🛠️ Công cụ

Ôn tập Chương 5 - Toán 11

Ôn tập Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục - Toán 11 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

Ôn tập Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

⚡ 1. Giới hạn của dãy số
  • Định nghĩa: lim⁡n→∞un=L\lim_{n \rightarrow \infty} u_n = L nếu ∣un−L∣|u_n - L| có thể nhỏ tùy ý khi nn đủ lớn.
  • Giới hạn đặc biệt: lim⁡1nk=0\lim \frac{1}{n^k} = 0; lim⁡qn=0\lim q^n = 0 (∣q∣<1|q| < 1); lim⁡C=C\lim C = C.
  • Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S=u11−qS = \frac{u_1}{1 - q} (∣q∣<1|q| < 1).
⚡ 2. Giới hạn của hàm số
  • Giới hạn tại một điểm: lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L.
  • Giới hạn một bên: lim⁡x→x0+f(x)\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) và lim⁡x→x0−f(x)\lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x). Điều kiện tồn tại giới hạn: lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) tồn tại ⇔lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x).
  • Giới hạn tại vô cực: lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) và lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x).
⚡ 3. Các phép toán về giới hạn

Nếu lim⁡f(x)=L\lim f(x) = L và lim⁡g(x)=M\lim g(x) = M thì:

  • lim⁡[f(x)±g(x)]=L±M\lim [f(x) \pm g(x)] = L \pm M
  • lim⁡[f(x)⋅g(x)]=L⋅M\lim [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M
  • lim⁡f(x)g(x)=LM\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} (với M≠0M \neq 0)
  • lim⁡f(x)=L\lim \sqrt{f(x)} = \sqrt{L} (với L≥0L \geq 0)
⚡ 4. Hàm số liên tục
  • Tại một điểm: Hàm số y=f(x)y = f(x) liên tục tại x0⇔lim⁡x→x0f(x)=f(x0)x_0 \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0).
  • Trên một khoảng: Liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
  • Tính chất: Nếu f(x)f(x) liên tục trên [a;b][a; b] và f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0 thì phương trình f(x)=0f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b)(a; b).

II. Dạng toán tổng hợp

📌 Phương pháp giải

Chiến thuật tính giới hạn:

  1. Dạng ∞∞\frac{\infty}{\infty}: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của biến.
  2. Dạng 00\frac{0}{0}: Phân tích nhân tử để khử nhân tử chung gây ra 0/00/0 hoặc nhân liên hợp nếu có căn thức.
  3. Dạng ∞−∞\infty - \infty: Nhân liên hợp để đưa về dạng phân thức.
  4. Xét tính liên tục: Tính giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm số, sau đó so sánh.
🔍 Ví dụ 1: Giới hạn dãy số

Tính L=lim⁡2n2−3n+1n2+5L = \lim \frac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 5}.

💡 Xem lời giải

Chia cả tử và mẫu cho n2n^2: L=lim⁡2−3n+1n21+5n2=2−0+01+0=2L = \lim \frac{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^2}} = \frac{2 - 0 + 0}{1 + 0} = 2.

🔍 Ví dụ 2: Giới hạn hàm số dạng 0/0

Tính I=lim⁡x→2x2−4x−2I = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}.

💡 Xem lời giải

Ta có: I=lim⁡x→2(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→2(x+2)=2+2=4I = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2} (x+2) = 2 + 2 = 4.

🔍 Ví dụ 3: Giới hạn có căn thức (Nhân liên hợp)

Tính J=lim⁡x→1x+3−2x−1J = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1}.

💡 Xem lời giải

Nhân tử và mẫu với liên hợp của tử số: J=lim⁡x→1(x+3−2)(x+3+2)(x−1)(x+3+2)=lim⁡x→1x+3−4(x−1)(x+3+2)J = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x+3-4}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} J=lim⁡x→1x−1(x−1)(x+3+2)=lim⁡x→11x+3+2=12+2=14J = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}.

🔍 Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số

Cho hàm số f(x)={x2−1x−1neˆˊu x≠1mneˆˊu x=1f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1} & \text{nếu } x \neq 1 \\ m & \text{nếu } x = 1 \end{cases}. Tìm mm để hàm số liên tục tại x=1x = 1.

💡 Xem lời giải
  • Giá trị hàm: f(1)=mf(1) = m.
  • Giới hạn: lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1(x−1)(x+1)x−1=lim⁡x→1(x+1)=2\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} (x+1) = 2. Hàm số liên tục tại x=1x = 1 khi lim⁡x→1f(x)=f(1)⇔m=2\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow m = 2.
🔍 Ví dụ 5: Bài toán thực tế — Nồng độ thuốc

Nồng độ một loại thuốc trong máu (mg/L) sau tt giờ được tính bởi C(t)=2tt2+1C(t) = \frac{2t}{t^2 + 1}. a) Nồng độ thuốc thay đổi thế nào sau 1 giờ và 10 giờ? b) Khi thời gian tt tiến tới vô cùng, nồng độ thuốc sẽ như thế nào?

