CĐ2 - Bài 4: Tối ưu hóa bằng đạo hàm

I. Lý thuyết trọng tâm Vận dụng Đạo hàm giải bài toán tối ưu

1. Quy trình 4 bước mô hình hóa toán học

📌 Quy trình 4 bước giải bài toán tối ưu thực tế bằng Đạo hàm

Bước 1 (Chọn biến số): Xác định đại lượng $x$ cần tối ưu và xác định tập xác định (khoảng $K$) thích hợp của $x$.
Bước 2 (Thiết lập hàm số): Biểu diễn đại lượng $f(x)$ cần tối đa hóa (max) hoặc tối thiểu hóa (min) theo $x$.
Bước 3 (Tìm cực trị): Tính đạo hàm $f'(x)$, giải phương trình $f'(x) = 0$ tìm các điểm dừng trên khoảng $K$. Lập bảng biến thiên (hoặc so sánh giá trị biên).
Bước 4 (Kết luận): Trả lời câu hỏi thực tế từ giá trị $f_{\max}$ hoặc $f_{\min}$ thu được.

2. Tối ưu hóa trong kinh tế (Doanh thu & Chi phí biên)

⚡ Nguyên lý biên trong Kinh tế học

• Hàm lợi nhuận: $P(x) = R(x) - C(x)$ (với $R(x)$ là doanh thu, $C(x)$ là chi phí).

• Doanh thu biên $R'(x)$ & Chi phí biên $C'(x)$: Lợi nhuận đạt cực đại khi:

$$P'(x) = 0 \Leftrightarrow R'(x) = C'(x)$$

Tức lợi nhuận tối đa khi Doanh thu biên bằng Chi phí biên!

3. Tối ưu hóa hình học & vật liệu

⚡ Một số bất đẳng thức hỗ trợ kiểm tra nhanh

• Bất đẳng thức Cauchy 2 số: $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ (dấu "=" xảy ra khi $a = b$).

• Bất đẳng thức Cauchy 3 số: $a + b + c \ge 3\sqrt[3]{abc}$ (dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$).

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây biểu diễn hàm số lợi nhuận $P(x) = -x^2 + 10x - 9$ và điểm cực đại $P_{\max} = 16$ tại $x = 5$.

💡 Mô phỏng 1: Đồ thị hàm lợi nhuận P(x) có điểm đỉnh cực đại tại x = 5.

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Tối ưu kinh tế - Doanh thu R(x), Chi phí C(x) & Lợi nhuận P(x)

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Lập hàm lợi nhuận $P(x) = x \cdot p(x) - C(x)$. Cho $P'(x) = 0$ để tìm quy mô sản xuất $x$ tối ưu.

🔍 Ví dụ 1.1 (Tối đa hóa doanh thu sản xuất)

Giá bán mỗi sản phẩm phụ thuộc số lượng $x$ sản xuất theo hàm $p(x) = 120 - 2x$ (nghìn đồng). Hàm chi phí sản xuất $C(x) = 20x + 100$ (nghìn đồng). Tìm số lượng $x$ để lợi nhuận lớn nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Doanh thu $R(x) = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$.

• Lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x) = (120x - 2x^2) - (20x + 100) = -2x^2 + 100x - 100$.

• Đạo hàm $P'(x) = -4x + 100 = 0 \Rightarrow x = 25$.

• Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất $P_{\max} = P(25) = -2(625) + 2500 - 100 = 1150$ nghìn đồng (1,15 triệu) khi bán 25 sản phẩm.

🔍 Ví dụ 1.2 (Tối ưu hóa giá phòng khách sạn)

Một khách sạn có 50 phòng. Nếu giá thuê là 400.000đ/đêm thì thuê hết 50 phòng. Cứ mỗi lần tăng giá 20.000đ/đêm thì có 2 phòng bị bỏ trống. Chi phí dọn dẹp mỗi phòng có khách là 40.000đ/đêm. Tìm giá thuê phòng để khách sạn thu lợi nhuận lớn nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Gọi $x$ là số lần tăng giá $20.000$đ ($x \ge 0$).

