Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

• Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $x_1 = 152.5$, $x_2 = 157.5$, $x_3 = 162.5$, $x_4 = 167.5$.

• Tổng cỡ mẫu $n = 5 + 15 + 12 + 8 = 40$.

• Chiều cao trung bình:

$$\bar{x} = \dfrac{5(152.5) + 15(157.5) + 12(162.5) + 8(167.5)}{40} = \dfrac{762.5 + 2362.5 + 1950 + 1340}{40} = \dfrac{6415}{40} = 160.375 \text{ cm}$$

Giá trị đại diện nhóm 2 tăng từ $157.5$ lên $159.5$ (tăng 2 cm).

Số trung bình mới tăng thêm $\dfrac{15 \times 2}{40} = \dfrac{30}{40} = 0.75 \text{ cm}$.

$x_1 = 5, x_2 = 15$. $\bar{x} = \dfrac{10(5) + 30(15)}{40} = \dfrac{50 + 450}{40} = 12.5$.

$\bar{x} = \dfrac{2(10) + 5(20) + 3(30)}{10} = \dfrac{20 + 100 + 90}{10} = 21$.

• $n = 40 \Rightarrow \dfrac{n}{2} = 20$.

• Tần số tích lũy: $cf_1 = 5, cf_2 = 20, cf_3 = 32, cf_4 = 40$.

Nhóm đầu tiên có $cf_p \ge 20$ là nhóm 2 $[155; 160)$. Do đó $p = 2$, $a_2 = 155$, $m_2 = 15$, $cf_1 = 5$, độ dài $h = 5$.

Áp dụng công thức:

$$M_e = 155 + \dfrac{20 - 5}{15} \cdot 5 = 155 + \dfrac{15}{15} \cdot 5 = 160 \text{ cm}$$

• $\dfrac{n}{4} = 10$. Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm 2 $[155; 160)$ (vì $cf_2 = 20 \ge 10$).

$$Q_1 = 155 + \dfrac{10 - 5}{15} \cdot 5 = 155 + \dfrac{5}{3} \approx 156.67 \text{ cm}$$

• $\dfrac{3n}{4} = 30$. Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm 3 $[160; 165)$ (vì $cf_3 = 32 \ge 30$).

$$Q_3 = 160 + \dfrac{30 - 20}{12} \cdot 5 = 160 + \dfrac{50}{12} \approx 164.17 \text{ cm}$$

$\dfrac{n}{2} = 20 \Rightarrow cf_2 = 30 \ge 20 \Rightarrow$ Nhóm 2 $[4; 8)$.

$M_e = 4 + \dfrac{20 - 10}{20} \cdot 4 = 4 + 2 = 6$.

$\dfrac{n}{4} = 10 \Rightarrow cf_1 = 10 \ge 10 \Rightarrow$ Nhóm 1 $[0; 4)$.

$Q_1 = 0 + \dfrac{10 - 0}{10} \cdot 4 = 4$.

• Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm 2 $[155; 160)$ với tần số $m_2 = 15$.

• Ta có: $a_2 = 155$, $m_1 = 5$, $m_3 = 12$, độ dài $h = 5$.

$$\Delta_1 = m_2 - m_1 = 15 - 5 = 10$$ $$\Delta_2 = m_2 - m_3 = 15 - 12 = 3$$ $$M_o = 155 + \dfrac{10}{10 + 3} \cdot 5 = 155 + \dfrac{50}{13} \approx 158.85 \text{ cm}$$

• Không có mốt khi tất cả các nhóm có tần số bằng nhau.

• Có nhiều mốt khi có từ 2 nhóm trở lên cùng có tần số đạt giá trị lớn nhất.

Nhóm chứa mốt $[20; 30)$ có $m_2 = 10$. $\Delta_1 = 10 - 4 = 6$, $\Delta_2 = 10 - 6 = 4$.

$M_o = 20 + \dfrac{6}{6+4} \cdot 10 = 20 + 6 = 26$.

Mốt đại diện cho giá trị xuất hiện nhiều nhất (xu thế phổ biến nhất) trong mẫu số liệu.

Mức lương 2 giám đốc ($50-100$ triệu) là giá trị bất thường kéo số trung bình lên cao (khoảng $15.8$ triệu), không phản ánh đúng đại đa số nhân viên.

Do đó nên sử dụng Trung vị $M_e$ để đại diện cho mức lương của công ty.

Chủ cửa hàng nên quan tâm nhất đến Mốt $M_o$ vì mốt chỉ ra cỡ giày bán chạy nhất để nhập số lượng nhiều hơn.

Số trung bình $\bar{x}$ thường được ưu tiên nhất.

Đo độ phân tán của $50\%$ số liệu nằm ở giữa mẫu.