🛠️ Công cụ

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc 3, bậc 4 trùng phương và hàm phân thức cơ bản — Toán 12 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

I. Lý thuyết

Sơ đồ chung để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=f(x)y = f(x):

1. Khảo sát sự biến thiên

  • Tìm tập xác định của hàm số.
  • Xét sự biến thiên:
    • Tìm đạo hàm y′y', tìm các nghiệm của y′=0y' = 0 và các điểm tại đó y′y' không xác định.
    • Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn có chứa vô cực và tìm các đường tiệm cận (nếu có).
    • Lập bảng biến thiên.

2. Vẽ đồ thị

  • Xác định các cực trị, giao điểm với trục tung (x=0x=0), giao điểm với trục hoành (y=0y=0 - nếu dễ tìm).
  • Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).
  • Vẽ đồ thị: Nối các điểm lại theo dáng điệu trong bảng biến thiên. Lưu ý tính đối xứng (tâm đối xứng hoặc trục đối xứng).

🔷 Dạng 1: Hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+dy = ax^3 + bx^2 + cx + d (a≠0a \ne 0)

📌 Phương pháp giải

Đặc điểm:

  • Tập xác định: D=RD = \mathbb{R}.
  • Đồ thị luôn có một tâm đối xứng (điểm uốn).
  • Dáng điệu: Nếu y′=0y'=0 có 2 nghiệm ⇒\Rightarrow có 2 cực trị (hình chữ N). Nếu y′=0y'=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ⇒\Rightarrow không có cực trị.

💡 Công cụ khảo sát tương tác: Nhập hệ số a,b,c,da, b, c, d vào bên dưới để xem toàn bộ quá trình khảo sát hàm bậc ba từng bước — giống sách giáo khoa!

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Khảo sát hàm số y=x3−3x2+2y = x^3 - 3x^2 + 2.

💡 Xem lời giải
  • y′=3x2−6x=0⇔x=0;x=2y' = 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 2.
  • Cực đại (0;2)(0; 2), cực tiểu (2;−2)(2; -2).
  • lim⁡x→±∞y=±∞\lim_{x \to \pm\infty} y = \pm\infty.
  • Đồ thị tâm đối xứng tại trung điểm hai cực trị: I(1;0)I(1; 0).

Đồ thị hàm số tương tác (JSXGraph): Kéo điểm M trên đường cong để xem tọa độ, kéo hệ trục hoặc cuộn để thu phóng.

🔍 Ví dụ 2 (Trung bình)

Khảo sát hàm số y=−x3+3x−1y = -x^3 + 3x - 1.

💡 Xem lời giải
  • y′=−3x2+3=0⇔x=±1y' = -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.
  • Cực tiểu (−1;−3)(-1; -3), cực đại (1;1)(1; 1).
  • Hệ số a<0⇒a < 0 \Rightarrow Nhánh cuối đi xuống.

📝 Thực hành — Dạng 1

Đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có $a < 0$ và $y'=0$ vô nghiệm thì hàm số:
Đúng / SaiCho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 4$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $x = 2$
b)Điểm cực tiểu của đồ thị là $(2; 0)$
c)Tâm đối xứng của đồ thị là $I(1; 2)$
d)Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$
Tìm tung độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x$.

🔷 Dạng 2: Hàm số bậc bốn trùng phương y=ax4+bx2+cy = ax^4 + bx^2 + c (a≠0a \ne 0)

📌 Phương pháp giải

Đặc điểm:

  • Luôn nhận trục tung (OyOy) làm trục đối xứng.
  • Có 3 điểm cực trị khi ab<0ab < 0; 1 điểm cực trị khi ab≥0ab \ge 0.

💡 Công cụ khảo sát tương tác: Nhập hệ số a,b,ca, b, c vào bên dưới để khảo sát hàm số bậc bốn trùng phương từng bước.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Khảo sát hàm số y=x4−2x2+1y = x^4 - 2x^2 + 1.

💡 Xem lời giải
  • y′=4x3−4x=0⇔x=0;±1y' = 4x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0; \pm 1.
  • Cực đại (0;1)(0; 1), 2 cực tiểu (±1;0)(\pm 1; 0).
  • Đồ thị hình chữ W, tiếp xúc trục hoành tại ±1\pm 1.
🔍 Ví dụ 2 (Dễ)

Khảo sát hàm số y=−x4+2x2+3y = -x^4 + 2x^2 + 3.

💡 Xem lời giải
  • y′=−4x3+4x=0⇔x=0;±1y' = -4x^3 + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0; \pm 1.
  • Cực tiểu (0;3)(0; 3), 2 cực đại (±1;4)(\pm 1; 4).
  • Hình chữ M úp.