• Giá phòng mới: $400 + 20x$ (nghìn đồng). Số phòng có khách: $50 - 2x$.

• Lợi nhuận $P(x) = (50 - 2x)(400 + 20x - 40) = (50 - 2x)(360 + 20x) = -40x^2 + 280x + 18000$.

• Đạo hàm $P'(x) = -80x + 280 = 0 \Rightarrow x = 3,5$.

• Giá phòng tối ưu: $400 + 20(3,5) = 470.000$đ/đêm.

🔍 Ví dụ 1.3 (Tối thiểu hóa chi phí trung bình sản xuất)

Cho hàm tổng chi phí $C(x) = 2x^2 + 500x + 1800$ (nghìn đồng). Chi phí trung bình cho 1 sản phẩm là $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$. Tìm quy mô $x$ để chi phí trung bình nhỏ nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• $\bar{C}(x) = 2x + 500 + \frac{1800}{x}$ (với $x > 0$).

• Đạo hàm $\bar{C}'(x) = 2 - \frac{1800}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 = 900 \Rightarrow x = 30$.

• Chi phí trung bình nhỏ nhất $\bar{C}_{\min} = \bar{C}(30) = 2(30) + 500 + 60 = 620$ nghìn đồng/sản phẩm tại $x = 30$.

Dạng 2: Bài toán tối ưu hình học phẳng (Diện tích & Chu vi)

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Biểu diễn chu vi hoặc diện tích theo 1 biến số $x$, sau đó khảo sát hàm số để tìm cực đại hoặc cực tiểu.

🔍 Ví dụ 2.1 (Hàng rào mảnh đất diện tích lớn nhất)

Một bác nông dân dùng 100m hàng rào để rào một mảnh đất hình chữ nhật giáp một bờ sông thẳng (bờ sông không cần rào). Tìm kích thước mảnh đất để diện tích rào được là lớn nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Gọi $x$ là chiều rộng (vuông góc bờ sông), $x > 0$. Chiều dài giáp bờ sông là $100 - 2x$.

• Diện tích $S(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$ với $0 < x < 50$.

• Đạo hàm $S'(x) = -4x + 100 = 0 \Rightarrow x = 25$m.

• Kích thước tối ưu: rộng 25m, dài 50m. Diện tích lớn nhất $S_{\max} = 1250 \text{ m}^2$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Cắt góc làm hộp chữ nhật từ tấm bìa)

Một tấm bìa hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt 4 góc 4 hình vuông nhỏ cạnh $x$ cm rồi gập thành hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích hộp lớn nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Đáy hộp là hình vuông cạnh $12 - 2x$, chiều cao là $x$ ($0 < x < 6$).

• Thể tích $V(x) = x(12 - 2x)^2 = 4x(6 - x)^2 = 4x(x^2 - 12x + 36) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$.

• Đạo hàm $V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 8x + 12 = 0 \Rightarrow x = 2$ (do $x < 6$).

• Thể tích lớn nhất $V_{\max} = 2(8)^2 = 128 \text{ cm}^3$ khi cắt góc $x = 2$ cm.

🔍 Ví dụ 2.3 (Cửa sổ hình chữ nhật mái vòm bán nguyệt)

Một cửa sổ có phần dưới là hình chữ nhật (chiều rộng $2r$, chiều cao $h$) và phần trên là hình bán nguyệt bán kính $r$. Biết chu vi cửa sổ là 6m. Tìm $r$ để diện tích cửa sổ lớn nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Chu vi $P = 2r + 2h + \pi r = 6 \Rightarrow 2h = 6 - (2+\pi)r$.

• Diện tích $S = 2r h + \frac{1}{2}\pi r^2 = r[6 - (2+\pi)r] + \frac{1}{2}\pi r^2 = 6r - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2$.

• Đạo hàm $S'(r) = 6 - (4+\pi)r = 0 \Rightarrow r = \frac{6}{4+\pi} \approx 0,84$m.