💡 Xem lời giải

a) C(1)=21+1=1C(1) = \frac{2}{1+1} = 1 mg/L. C(10)=20100+1=20101≈0,198C(10) = \frac{20}{100+1} = \frac{20}{101} \approx 0{,}198 mg/L. b) Ta tính giới hạn tại vô cực: lim⁡t→+∞C(t)=lim⁡t→+∞2tt2+1\lim_{t \rightarrow +\infty} C(t) = \lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{2t}{t^2 + 1}. Chia tử và mẫu cho t2t^2: lim⁡t→+∞2/t1+1/t2=01=0\lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{2/t}{1 + 1/t^2} = \frac{0}{1} = 0. Vậy khi t→+∞t \rightarrow +\infty, nồng độ thuốc trong máu tiến dần về 0 (thuốc được đào thải hết).

III. Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1:Giá trị của $\lim \\frac{1}{n}$ bằng:
Câu 2:Tính giới hạn $L = \lim \\frac{3n - 1}{n + 2}$.
Câu 3:Tính $\lim_{x \rightarrow 1} (x^2 + 2x - 3)$.
Câu 4:Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $1, 1/2, 1/4, \dots$ là:
Câu 5:Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0$ khi:
Câu 6:Giới hạn $\lim_{x \rightarrow +\\infty} \\frac{x^2 + 1}{x - 2}$ bằng:
Đúng / Sai
Câu 7Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)$lim |q|^n = 0$ nếu $|q| < 1$.
b)Mọi hàm đa thức đều liên tục trên $mathbb{R}$.
c)Nếu $lim_{x ightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$ thì hàm số đó có đạo hàm tại $x_0$.
d)Hàm số $y = an x$ liên tục trên $mathbb{R}$.
Đúng / Sai
Câu 8Cho hàm số $g(x) = \\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$. Đúng hay sai?
a)Tập xác định của hàm số là $[0; +\infty) setminus {4}$.
b)Hàm số gián đoạn tại $x = 4$.
c)Giới hạn $lim_{x ightarrow 4} g(x) = \frac{1}{4}$.
d)Có thể bổ sung giá trị $g(4) = 0$ để hàm số liên tục tại $x = 4$.
Câu 9:Tính giới hạn $\lim_{x \rightarrow 0} \\frac{\sin x}{x}$.
Câu 10:Tìm giá trị của $a$ để $\lim_{n \rightarrow \\infty} \\frac{an^2 + 1}{2n^2 + 3} = 5$.

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Danh sách bài tập tự luận

Câu 1. Tính giới hạn các dãy số sau: a) lim⁡n3−2n+12n3+5n2\lim \frac{n^3 - 2n + 1}{2n^3 + 5n^2} b) lim⁡(n2+2n−n)\lim (\sqrt{n^2 + 2n} - n) c) lim⁡3n−4n3n+4n\lim \frac{3^n - 4^n}{3^n + 4^n} d) lim⁡1+2+⋯+nn2\lim \frac{1 + 2 + \dots + n}{n^2}

💡 Đáp án

a) 1/2. b) 2nn2+2n+n→1\frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n} \rightarrow 1. c) -1. d) n(n+1)2n2→1/2\frac{n(n+1)}{2n^2} \rightarrow 1/2.

Câu 2. Tính giới hạn các hàm số sau: a) lim⁡x→2x2−5x+6x2−4\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} b) lim⁡x→01+x−1x\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} c) lim⁡x→3x2−92x+3−3\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2 - 9}{\sqrt{2x+3} - 3} d) lim⁡x→−∞2x−1x2+1\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{2x - 1}{\sqrt{x^2+1}}

💡 Đáp án

a) x−3x+2→−1/4\frac{x-3}{x+2} \rightarrow -1/4. b) 11+x+1→1/2\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} \rightarrow 1/2. c) (x−3)(x+3)(2x+3+3)2(x−3)=6⋅62=18\frac{(x-3)(x+3)(\sqrt{2x+3}+3)}{2(x-3)} = \frac{6 \cdot 6}{2} = 18. d) 2−1/x−1+1/x2→−2\frac{2 - 1/x}{-\sqrt{1 + 1/x^2}} \rightarrow -2.

Câu 3. Cho hàm số f(x)={x2+x−2x−1khi x>1ax+1khi x≤1f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+x-2}{x-1} & \text{khi } x > 1 \\ ax + 1 & \text{khi } x \leq 1 \end{cases}. a) Tính lim⁡x→1+f(x)\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x). b) Tính lim⁡x→1−f(x)\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) theo aa. c) Tìm aa để hàm số liên tục trên R\mathbb{R}. d) Với aa tìm được, hãy vẽ đồ thị hàm số (mô tả).

