Ôn tập Chương VII: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương (VTCP) $\vec{u}=(a; b)$ và Vectơ pháp tuyến (VPT) $\vec{n}=(b; -a)$ .
Phương trình tham số: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$ (đi qua $M_0(x_0; y_0)$ có VTCP $\vec{u}$ ).
Phương trình tổng quát: $ax + by + c = 0$ (có VPT $\vec{n}=(a; b)$ ).
Khoảng cách từ $M(x_M; y_M)$ đến đường thẳng $\Delta$ : $d(M, \Delta) = \frac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ .

⚡ 2. Phương trình đường tròn

Dạng chính tắc: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ (tâm $I(a; b)$ , bán kính $R$ ).
Dạng tổng quát: $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ (với $a^2 + b^2 - c > 0$ ).
Tiếp tuyến tại điểm $M_0(x_0; y_0) \in (C)$ : $(x_0-a)(x-x_0) + (y_0-b)(y-y_0) = 0$ .

⚡ 3. Ba đường Conic

Elíp (E): $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ( $a > b > 0$ ). Cự từ $c^2 = a^2 - b^2$ . Tiêu điểm $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$ .
Hypebol (H): $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ( $a, b > 0$ ). Cự từ $c^2 = a^2 + b^2$ .
Parabol (P): $y^2 = 2px$ ( $p > 0$ ). Tiêu điểm $F(p/2, 0)$ , đường chuẩn $x = -p/2$ .

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Kỹ năng trọng tâm:

Lập phương trình đường thẳng: Phải xác định được 1 điểm và 1 vectơ (chỉ phương hoặc pháp tuyến).
Tương quan vị trí: Giải hệ phương trình tọa độ.
Elíp: Nhớ mối liên hệ $a, b, c$ ( $a$ lớn nhất) để tìm tiêu điểm và các đỉnh.

🔍 Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(1; 2)$ và $B(3; 5)$ .

💡 Xem lời giải

VTCP $\overrightarrow{AB} = (3-1; 5-2) = (2; 3)$ .
Suy ra VPT $\vec{n} = (3; -2)$ .
Phương trình $\Delta$ : $3(x-1) - 2(y-2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 3 - 2y + 4 = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y + 1 = 0$ .

🔍 Ví dụ 2: Khoảng cách và góc

Tính khoảng cách từ điểm $M(2; 4)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x + 4y - 12 = 0$ .

💡 Xem lời giải

Áp dụng công thức: $d(M, \Delta) = \frac{|3(2) + 4(4) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 16 - 12|}{5} = \frac{10}{5} = 2$ .

🔍 Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn

Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; -2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: x - y + 1 = 0$ .

💡 Xem lời giải

Bán kính $R$ bằng khoảng cách từ tâm $I$ đến tiếp tuyến $\Delta$ : $R = d(I, \Delta) = \frac{|1 - (-2) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ . Phương trình đường tròn: $(x-1)^2 + (y+2)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ .

🔍 Ví dụ 4: Xác định các yếu tố của Elíp

Cho elíp $(E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ . Tìm tiêu điểm và tiêu cự.

💡 Xem lời giải

Từ phương trình ta có $a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$ và $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$ . Ta có $c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4$ .

Tiêu điểm: $F_1(-4; 0)$ và $F_2(4; 0)$ .
Tiêu cự: $F_1F_2 = 2c = 8$ .

🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Trao đổi tín hiệu vệ tinh

Một trạm phát tín hiệu (đặt tại gốc tọa độ O) có bán kính phủ sóng là 10km. Một con tàu đang di chuyển trên đường thẳng $\Delta: 3x + 4y - 60 = 0$ . a) Con tàu có đi vào vùng phủ sóng của trạm không? b) Tìm khoảng cách ngắn nhất từ con tàu đến trạm phát.

💡 Xem lời giải

a) Khoảng cách ngắn nhất từ tàu đến trạm là khoảng cách từ $O(0,0)$ đến đường thẳng $\Delta$ : $d(O, \Delta) = \frac{|3(0) + 4(0) - 60|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{60}{5} = 12$ km. b) Vì $d(O, \Delta) = 12 > 10$ (bán kính phủ sóng), con tàu không bao giờ đi vào vùng phủ sóng. Khoảng cách ngắn nhất là 12 km.

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $2x - 3y + 5 = 0$ là:

Câu 2:Phương trình tham số của đường thẳng qua $M(1; 2)$ và có VTCP $\vec{u}=(3; 4)$ là:

Câu 3:Tâm và bán kính của đường tròn $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$ là:

Câu 4:Tiêu cự của Elíp $\\frac{x^2}{16} + \\frac{y^2}{7} = 1$ bằng:

Câu 5:Khoảng cách từ điểm $O(0; 0)$ đến đường thẳng $x - y + 4 = 0$ là:

Câu 6:Đường chuẩn của parabol $y^2 = 4x$ là:

Đúng / Sai

Câu 7Cho hai đường thẳng $d_1: x + y - 1 = 0$ và $d_2: x - y + 3 = 0$. Đúng hay sai?

a)Hai đường thẳng vuông góc với nhau.

b)Giao điểm của hai đường thẳng là $I(-1; 2)$.

c)Góc giữa hai đường thẳng bằng $45^circ$.

d)Điểm O(0,0) cách đều hai đường thẳng.

Đúng / Sai

Câu 8Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Đúng hay sai?

a)Tâm của đường tròn là $I(2; -3)$.

b)Bán kính đường tròn $R = 5$.

c)Điểm $A(2; 2)$ nằm trên đường tròn.

d)Đường thẳng qua tâm I và gốc tọa độ có phương trình $3x + 2y = 0$.

Câu 9:Tính góc (độ) giữa hai đường thẳng $x = 0$ và $y = 0$.

Câu 10:Cho Elíp có độ dài trục lớn bằng 10, trục nhỏ bằng 6. Tính tiêu cự.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ trong các trường hợp sau: a) Đi qua $A(2; -1)$ và có VPT $\vec{n}=(3; 4)$ . b) Đi qua $B(1; 3)$ và song song với đường thẳng $d: 2x - y + 5 = 0$ . c) Đi qua $C(4; 5)$ và vuông góc với đường thẳng $d: x + 3y - 1 = 0$ . d) Đi qua hai điểm $M(0; 2)$ và $N(3; 0)$ .

💡 Đáp án

a) $3x + 4y - 2 = 0$ . b) $2x - y + 1 = 0$ . c) $3x - y - 7 = 0$ . d) $2x + 3y - 6 = 0$ .

Câu 2. Cho tam giác $ABC$ với $A(1; 1), B(5; 3), C(3; 7)$ . a) Viết phương trình các cạnh của tam giác. b) Viết phương trình đường cao $AH$ . c) Tính diện tích tam giác $ABC$ . d) Tính khoảng cách từ trọng tâm $G$ đến cạnh $BC$ .

💡 Đáp án

a) $AB: x-2y+1=0, BC: 2x+y-13=0, AC: 3x-y-2=0$ . b) $AH$ : Qua A, VPT là $\overrightarrow{BC}=(-2; 4) \Rightarrow x-2y+1=0$ . c) $S = 6$ . d) $G(3; 11/3) \Rightarrow d \approx 1,47$ .

Câu 3. Cho đường thẳng $d: 3x - 4y + 2 = 0$ và điểm $A(1; -2)$ . a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên $d$ . b) Tìm tọa độ điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua $d$ . c) Viết phương trình đường thẳng qua $A$ và tạo với $d$ một góc $45^\circ$ . d) Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $AM = 5$ .

💡 Đáp án

a) $H(-1/5; 7/20)$ . b) $A'(-1,4, 1,2)$ . c) Hai đường thẳng: $7x - y - 9 = 0$ và $x + 7y + 13 = 0$ . d) Giải hệ $\Rightarrow M_1(2, 2), M_2(-2, -1)$ .

Câu 4. (Thực tế - Giao thông) Hai con đường thẳng được biểu diễn bởi $d_1: x - 2y + 4 = 0$ và $d_2: 2x + y - 2 = 0$ . a) Tìm vị trí ngã tư (giao điểm). b) Tính góc giữa hai con đường. c) Người ta muốn đặt một trạm cảnh sát cách đều hai con đường. Tìm tập hợp các điểm đặt trạm (đường phân giác). d) Một chiếc xe di chuyển trên $d_1$ , tại vị trí nào thì cách $d_2$ một khoảng 3km?

💡 Đáp án

a) $I(0, 2)$ . b) $90^\circ$ . c) $(\sqrt{5} \pm 2\sqrt{5})\dots \Rightarrow 3x - y + 2 = 0$ và $x + 3y - 6 = 0$ . d) $M(2, 3)$ hoặc $M(-6, -1)$ .

Câu 5. Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ . a) Tìm tâm và bán kính. b) Chứng minh điểm $M(4; 2)$ nằm trên đường tròn. c) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ . d) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $3x + 4y + 1 = 0$ .

💡 Đáp án

a) $I(1, -2), R=5$ . b) Thay tọa độ $\Rightarrow 0=0$ . c) $3x + 4y - 20 = 0$ . d) $3x + 4y + 20 = 0$ hoặc $3x + 4y - 30 = 0$ .

Câu 6. Viết phương trình đường tròn $(C)$ biết: a) Tâm $I(2; 3)$ và đi qua gốc tọa độ O. b) Nhận $AB$ làm đường kính với $A(1; 1), B(5; 5)$ . c) Có tâm thuộc đường thẳng $d: x - y = 0$ và đi qua $A(1; 2), B(3; 4)$ .

💡 Đáp án

a) $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 13$ . b) $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 8$ . c) $I(x, x)$ , $IA^2 = IB^2 \Rightarrow I(3, 3)$ . $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 5$ .

Câu 7. Cho elíp $(E): 9x^2 + 25y^2 = 225$ . a) Đưa về dạng chính tắc. b) Tìm độ dài các trục và tiêu cự. c) Tìm tọa độ các đỉnh và tiêu điểm. d) Tìm điểm $M$ trên $(E)$ sao cho hoành độ bằng 3.

💡 Đáp án

a) $x^2/25 + y^2/9 = 1$ . b) Trục lớn 10, trục nhỏ 6, tiêu cự 8. c) Đỉnh $(\pm 5, 0), (0, \pm 3)$ . Tiêu điểm $(\pm 4, 0)$ . d) $x=3 \Rightarrow y^2/9 = 16/25 \Rightarrow y = \pm 12/5$ .

Câu 8. (Thực tế - Vật lý) Quỹ đạo của một hành tinh là một đường Elíp nhận Mặt Trời làm một tiêu điểm. Biết khoảng cách gần nhất là 147 triệu km, xa nhất là 152 triệu km. a) Tính các thông số $a, c$ của quỹ đạo elíp. b) Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo elíp đó. c) Tính độ lệch tâm $e = c/a$ . d) Tính chiều dài trục nhỏ của quỹ đạo.

💡 Đáp án

a) $a-c=147, a+c=152 \Rightarrow a=149,5, c=2,5$ . b) $x^2/(149,5^2) + y^2/(149,48^2) = 1$ . c) $e \approx 0,0167$ . d) $2b \approx 298,96$ triệu km.

Câu 9. Cho parabol $(P): y^2 = 8x$ . a) Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn. b) Tìm tọa độ điểm $M$ trên $(P)$ biết khoảng cách từ $M$ đến tiêu điểm bằng 10. c) Chứng minh rằng với mọi $M \in (P)$ , $MF$ bằng khoảng cách từ $M$ đến đường chuẩn. d) Một đèn pha có gương phản xạ là mặt paraboloid. Đặt bóng đèn ở tiêu điểm thì tia sáng phản xạ sẽ thế nào?

💡 Đáp án

a) $F(2, 0), x = -2$ . b) $d(M, \Delta) = x_M + 2 = 10 \Rightarrow x_M = 8 \Rightarrow y_M = \pm 8$ . $M(8, \pm 8)$ . d) Các tia sáng phản xạ trở thành chùm tia song song với trục đối xứng.

Câu 10. (Tổng hợp) Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho đường tròn $(C): (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ và đường thẳng $d: x - y + m = 0$ . a) Tìm $m$ để $d$ tiếp xúc với $(C)$ . b) Tìm $m$ để $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ . c) Với $m = -1$ , tính độ dài dây cung $AB$ . d) Tìm $m$ để diện tích tam giác $IAB$ lớn nhất (với I là tâm đường tròn).

💡 Đáp án

a) $d(I, d) = 2 \Rightarrow m = 1 \pm 2\\sqrt{2}$ . b) $1-2\\sqrt{2} < m < 1+2\\sqrt{2}$ . c) $d(I, d) = \\sqrt{2} \Rightarrow R^2 = d^2 + (h/2)^2 \Rightarrow 4 = 2 + (h/2)^2 \Rightarrow h = 2\\sqrt{2}$ . d) $S_{max}$ khi $IA \perp IB \Rightarrow d = R/\\sqrt{2} = \\sqrt{2} \Rightarrow m = 1 \pm 2$ .

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm

Ôn tập Chương 7 - Toán 10

Ôn tập Chương VII: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

II. Dạng toán tổng hợp

III. Trắc nghiệm ôn tập

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

Luyện tập trắc nghiệm