Dạng 3: Bài toán tối ưu hình học không gian (Thể tích & Diện tích)

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Thiết lập thể tích $V(r, h)$ hoặc diện tích toàn phần $S(r, h)$ theo bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$, sử dụng biến đổi thế để về hàm 1 biến $r$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R)

Tìm thể tích lớn nhất của một khối trụ nội tiếp trong khối cầu bán kính $R = 3$ cm.

💡Xem lời giải chi tiết

• Gọi $h$ là chiều cao hình trụ ($0 < h < 2R = 6$). Bán kính đáy $r = \sqrt{R^2 - (h/2)^2} = \sqrt{9 - h^2/4}$.

• Thể tích $V(h) = \pi r^2 h = \pi \left(9 - \frac{h^2}{4}\right)h = \pi \left(9h - \frac{h^3}{4}\right)$.

• Đạo hàm $V'(h) = \pi \left(9 - \frac{3h^2}{4}\right) = 0 \Rightarrow h^2 = 12 \Rightarrow h = 2\sqrt{3}$ cm.

• Thể tích lớn nhất $V_{\max} = \pi (9 - 3)(2\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}\pi \approx 65,3$ $\text{cm}^3$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Khối nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu R)

Tìm chiều cao $h$ của khối nón nội tiếp khối cầu bán kính $R$ để thể tích khối nón lớn nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Bán kính đáy nón $r^2 = h(2R - h)$.

• $V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi h^2(2R - h) = \frac{1}{3}\pi (2Rh^2 - h^3)$.

• $V'(h) = \frac{1}{3}\pi (4Rh - 3h^2) = 0 \Rightarrow h = \frac{4}{3}R$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Bể nước hình hộp chữ nhật đáy vuông tốn ít vật liệu nhất)

Một bể chứa nước không nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích $V = 32 \text{ m}^3$, đáy là hình vuông cạnh $x$. Tìm $x$ để diện tích bề mặt bể nhỏ nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Chiều cao $h = \frac{32}{x^2}$. Diện tích $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{128}{x}$.

• $S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2} = 0 \Leftrightarrow 2x^3 = 128 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x = 4$m.

• Kích thước tối ưu: đáy $4 \times 4$m, cao $h = 2$m.

Dạng 4: Bài toán tối ưu chi phí vật liệu chế tạo (Vỏ lon, Thùng chứa)

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Tính chi phí vật liệu $=$ (Đơn giá đáy) $\times S_{đáy}$ + (Đơn giá xung quanh) $\times S_{xq}$. Cho đạo hàm bằng 0 để tìm bán kính $r$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Vỏ lon nước nắp nhôm giá cao)

Một lon nước hình trụ thể tích $V = 500 \text{ cm}^3$. Chi phí làm 2 nắp tròn là $200$đ/$ ext{cm}^2$, làm mặt xung quanh là $100$đ/$ ext{cm}^2$. Tìm bán kính $r$ để chi phí sản xuất lon nước là nhỏ nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• $h = \frac{500}{\pi r^2}$.

• Chi phí $C(r) = 200 (2\pi r^2) + 100 (2\pi r h) = 400\pi r^2 + 200\pi r \frac{500}{\pi r^2} = 400\pi r^2 + \frac{100000}{r}$.

• $C'(r) = 800\pi r - \frac{100000}{r^2} = 0 \Rightarrow r^3 = \frac{100000}{800\pi} = \frac{125}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{125}{\pi}} = \frac{5}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 3,41$ cm.

🔍 Ví dụ 4.2 (Tỷ lệ chiều cao/bán kính vỏ lon chuẩn)

Một lon nước hình trụ kín có thể tích $V$ cố định. Tìm tỷ lệ $\frac{h}{r}$ để diện tích toàn phần nhỏ nhất (tiết kiệm kim loại nhất).

💡Xem lời giải chi tiết

• $S_{tp} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$.

• $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0 \Rightarrow 2\pi r^3 = V = \pi r^2 h \Rightarrow h = 2r$.

• Kết luận: Tỷ lệ tiết kiệm vật liệu nhất khi chiều cao bằng đường kính đáy ($\frac{h}{r} = 2$).

🔍 Ví dụ 4.3 (Thùng rác công nghiệp có nắp đậy)

Thùng chứa rác hình hộp chữ nhật đáy vuông thể tích $V = 108 \text{ m}^3$. Đơn giá làm nắp 50k/$ ext{m}^2$, làm đáy 100k/$ ext{m}^2$, làm xung quanh 40k/$ ext{m}^2$. Tìm kích thước đáy $x$ để tiền làm thùng nhỏ nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• $h = \frac{108}{x^2}$.

• $C(x) = 50x^2 + 100x^2 + 40(4xh) = 150x^2 + \frac{17280}{x}$.

• $C'(x) = 300x - \frac{17280}{x^2} = 0 \Rightarrow 300x^3 = 17280 \Rightarrow x^3 = 57,6 \Rightarrow x \approx 3,86$m.

Dạng 5: Bài toán tối ưu đường ống dẫn & quãng đường vận chuyển

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Biểu diễn hàm thời gian $T(x) = \frac{S_1(x)}{v_1} + \frac{S_2(x)}{v_2}$ theo vị trí điểm đấu nối $x$, tính đạo hàm $T'(x) = 0$ để tối thiểu hóa thời gian di chuyển.

🔍 Ví dụ 5.1 (Đường ống dẫn dầu từ đảo vào đất liền)

Một hòn đảo A cách bờ biển vuông góc AB = 6km. Trạm lọc dầu C trên bờ cách B 8km. Chi phí đặt ống dưới nước là 50 USD/m, trên bờ là 30 USD/m. Đặt đường ống dưới nước từ A đến D (trên đoạn BC) rồi đi tiếp trên bờ từ D đến C. Tìm vị trí D cách B bao xa để tổng chi phí nhỏ nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Đặt $BD = x$ km ($0 \le x \le 8$). Độ dài dưới nước $AD = \sqrt{6^2 + x^2} = \sqrt{36 + x^2}$. Độ dài trên bờ $DC = 8 - x$.

• Chi phí $C(x) = 50\sqrt{36+x^2} + 30(8-x)$ (nghìn USD).

• Đạo hàm $C'(x) = \frac{50x}{\sqrt{36+x^2}} - 30 = 0 \Leftrightarrow 50x = 30\sqrt{36+x^2} \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{36+x^2}$.

• Bình phương: $25x^2 = 9(36 + x^2) \Rightarrow 16x^2 = 324 \Rightarrow x^2 = 20,25 \Rightarrow x = 4,5$ km.

• Vị trí D cách B một khoảng 4,5 km.

🔍 Ví dụ 5.2 (Chèo thuyền và chạy bộ đến đích nhanh nhất)

Một người ở A trên mặt hồ cách bờ 2km. Muốn tới điểm B trên bờ cách chân đường vuông góc C một khoảng 5km. Vận tốc chèo thuyền 4km/h, vận tốc chạy bộ 6km/h. Cập bến tại D cách C bao xa để thời gian ngắn nhất?

💡Xem lời giải chi tiết

• Thời gian $T(x) = \frac{\sqrt{4+x^2}}{4} + \frac{5-x}{6}$.

• $T'(x) = \frac{x}{4\sqrt{4+x^2}} - \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow 6x = 4\sqrt{4+x^2} \Leftrightarrow 9x^2 = 4(4+x^2) \Rightarrow 5x^2 = 16 \Rightarrow x = \frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1,79$ km.

🔍 Ví dụ 5.3 (Vận chuyển cột thép qua góc ngoặt hành lang)

Hành lang vuông góc gồm hai đoạn rộng 2m và 3m. Tìm chiều dài $L$ lớn nhất của một thanh thép cứng hẹp có thể di chuyển ngang qua góc hành lang.

💡Xem lời giải chi tiết

• Chiều dài thanh khi nghiêng góc $\theta$: $L(\theta) = \frac{2}{\sin \theta} + \frac{3}{\cos \theta}$ ($0 < \theta < \pi/2$).

• Chiều dài tối đa có thể lọt qua góc chính là giá trị nhỏ nhất $L_{\min}$ của hàm $L(\theta)$.

• $L'(\theta) = -\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta} + \frac{3\sin\theta}{\cos^2\theta} = 0 \Rightarrow \tan^3 \theta = 2/3 \Rightarrow \tan \theta = \sqrt[3]{2/3}$.

• $L_{\min} = (2^{2/3} + 3^{2/3})^{3/2} \approx 7,02$m.

Dạng 6: Bài toán tối ưu hóa trong Vật lý, Hóa học & Sinh học

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Áp dụng đạo hàm để tìm cường độ dòng điện cực đại, công suất tiêu thụ $P_{\max}$, tốc độ phản ứng hóa học hoặc góc phân nhánh mạch máu tối ưu.

🔍 Ví dụ 6.1 (Công suất cực đại của mạch điện một chiều)

Nguồn điện có suất điện động $E = 12$V và điện trở trong $r = 2 \Omega$. Mạch ngoài là biến trở $R$. Công suất tiêu thụ mạch ngoài $P(R) = I^2 R = \frac{E^2 R}{(R+r)^2}$. Tìm $R$ để công suất $P$ lớn nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(R) = \frac{144 R}{(R+2)^2}$. Đạo hàm $P'(R) = 144 \frac{(R+2)^2 - 2R(R+2)}{(R+2)^4} = 144 \frac{2-R}{(R+2)^3}$.

• $P'(R) = 0 \Rightarrow R = 2 \Omega$ (bằng điện trở trong $r$).

• Công suất cực đại $P_{\max} = \frac{144(2)}{16} = 18$W.

🔍 Ví dụ 6.2 (Tốc độ phản ứng hóa học tự xúc tác)

Tốc độ phản ứng hóa học tự xúc tác $v(x) = k x (a - x)$ với $a = 10$ mol/lít là nồng độ ban đầu. Tìm nồng độ $x$ để tốc độ phản ứng lớn nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• $v(x) = k(10x - x^2)$. Đạo hàm $v'(x) = k(10 - 2x) = 0 \Rightarrow x = 5$ mol/lít.

🔍 Ví dụ 6.3 (Góc phân nhánh mạch máu tối ưu sức cản dòng máu)

Theo luật Poiseuille trong Sinh học, sức cản dòng máu tại điểm phân nhánh góc $\theta$ tỷ lệ với $R(\theta) = \frac{a}{\sin \theta} + \frac{b}{\tan \theta}$. Cho bán kính mạch nhánh $r_2$ và mạch chính $r_1$, góc $\theta$ tối ưu thỏa mãn $\cos \theta = \frac{r_2^4}{r_1^4}$. Với $r_1 = 2$mm, $r_2 = 1,2$mm, tìm góc phân nhánh $\theta$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $\cos \theta = \left(\frac{1,2}{2}\right)^4 = (0,6)^4 = 0,1296$.

• Góc phân nhánh tối ưu $\theta = \arccos(0,1296) \approx 82,55^\circ$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho hàm số doanh thu $R(x)$ và hàm chi phí $C(x)$. Hàm lợi nhuận $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm $x_0$ thỏa mãn điều kiện cần nào?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Hàm chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $C(x) = 3 x^2 + 19 x + 206$. Chi phí biên $C'(x)$ khi sản xuất $x = 13$ sản phẩm là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $S = 208 \text{ m}^2$. Chu vi nhỏ nhất của mảnh đất là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Giá bán một mặt hàng phụ thuộc vào số lượng $x$ bán ra theo hàm $p(x) = 88 - 2x$. Hàm doanh thu $R(x) = x \cdot p(x)$ đạt giá trị lớn nhất khi bán số lượng $x$ bằng:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Muốn làm một chiếc hộp hình trụ không nắp có thể tích $V = 94\pi \text{ cm}^3$ sao cho diện tích toàn phần (gồm đáy và diện tích xung quanh) nhỏ nhất thì bán kính đáy $r$ bằng:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Chiều dài đường ống nước ngắn nhất nối từ điểm A đến đường ống chính và đi tới trạm B là bài toán tối ưu khoảng cách. Để tìm cực trị ta sử dụng phương pháp nào?

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho hàm chi phí trung bình $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$. Chi phí trung bình đạt giá trị nhỏ nhất khi:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Một dây thép dài 15 m được cắt thành 2 phần: một phần uốn thành hình vuông, một phần uốn thành đường tròn. Để tổng diện tích hai hình nhỏ nhất thì cạnh hình vuông $x$ và bán kính đường tròn $r$ thỏa mãn tỉ lệ:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Tốc độ phản ứng hóa học $v(x) = k x (a - x)$ (với $a$ là nồng độ ban đầu). Tốc độ phản ứng lớn nhất khi nồng độ chất phản ứng $x$ bằng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Một người chạy thuyền từ A trên đảo cách bờ 3km, muốn đến C trên bờ cách B (chân đường vuông góc từ A) 8km. Vận tốc chèo thuyền là 3km/h, vận tốc chạy bộ là 5km/h. Điểm cập bến D trên đoạn BC cách B bao xa để thời gian di chuyển ngắn nhất?

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ứng dụng Đạo hàm tối ưu

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Đạo hàm giải bài toán tối ưu (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Một hình chữ nhật có chu vi bằng 40m. Tìm chiều dài và chiều rộng để diện tích hình chữ nhật lớn nhất.

💡Xem lời giải Bài 1

• Chiều rộng $x$, chiều dài $20 - x$. $S(x) = 20x - x^2 \Rightarrow S'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$m (hình vuông).

Bài 2 (Thông hiểu — Lợi nhuận sản xuất). Doanh thu $R(x) = 200x - x^2$, chi phí $C(x) = x^2 + 40x + 100$. Tìm $x$ để lợi nhuận lớn nhất.

💡Xem lời giải Bài 2

• $P(x) = -2x^2 + 160x - 100 \Rightarrow P'(x) = -4x + 160 = 0 \Rightarrow x = 40$. $P_{\max} = 3100$.

Bài 3 (Vận dụng — Thể tích hộp không nắp). Cắt 4 góc miếng bìa hình chữ nhật $15 \times 24$ cm bằng các hình vuông cạnh $x$ rồi gập thành hộp. Tìm $x$ để thể tích lớn nhất.

💡Xem lời giải Bài 3

• $V(x) = x(15-2x)(24-2x) = 4x^3 - 78x^2 + 360x$. $V'(x) = 12x^2 - 156x + 360 = 0 \Rightarrow x = 3$ cm.

Bài 4 (Vận dụng cao — Tiết kiệm vật liệu lon nước). Một lon hình trụ thể tích $250\pi \text{ cm}^3$. Tìm bán kính $r$ để diện tích toàn phần nhỏ nhất.

💡Xem lời giải Bài 4

• $S(r) = 2\pi r^2 + \frac{500\pi}{r} \Rightarrow S'(r) = 4\pi r - \frac{500\pi}{r^2} = 0 \Rightarrow r^3 = 125 \Rightarrow r = 5$ cm.

Bài 5 (Thực tế Vật lý). Một vật rơi tự do với vận tốc $v(t) = 9,8t$. Quảng đường đi được $S(t) = 4,9t^2$. Tính thời điểm $t$ để gia tốc trung bình bằng 9,8 $\text{m/s}^2$.

💡Xem lời giải Bài 5

• Gia tốc tức thời $a(t) = v'(t) = 9,8 \text{ m/s}^2$ không đổi tại mọi thời điểm $t > 0$.