💡 Đáp án

a) lim⁡x→1+(x+2)=3\lim_{x \rightarrow 1^+} (x+2) = 3. b) a+1a+1. c) a+1=3⇒a=2a+1 = 3 \Rightarrow a = 2. d) Đồ thị là đường thẳng y=x+2y=x+2 với x>1x>1 and y=2x+1y=2x+1 với x≤1x \leq 1.

Câu 4. (Thực tế - Vật lý) Một quả bóng nảy lùi vô hạn. Lần đầu nảy cao 1m, mỗi lần sau độ cao bằng 1/2 lần trước. a) Tính tổng quãng đường quả bóng đã bay (tính cả lúc rơi xuống và nảy lên). b) Sau bao nhiêu lần nảy thì độ cao quả bóng nhỏ hơn 10−610^{-6} m? c) Nếu thay hệ số 1/2 bằng 1, điều gì xảy ra với giới hạn tổng quãng đường? d) Tại sao trong thực tế quả bóng lại dừng lại khi tổng lý thuyết là hữu hạn?

💡 Đáp án

a) S=1+2(1/2+1/4+… )=1+2(1)=3S = 1 + 2(1/2 + 1/4 + \dots) = 1 + 2(1) = 3m. b) (1/2)n<10−6⇒n>20(1/2)^n < 10^{-6} \Rightarrow n > 20. c) Tổng quãng đường tiến tới vô cùng. d) Do mất năng lượng and ma sát.

Câu 5. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0 trên khoảng (0;1)(0; 1). b) x5−3x2+1=0x^5 - 3x^2 + 1 = 0. c) acos⁡x+bsin⁡x=xa \cos x + b \sin x = x luôn có nghiệm với mọi a,ba, b. d) cos⁡x=x\cos x = x.

💡 Đáp án

a) f(0)=−1,f(1)=1f(0)=-1, f(1)=1. b) Xét tại ±∞\pm \infty. c) Hàm số f(x)=acos⁡x+bsin⁡x−xf(x) = a \cos x + b \sin x - x có tập giá trị bao phủ 0. d) f(0)=1,f(π/2)=−π/2f(0)=1, f(\pi/2)=-\pi/2.

Câu 6. (Thực tế - Kinh tế) Lợi nhuận của một công ty (tỷ đồng) sau tt năm được dự báo bởi P(t)=10−5t+1P(t) = 10 - \frac{5}{t+1}. a) Tìm lợi nhuận ban đầu (t=0t=0). b) Lợi nhuận sau 4 năm là bao nhiêu? c) Lợi nhuận của công ty “ổn định” ở mức nào khi tt rất lớn? d) Tại kỳ báo cáo năm thứ 100, con số thực tế có khác nhiều so với giới hạn không?

💡 Đáp án

a) 5 tỷ. b) 9 tỷ. c) 10 tỷ. d) Rất ít (P(100)=10−5/101≈9,95P(100) = 10 - 5/101 \approx 9,95).

Câu 7. Tìm các giới hạn một bên: a) lim⁡x→2+x+1x−2\lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{x+1}{x-2} b) lim⁡x→2−x+1x−2\lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{x+1}{x-2} c) lim⁡x→1+∣x−1∣x2−1\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{|x-1|}{x^2-1} d) lim⁡x→01xsin⁡x\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \sin x (Giới hạn tại 0).

💡 Đáp án

a) +∞+\infty. b) −∞-\infty. c) 1/(x+1)→1/21/(x+1) \rightarrow 1/2. d) 1.

Câu 8. Cho dãy số (un)(u_n) thỏa mãn ∣un−2∣<1n2|u_n - 2| < \frac{1}{n^2}. a) Chứng minh lim⁡un=2\lim u_n = 2. b) Tính lim⁡un+n2n+1\lim \frac{u_n + n}{2n + 1}. c) Tính lim⁡(un2−3)\lim (u_n^2 - 3). d) Tìm nn để unu_n nằm trong khoảng (1,99;2,01)(1,99; 2,01).

💡 Đáp án

a) Theo nguyên lý kẹp. b) 1/2. c) 4−3=14-3=1. d) 1/n2<0,01⇒n>101/n^2 < 0,01 \Rightarrow n > 10.

Câu 10. (Tổng hợp) Tính giới hạn phức tạp: a) lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} b) lim⁡x→01+x3−1x\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+x} - 1}{x} c) lim⁡x→∞(x2+x−x2−x)\lim_{x \rightarrow \infty} (\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2-x}) d) lim⁡x→π/4sin⁡x−cos⁡xx−π/4\lim_{x \rightarrow \pi/4} \frac{\sin x - \cos x}{x - \pi/4}

💡 Đáp án

a) 1/2. b) 1/3. c) 1. d) 2\sqrt{2}.

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục