là $R(x) = 55x$ (triệu đồng). Điểm hòa vốn là giao điểm của hai đồ thị doanh thu và chi phí ($R(x) = C(x)$). Doanh nghiệp cần sản xuất mức sản lượng tối thiểu bằng bao nhiêu tấn sản phẩm để bắt đầu đạt điểm hòa vốn?

Câu 20:Mặt cắt ngang của một lòng mương dẫn nước có dạng parabol với phương trình $y = \frac{1}{4}x^2$ (đơn vị: mét), trong đó đáy mương là gốc tọa độ $O(0; 0)$. Khi mực nước trong mương dâng cao tới độ cao $h = 4\text{ m}$ so với đáy mương, bề rộng mặt nước trên miệng mương bằng bao nhiêu mét?

Câu 21:Một quả pháo hiệu được bắn lên từ mặt đất có quỹ đạo bay là một parabol có phương trình $y = -0{,}05x^2 + 4x$, trong đó $x$ là khoảng cách theo phương ngang tính từ vị trí bắn và $y$ là độ cao so với mặt đất (cả $x$ và $y$ tính bằng mét). Độ cao tối đa mà quả pháo hiệu đạt được so với mặt đất là bao nhiêu mét?

Câu 22:Đồ thị hàm số chi phí trung bình để sản xuất $x$ sản phẩm ($x > 0$) của một xưởng mộc là $\bar{C}(x) = x + 15 + \frac{400}{x}$ (nghìn đồng/sản phẩm). Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số này có tung độ bằng bao nhiêu (tương ứng với chi phí trung bình sản xuất mỗi sản phẩm thấp nhất)?

📝 VII. Bài tập tự luận rèn luyện tư duy (5 Bài lớn — 20 câu hỏi nhỏ)

📝 Bài tập tự luận Khảo sát & Đọc đồ thị hàm số (5 Bài lớn — 20 câu hỏi nhỏ)

Bài 1 (Khảo sát hàm bậc ba). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = -x^3 + 3x - 1$

b) $y = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$

💡Xem lời giải Bài 1

a) $y' = -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. CT $(-1; -3)$, CĐ $(1; 1)$. Tâm đối xứng $I(0; -1)$.

b) $y' = 3(x-1)^2 \ge 0, \forall x \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, không có cực trị. Điểm uốn $I(1; -1)$.

Bài 2 (Khảo sát hàm nhất biến). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

b) $y = \frac{1 - 2x}{x + 2}$

💡Xem lời giải Bài 2

a) TXĐ $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. $y' = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0 \Rightarrow$ nghịch biến. TCĐ $x = 1$, TCN $y = 1$. Tâm $I(1; 1)$.

b) TXĐ $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$. $y' = \frac{-5}{(x+2)^2} < 0 \Rightarrow$ nghịch biến. TCĐ $x = -2$, TCN $y = -2$. Tâm $I(-2; -2)$.

Bài 3 (Khảo sát hàm bậc 2 trên bậc 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$

b) $y = \frac{2x^2 + 3x - 2}{x + 2}$

💡Xem lời giải Bài 3

a) $y = x + \frac{1}{x-1}$. $y' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 2$. CĐ $(0; -1)$, CT $(2; 3)$. TCĐ $x = 1$, TCX $y = x$.

b) $y = \frac{(x+2)(2x-1)}{x+2} = 2x - 1$ (với $x \ne -2$). Đồ thị là đường thẳng có lỗ thủng tại $x = -2$.

Bài 4 (Bài toán sự tương giao bằng đồ thị). Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của các phương trình sau:

a) $-x^3 + 3x - 1 = m$

b) $\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = m$

💡Xem lời giải Bài 4

a) Dựa vào đồ thị $y = -x^3 + 3x - 1$: 3 nghiệm khi $-3 < m < 1$; 2 nghiệm khi $m = -3$ hoặc $m = 1$; 1 nghiệm khi $m < -3$ hoặc $m > 1$.

b) Dựa vào đồ thị $y = x + \frac{1}{x-1}$: 2 nghiệm khi $m < -1$ hoặc $m > 3$; 1 nghiệm khi $m = -1$ hoặc $m = 3$; vô nghiệm khi $-1 < m < 3$.

Bài 5 (Xác định hệ số a, b, c, d từ đồ thị). Cho đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Hãy xác định dấu của các hệ số $a, b, c, d$ biết đồ thị có nét cuối đi lên, cắt $Oy$ tại điểm phía trên $Ox$, có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục $Oy$.

💡Xem lời giải Bài 5

• Nét cuối đi lên $\Rightarrow a > 0$.

• Đồ thị cắt $Oy$ tại điểm có tung độ dương $\Rightarrow d = y(0) > 0$.

• Hai điểm cực trị nằm về 2 phía trục $Oy \Leftrightarrow$ phương trình $y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0$ có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow 3ac < 0 \Rightarrow c < 0$ (do $a > 0$).

• Kết luận: $a > 0, d > 0, c < 0$.

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Khảo sát đồ thị

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới