🎯 Công cụ tương tác — Toán 10 Chương 8
Đại số tổ hợp
Quy tắc cộng · Quy tắc nhân · Hoán vị · Chỉnh hợp · Tổ hợp · Nhị thức Newton
Chọn chủ đề, nhập dữ liệu — kết quả và các bước tính hiển thị ngay lập tức theo chuẩn sách giáo khoa Kết nối tri thức.
Hai công việc không thể thực hiện đồng thời. Công việc 1 có m cách, công việc 2 có n cách. Tổng số cách = m + n.
📌Áp dụng quy tắc cộng: hai sự kiện loại trừ nhau.
📌Tổng số cách chọn = (cách)
📖 Lý thuyết tóm tắt
🔢 Quy tắc cộng & nhân
- Quy tắc cộng: Nếu công việc 1 có $m$ cách, công việc 2 có $n$ cách và hai công việc không thể xảy ra đồng thời thì có $m + n$ cách chọn.
- Quy tắc nhân: Nếu cần thực hiện tuần tự giai đoạn 1 ($m$ cách) và giai đoạn 2 ($n$ cách) thì có $m \times n$ cách thực hiện.
🔄 Hoán vị
- Hoán vị của $n$ phần tử phân biệt: số cách sắp xếp $n$ phần tử vào $n$ vị trí.
- $$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$$
- Quy ước: $0! = 1$.
📐 Chỉnh hợp
- Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ ($k \leq n$): chọn $k$ phần tử có thứ tự.
- $$A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)$$
- Đặc biệt: $A_n^n = n! = P_n$.
🎯 Tổ hợp
- Tổ hợp chập $k$ của $n$: chọn $k$ phần tử không quan tâm thứ tự.
- $$C_n^k = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} = \dfrac{A_n^k}{k!}$$
- Tính chất: $C_n^k = C_n^{n-k}$; $\; C_n^0 = C_n^n = 1$.
📊 Nhị thức Newton
- $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + \cdots + C_n^n b^n$$
- Số hạng tổng quát: $T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$ (số hạng thứ $k+1$).
- Tổng hệ số: $(1+1)^n = 2^n$. Hệ số các số hạng xen kẽ: $(1-1)^n = 0$.
- Các hệ số nhị thức tạo thành Tam giác Pascal: mỗi số bằng tổng hai số trên nó.
🔗 So sánh Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
| Khái niệm | Có thứ tự? | Lấy bao nhiêu? | Công thức |
|---|---|---|---|
| Hoán vị $P_n$ | ✅ Có | Tất cả $n$ | $n!$ |
| Chỉnh hợp $A_n^k$ | ✅ Có | $k$ trong $n$ | $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ |
| Tổ hợp $C_n^k$ | ❌ Không | $k$ trong $n$ | $\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ |