🛠️ Công cụ

Bài 29: Công thức cộng xác suất

Lý thuyết chi tiết và bài tập có lời giải Bài 29: Công thức cộng xác suất — SGK Toán 11 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết✍️ Dạng toán & bài tập🎯 Trắc nghiệm

I. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

📌 Định lí Công thức cộng cho hai biến cố xung khắc

Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc ($A \cap B = \emptyset$) thì:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Mở rộng: Nếu $A_1, A_2, \dots, A_k$ đôi một xung khắc thì:

$$P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_k)$$

II. Công thức cộng xác suất tổng quát

⚡ Định lí Công thức cộng xác suất tổng quát

Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì. Ta có:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

🔷 Dạng 1: Công thức cộng hai biến cố xung khắc

📌 Phương pháp giải
  1. Phân tích biến cố cần tính thành hợp của các biến cố xung khắc $A_1, A_2...$.
  2. Tính $P(A_i)$ của từng biến cố thành phần rồi cộng lại.
🔍 Ví dụ 1

Một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Tính xác suất lấy được viên bi màu đỏ hoặc xanh.

💡 Xem lời giải

• Tổng số bi là $5 + 3 + 2 = 10$.

• Gọi $A$: "Lấy bi đỏ" $\Rightarrow P(A) = \dfrac{5}{10} = 0.5$.

• Gọi $B$: "Lấy bi xanh" $\Rightarrow P(B) = \dfrac{3}{10} = 0.3$.

• Do $A$ và $B$ xung khắc $\Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.3 = 0.8$.

🔍 Ví dụ 2

Gieo súc sắc 6 mặt. Tính xác suất xuất hiện mặt 1 chấm hoặc 6 chấm.

💡 Xem lời giải

• $P(\text{mặt 1}) = 1/6$, $P(\text{mặt 6}) = 1/6$.

• Hai biến cố xung khắc $\Rightarrow P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Một lớp gồm 20 nam và 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh làm lớp trưởng. Tính xác suất chọn được 1 nam hoặc 1 nữ.

💡 Xem lời giải

$P = 20/35 + 15/35 = 1$ (biến cố chắc chắn).

✏️ Bài tập 1.2

Cho $A, B$ xung khắc có $P(A) = 0.25, P(B) = 0.45$. Tính $P(A \cup B)$.

💡 Xem lời giải

$P(A \cup B) = 0.25 + 0.45 = 0.70$.

🔷 Dạng 2: Công thức cộng xác suất tổng quát

📌 Phương pháp giải

Áp dụng $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ khi hai biến cố $A$ và $B$ không xung khắc.

🔍 Ví dụ 1

Rút ngẫu nhiên 1 lá bài từ bộ 52 lá. Tính xác suất rút được lá bài màu đỏ hoặc là lá Át.

💡 Xem lời giải

• $A$: "Bài đỏ" $\Rightarrow P(A) = 26/52 = 1/2$.

• $B$: "Bài Át" $\Rightarrow P(B) = 4/52 = 1/13$.

• $A \cap B$: "Bài Át màu đỏ" (2 lá) $\Rightarrow P(AB) = 2/52 = 1/26$.

• $P(A \cup B) = \dfrac{26}{52} + \dfrac{4}{52} - \dfrac{2}{52} = \dfrac{28}{52} = \dfrac{7}{13}$.

🔍 Ví dụ 2

Cho $P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(AB) = 0.3$. Tính $P(A \cup B)$.

💡 Xem lời giải

$P(A \cup B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Trong lớp học có $60\%$ học sinh giỏi Toán, $50\%$ học sinh giỏi Văn, $30\%$ giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất chọn được học sinh giỏi Toán hoặc Văn.

💡 Xem lời giải

$P = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8 = 80\%$.

✏️ Bài tập 2.2

Cho $P(A) = 0.5, P(B) = 0.4$ và $P(A \cup B) = 0.7$. Tính $P(AB)$.

💡 Xem lời giải

$P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.7 = 0.2$.

🔷 Dạng 3: Sử dụng biến cố đối $P(ar{A}) = 1 - P(A)$

📌 Phương pháp giải

Khi bài toán yêu cầu tính xác suất của biến cố "có ít nhất một...", ta nên tính xác suất của biến cố đối "không có cái nào..." rồi lấy $1 - P(\bar{A})$.

🔍 Ví dụ 1

Gieo 1 con súc sắc 2 lần. Tính xác suất để có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm.

💡 Xem lời giải

• Xét biến cố đối $\bar{A}$: "Cả 2 lần đều không xuất hiện mặt 6 chấm".

• Mỗi lần gieo có 5 mặt không phải 6 chấm $\Rightarrow P(\bar{A}) = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}$.

• Xác suất biến cố $A$: $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$.

🔍 Ví dụ 2

Cho $P(A) = 0.35$. Tính xác suất của biến cố đối $\bar{A}$.

💡 Xem lời giải

$P(\bar{A}) = 1 - 0.35 = 0.65$.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Bắn 3 viên đạn độc lập, xác suất trúng từng viên là $0.8$. Tính xác suất có ít nhất 1 viên trúng mục tiêu.

💡 Xem lời giải

Biến cố đối: 3 viên đều trượt $\Rightarrow P(\bar{A}) = 0.2^3 = 0.008 \Rightarrow P(A) = 1 - 0.008 = 0.992$.

✏️ Bài tập 3.2

Gieo 3 đồng xu. Tính xác suất có ít nhất 1 đồng ngửa.

💡 Xem lời giải

Biến cố đối: Cả 3 sấp $\Rightarrow P(\bar{A}) = 1/8 \Rightarrow P(A) = 1 - 1/8 = 7/8$.

🔷 Dạng 4: Bài toán chọn ngẫu nhiên & tổ hợp

📌 Phương pháp giải

Dùng công thức tổ hợp $C_n^k$ để tính số phần tử của không gian mẫu và các biến cố thành phần.

🔍 Ví dụ 1

Một tổ gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất chọn được 3 học sinh cùng giới tính (hoặc cùng nam hoặc cùng nữ).

💡 Xem lời giải

• $n(\Omega) = C_{10}^3 = 120$.

• Gọi $A$: "3 nam" $\Rightarrow n(A) = C_6^3 = 20$.

• Gọi $B$: "3 nữ" $\Rightarrow n(B) = C_4^3 = 4$.

• Do $A$ và $B$ xung khắc $\Rightarrow n(A \cup B) = 20 + 4 = 24$.

• $P(A \cup B) = \dfrac{24}{120} = \dfrac{1}{5} = 0.2$.

🔍 Ví dụ 2

Chọn 2 sản phẩm từ lô hàng 8 tốt, 2 xấu. Tính xác suất chọn được ít nhất 1 sản phẩm tốt.

💡 Xem lời giải

Biến cố đối: Cả 2 sản phẩm đều xấu $\Rightarrow n(\bar{A}) = C_2^2 = 1$. $n(\Omega) = C_{10}^2 = 45 \Rightarrow P(\bar{A}) = 1/45 \Rightarrow P(A) = 44/45$.

📝 Thực hành — Dạng 4

✏️ Bài tập 4.1

Hộp có 5 bi đỏ, 5 bi xanh. Chọn 2 bi. Tính xác suất 2 bi cùng màu.

💡 Xem lời giải

$n(\Omega) = C_{10}^2 = 45$. 2 bi đỏ $= C_5^2 = 10$, 2 bi xanh $= C_5^2 = 10 \Rightarrow P = (10 + 10)/45 = 20/45 = 4/9$.

✏️ Bài tập 4.2

Một đề thi có 10 câu dễ và 5 câu khó. Chọn ngẫu nhiên 3 câu. Tính xác suất chọn được ít nhất 1 câu dễ.

💡 Xem lời giải

Biến cố đối: Cả 3 câu khó $= C_5^3 = 10$. $n(\Omega) = C_{15}^3 = 455 \Rightarrow P = 1 - 10/455 = 89/91$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Công thức cộng xác suất (10 bài)

Bài 1. Phát biểu công thức cộng xác suất cho 2 biến cố xung khắc.

💡 Xem lời giải

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Bài 2. Phát biểu công thức cộng xác suất tổng quát.

💡 Xem lời giải

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$.

Bài 3. Cho $P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, P(AB) = 0.1$. Tính $P(A \cup B)$.

💡 Xem lời giải

$0.3 + 0.4 - 0.1 = 0.6$.

Bài 4. Cho $A, B$ xung khắc, $P(A) = 0.2, P(B) = 0.5$. Tính $P(A \cup B)$.

💡 Xem lời giải

$0.2 + 0.5 = 0.7$.

Bài 5. Nêu mối quan hệ $P(A)$ và $P(\bar{A})$.

💡 Xem lời giải

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

Bài 6. Gieo 1 con súc sắc. Tính xác suất được mặt chẵn hoặc mặt 5 chấm.

💡 Xem lời giải

Mặt chẵn $\{2, 4, 6\}$, mặt 5 $\{5\} \Rightarrow 4$ mặt $\Rightarrow P = 4/6 = 2/3$.

Bài 7. Chọn 1 số từ 1 đến 10. Tính xác suất chọn được số chẵn hoặc số nhỏ hơn 4.

💡 Xem lời giải

Chẵn $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ (5 số). Nhỏ hơn 4 $\{1, 2, 3\}$ (3 số). Cả hai $\{2\}$ (1 số). $P = 5/10 + 3/10 - 1/10 = 7/10$.

Bài 8. Gieo 2 đồng xu. Tính xác suất ít nhất 1 đồng ngửa.

💡 Xem lời giải

$1 - P(SS) = 1 - 1/4 = 3/4$.

Bài 9. Hộp có 4 bi đỏ, 6 bi xanh. Chọn 2 bi. Tính xác suất 2 bi khác màu.

💡 Xem lời giải

$C_4^1 C_6^1 / C_{10}^2 = 24 / 45 = 8/15$.

Bài 10. Nếu $P(A) = 0.8$ thì $P(\bar{A})$ bằng bao nhiêu?

💡 Xem lời giải

$1 - 0.8 = 0.2$.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Công thức cộng xác suất. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

Câu 1:Nếu hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc thì công thức cộng xác suất $P(A \cup B)$ là:
Câu 2:Cho hai biến cố bất kì $A$ và $B$. Công thức cộng xác suất tổng quát là:
Câu 3:Cho $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.5$, $P(A \cap B) = 0.2$. Tính $P(A \cup B)$.
Câu 4:Cho $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc với $P(A) = 0.3, P(B) = 0.4$. Tính $P(A \cup B)$.
Câu 5:Mối quan hệ giữa xác suất của biến cố $A$ và biến cố đối $\bar{A}$ là:
🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Công thức cộng xác suất

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Mở trong tab mới