📝 Thực hành — Dạng 2

Đồ thị hàm số $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a > 0$) có 3 cực trị thì dáng điệu là:
Đúng / SaiHàm số $y = -x^4 - 2x^2 + 1$. Xét tính đúng sai:
a)Hàm số chỉ có duy nhất một điểm cực trị
b)Đồ thị có 3 điểm cực trị
c)Hàm số đạt GTLN bằng 1 tại $x = 0$
d)Hàm số luôn đồng biến trên $mathbb{R}$

🔷 Dạng 3: Hàm phân thức bậc 1 / bậc 1: y=ax+bcx+dy = \dfrac{ax+b}{cx+d}

📌 Phương pháp giải

Đặc điểm:

  • Luôn đơn điệu (chỉ đồng biến hoặc chỉ nghịch biến) trên từng khoảng xác định.
  • Không bao giờ có cực trị.
  • Có 2 đường tiệm cận: Đứng x=−dcx = -\dfrac{d}{c} và Ngang y=acy = \dfrac{a}{c}.
  • Giao điểm 2 tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

💡 Công cụ khảo sát tương tác: Nhập hệ số a,b,c,da, b, c, d vào bên dưới để khảo sát hàm phân thức nhất biến từng bước.

🔍 Ví dụ 1 (Dễ)

Khảo sát hàm số y=x+2x−1y = \dfrac{x + 2}{x - 1}.

💡 Xem lời giải
  • TXĐ: D=R∖{1}D = \mathbb{R} \setminus \{1\}.
  • y′=−3(x−1)2<0,∀x≠1⇒y' = \dfrac{-3}{(x-1)^2} < 0, \forall x \neq 1 \Rightarrow hàm số nghịch biến trên (−∞;1)(-\infty; 1) và (1;+∞)(1; +\infty).
  • Giới hạn & Tiệm cận: lim⁡x→±∞y=1⇒y=1\lim_{x\to \pm\infty} y = 1 \Rightarrow y = 1 là TCN. lim⁡x→1±y=±∞⇒x=1\lim_{x\to 1^\pm} y = \pm\infty \Rightarrow x = 1 là TCĐ.
  • Đồ thị qua (0;−2),(−2;0)(0; -2), (-2; 0).

📝 Thực hành — Dạng 3

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x + 1}$ là:

🔷 Dạng 4: Hàm phân thức bậc 2 / bậc 1: y=ax2+bx+cpx+qy = \dfrac{ax^2+bx+c}{px+q}

📌 Phương pháp giải

Đặc điểm:

  • Có tiệm cận đứng x=−qpx = -\dfrac{q}{p}.
  • Có tiệm cận xiên y=apx+…y = \dfrac{a}{p}x + \dots (thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu).
  • Đồ thị nhánh thường có hình dáng gồm 2 nhánh phân biệt ngăn cách bởi đường tiệm cận đứng, có thể có 2 điểm cực trị.

💡 Công cụ khảo sát tương tác: Nhập hệ số a,b,c,m,na, b, c, m, n vào bên dưới để khảo sát hàm phân thức bậc 2 / bậc 1 từng bước.

🔍 Ví dụ 2 (Trung bình)

Khảo sát hàm số y=x2−2x+2x−1y = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}.

💡 Xem lời giải
  • TXĐ: D=R∖{1}D = \mathbb{R} \setminus \{1\}.
  • Rút gọn (chia tử cho mẫu): y=x−1+1x−1y = x - 1 + \dfrac{1}{x-1}.
  • Đạo hàm: y′=1−1(x−1)2=(x−1)2−1(x−1)2=x2−2x(x−1)2y' = 1 - \dfrac{1}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-1)^2 - 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}.
  • y′=0⇔x=0y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 hoặc x=2x = 2.
  • Tiệm cận đứng x=1x=1, tiệm cận xiên y=x−1y = x - 1.
  • Cực đại tại (0;−2)(0; -2), cực tiểu tại (2;2)(2; 2).

📝 Thực hành — Dạng 4

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 2}$.
📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y=−x3+3x2−4y = -x^3 + 3x^2 - 4 b) y=x4−4x2+5y = x^4 - 4x^2 + 5 c) y=x−3x+1y = \dfrac{x - 3}{x + 1}

Câu 2. Xác định các hệ số a,b,ca, b, c của hàm số y=ax4+bx2+cy = ax^4 + bx^2 + c biết đồ thị đi qua điểm A(0;3)A(0; 3) và có cực tiểu tại B(1;2)B(1; 2).

Câu 3. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y=2x+1x+1y = \dfrac{2x + 1}{x + 1} luôn nằm phía dưới tiệm cận ngang khi x>−1x > -1.

Câu 4. Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba y=x3−3x2+1y = x^3 - 3x^2 + 1.

Câu 5. (Ứng dụng) Một kỹ sư thiết kế một con đường có hình dạng đồ thị hàm số bậc ba từ điểm A(−1;−1)A(-1; -1) đến B(1;1)B(1; 1), biết tại AA và BB con đường song song với trục hoành. Tìm hàm số đó.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm →
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục