Bài 19: Công thức Bayes — Sách Toán THPT

I. Lý thuyết trọng tâm Công thức Bayes

1. Khái niệm Hệ biến cố đầy đủ

⚡ Định nghĩa Hệ biến cố đầy đủ

Hệ gồm $n$ biến cố $B_1, B_2, \dots, B_n$ được gọi là **hệ biến cố đầy đủ** nếu:

Các biến cố xung khắc đôi một: $B_i \cap B_j = \varnothing$ với mọi $i \ne j$.
Tổng các biến cố phủ toàn bộ không gian mẫu: $B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$.
Xác suất của mỗi biến cố đều dương: $P(B_i) > 0$ với mọi $i = 1, 2, \dots, n$.

2. Công thức Xác suất toàn phần

📌 Công thức Xác suất toàn phần

Cho $B_1, B_2, \dots, B_n$ là một hệ biến cố đầy đủ và $A$ là một biến cố bất kỳ trong cùng phép thử. Khi đó:

$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \dots + P(B_n)P(A|B_n)$$

3. Công thức Bayes & Ý nghĩa tiên lượng

⚡ Công thức Bayes (Bayes' Rule)

Với điều kiện biến cố $A$ đã xảy ra ($P(A) > 0$), xác suất của giả thuyết $B_k$ ($1 \le k \le n$) được tính theo công thức Bayes:

$$P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A)} = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i)}$$

• $P(B_k)$ gọi là xác suất tiên nghiệm (khi chưa biết thông tin $A$).

• $P(B_k|A)$ gọi là xác suất hậu nghiệm (đã được cập nhật sau khi thu thập thông tin $A$).

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Sơ đồ cây xác suất dưới đây phân nhánh không gian mẫu thành các hệ biến cố đầy đủ $B_1, B_2$ và các nhánh $A, overline{A}$.

💡 Mô phỏng 1: Sơ đồ cây xác suất (Probability Tree Diagram) tính P(A) và P(B_k|A).

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Áp dụng công thức Xác suất toàn phần P(A)

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Bước 1: Xác định hệ biến cố đầy đủ $B_1, B_2, \dots, B_n$ và tính các $P(B_i)$ sao cho $\sum P(B_i) = 1$.
Bước 2: Tính các xác suất có điều kiện $P(A|B_i)$ tương ứng với từng giả thuyết.
Bước 3: Cộng tích: $P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \dots$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Tính xác suất sản phẩm bị lỗi từ 2 xưởng)

Một công ty nhận hàng từ hai xưởng sản xuất A và B. Xưởng A cung cấp 60% số hàng với tỷ lệ phế phẩm là 2%. Xưởng B cung cấp 40% số hàng với tỷ lệ phế phẩm là 3%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó là phế phẩm.

💡Xem lời giải chi tiết

• Gọi $X_A$ là "sản phẩm từ xưởng A" $\Rightarrow P(X_A) = 0,60$.

• Gọi $X_B$ là "sản phẩm từ xưởng B" $\Rightarrow P(X_B) = 0,40$. ($X_A, X_B$ là hệ biến cố đầy đủ).

• Gọi $F$ là "sản phẩm bị phế phẩm". Ta có $P(F|X_A) = 0,02$ và $P(F|X_B) = 0,03$.

• Theo công thức xác suất toàn phần:

$$P(F) = P(X_A)P(F|X_A) + P(X_B)P(F|X_B) = 0,60 \times 0,02 + 0,40 \times 0,03 = 0,012 + 0,012 = 0,024 \text{ (tức 2,4\%)}$$

🔍 Ví dụ 1.2 (Tính xác suất đỗ đại học của học sinh từ các nhóm)

Một khối 12 gồm 3 nhóm học sinh: Nhóm Giỏi (chiếm 20%), Nhóm Khá (chiếm 50%), Nhóm Trung bình (chiếm 30%). Tỷ lệ đỗ đại học của từng nhóm lần lượt là 98%, 80%, và 50%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh, tính xác suất học sinh đó đỗ đại học.

💡Xem lời giải chi tiết

• Gọi $G, K, TB$ là các nhóm học sinh với $P(G) = 0,20; P(K) = 0,50; P(TB) = 0,30$.

• Gọi $D$ là biến cố "đỗ đại học". $P(D|G) = 0,98; P(D|K) = 0,80; P(D|TB) = 0,50$.

• Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(D) = 0,20 \times 0,98 + 0,50 \times 0,80 + 0,30 \times 0,50 = 0,196 + 0,400 + 0,150 = 0,746 \text{ (tức 74,6\%)}$$

🔍 Ví dụ 1.3 (Bài toán chọn 1 túi rồi rút bi)

Túi 1 có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Túi 2 có 7 bi đỏ và 3 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 túi rồi rút ra 1 viên bi. Tính xác suất viên bi rút ra là bi đỏ.

💡Xem lời giải chi tiết

• Xác suất chọn mỗi túi $P(T_1) = P(T_2) = 0,5$.

• $P(Đ|T_1) = \frac{4}{10} = 0,4$; $P(Đ|T_2) = \frac{7}{10} = 0,7$.

• Xác suất rút được bi đỏ: $P(Đ) = 0,5 \times 0,4 + 0,5 \times 0,7 = 0,2 + 0,35 = 0,55$.

Dạng 2: Áp dụng công thức Bayes tính P(Bk|A)

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Bước 1: Tính xác suất toàn phần $P(A)$ như Dạng 1.
Bước 2: Tính xác suất tích của giả thuyết cần tìm $P(B_k \cap A) = P(B_k) \cdot P(A|B_k)$.
Bước 3: Áp dụng công thức Bayes: $P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A)}$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Xác định nguồn gốc sản phẩm bị phế phẩm bằng công thức Bayes)

Trở lại Ví dụ 1.1: Xưởng A sản xuất 60% sản phẩm (2% phế phẩm), xưởng B sản xuất 40% sản phẩm (3% phế phẩm). Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm thấy bị phế phẩm. Tính xác suất phế phẩm đó do xưởng A sản xuất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Đã có $P(F) = 0,024$. $P(X_A \cap F) = 0,60 \times 0,02 = 0,012$.

• Áp dụng công thức Bayes:

$$P(X_A|F) = \frac{P(X_A \cap F)}{P(F)} = \frac{0,012}{0,024} = 0,5 \text{ (tức 50\%)}$$

• Nhận xét: Mặc dù xưởng A làm ít phế phẩm hơn (2% so với 3%), nhưng vì sản xuất lượng hàng nhiều hơn hẳn nên khi gặp phế phẩm thì khả năng do xưởng A làm ra vẫn lên tới 50%!

🔍 Ví dụ 2.2 (Tìm xác suất nguồn gốc túi khi biết bi rút ra có màu đỏ)

Trở lại Ví dụ 1.3: Túi 1 (4 đỏ, 6 xanh), Túi 2 (7 đỏ, 3 xanh). Chọn 1 túi rồi rút 1 bi được bi đỏ. Tính xác suất bi đỏ này được rút ra từ Túi 2.

💡Xem lời giải chi tiết

• Đã có $P(Đ) = 0,55$. Tích $P(T_2 \cap Đ) = 0,5 \times 0,7 = 0,35$.

• Công thức Bayes: $P(T_2|Đ) = \frac{0,35}{0,55} = \frac{7}{11} \approx 0,6364$ (tức 63,64%).

🔍 Ví dụ 2.3 (Tìm nhóm học sinh khi biết kết quả đỗ đại học)

Biết một học sinh đỗ đại học, tính xác suất học sinh đó thuộc Nhóm Giỏi (ở Ví dụ 1.2 có tỷ lệ nhóm Giỏi 20%, đỗ 98%; tổng đỗ 74,6%).

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(G \cap D) = 0,20 \times 0,98 = 0,196$. Đã có $P(D) = 0,746$.

• Công thức Bayes: $P(G|D) = \frac{0,196}{0,746} = \frac{98}{373} \approx 0,2627$ (tức 26,27%).

Dạng 3: Bài toán Dây chuyền sản xuất & Kiểm soát chất lượng

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Chia sản phẩm thành 3 hay nhiều dây chuyền $D_1, D_2, D_3$. Lập bảng hoặc cây xác suất để tính $P(F)$ và các xác suất truy xuất nguồn gốc $P(D_i|F)$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Ba dây chuyền sản xuất thiết bị linh kiện)

Nhà máy có 3 dây chuyền $A, B, C$ sản xuất tương ứng 50%, 30%, 20% sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của $A, B, C$ lần lượt là 1%, 2%, 3%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thấy bị phế phẩm. Hỏi sản phẩm đó có khả năng do dây chuyền nào sản xuất cao nhất?

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(F) = 0,5(0,01) + 0,3(0,02) + 0,2(0,03) = 0,005 + 0,006 + 0,006 = 0,017$.

• $P(A|F) = \frac{0,005}{0,017} = \frac{5}{17} \approx 29,41\%$.

• $P(B|F) = \frac{0,006}{0,017} = \frac{6}{17} \approx 35,29\%$.

• $P(C|F) = \frac{0,006}{0,017} = \frac{6}{17} \approx 35,29\%$.

• Kết luận: Phế phẩm có khả năng do dây chuyền B hoặc C sản xuất cao nhất (đều bằng 35,29%).

🔍 Ví dụ 3.2 (Kiểm tra chất lượng linh kiện đóng gói)

Lô hàng chứa 80% linh kiện chính hãng và 20% linh kiện trôi nổi. Linh kiện chính hãng có xác suất hỏng trong năm đầu là 5%, linh kiện trôi nổi là 25%. Mua 1 linh kiện bị hỏng sau 6 tháng, tính xác suất linh kiện đó là chính hãng.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(H) = 0,80 \times 0,05 + 0,20 \times 0,25 = 0,04 + 0,05 = 0,09$.

• $P(\text{Chính hãng}|H) = \frac{0,04}{0,09} = \frac{4}{9} \approx 44,44\%$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Đánh giá quy trình làm mới sản phẩm)

Một cửa hàng nhập điện thoại từ 2 nguồn: Máy mới (70%) và Máy cũ tân trang (30%). Tỷ lệ bảo hành của máy mới là 2%, máy cũ là 10%. Chọn ngẫu nhiên 1 điện thoại thấy cần bảo hành. Tính xác suất đó là máy mới.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(BH) = 0,70 \times 0,02 + 0,30 \times 0,10 = 0,014 + 0,030 = 0,044$.

• $P(\text{Mới}|BH) = \frac{0,014}{0,044} = \frac{7}{22} \approx 31,82\%$.

Dạng 4: Bài toán Chẩn đoán y tế (Độ nhạy & Độ đặc hiệu)

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Tỷ lệ bệnh $P(B)$: Tỷ lệ mắc bệnh trong cộng đồng. Tỷ lệ không bệnh $P(\overline{B}) = 1 - P(B)$.
Độ nhạy $P(+|B)$: Xác suất dương tính khi thực sự có bệnh.
Độ đặc hiệu $P(-|\overline{B})$: Xác suất âm tính khi thực sự không có bệnh $\Rightarrow P(+|\overline{B}) = 1 - P(-|\overline{B})$ (tỷ lệ dương tính giả).
Tính $P(B|+)$ bằng Bayes: $P(B|+) = \frac{P(B)P(+|B)}{P(B)P(+|B) + P(\overline{B})P(+|\overline{B})}$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Bài toán nghịch lý dương tính giả trong y tế)

Tỷ lệ mắc một bệnh hiếm trong dân số là 0,1% ($P(B) = 0,001$). Xét nghiệm chẩn đoán có độ nhạy 99% và độ đặc hiệu 99%. Một người đi xét nghiệm cho kết quả Dương tính (+). Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(B) = 0,001 \Rightarrow P(\overline{B}) = 0,999$.

• $P(+|B) = 0,99$. Độ đặc hiệu 99% $\Rightarrow P(+|\overline{B}) = 1 - 0,99 = 0,01$.

• Xác suất toàn phần dương tính: $P(+) = 0,001 \times 0,99 + 0,999 \times 0,01 = 0,00099 + 0,00999 = 0,01098$.

• Xác suất thực sự mắc bệnh khi xét nghiệm dương tính:

$$P(B|+) = \frac{0,00099}{0,01098} = \frac{99}{1098} \approx 0,09015 \text{ (tức khoảng 9,02\%)}$$

• Kết luận bất ngờ: Dù xét nghiệm chính xác tới 99%, nhưng khi mắc bệnh hiếm (0,1%), nếu xét nghiệm dương tính thì xác suất thực sự mắc bệnh chỉ có 9,02%! (Do số người khỏe bị dương tính giả vẫn đông hơn nhiều số người bệnh).

🔍 Ví dụ 4.2 (Tính xác suất âm tính giả khi xét nghiệm ra âm tính)

Trở lại Ví dụ 4.1, nếu một người đi xét nghiệm cho kết quả Âm tính (-), tính xác suất người đó vẫn mắc bệnh $P(B|-)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(-|B) = 1 - 0,99 = 0,01$. $P(-|\overline{B}) = 0,99$.

• $P(-) = 0,001 \times 0,01 + 0,999 \times 0,99 = 0,00001 + 0,98901 = 0,98902$.

• $P(B|-) = \frac{0,00001}{0,98902} \approx 0,0000101$ (gần như bằng 0, cực kỳ an tâm!).

🔍 Ví dụ 4.3 (Xét nghiệm dị ứng thực phẩm)

Tỷ lệ dị ứng hạt phỉ là 5%. Xét nghiệm có độ nhạy 90% và độ đặc hiệu 95%. Chọn 1 người có xét nghiệm dương tính, tính xác suất người đó thực sự dị ứng hạt phỉ.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(D) = 0,05 \Rightarrow P(\overline{D}) = 0,95$.

• $P(+) = 0,05 \times 0,90 + 0,95 \times 0,05 = 0,045 + 0,0475 = 0,0925$.

• $P(D|+) = \frac{0,045}{0,0925} = \frac{18}{37} \approx 48,65\%$.

Dạng 5: Bài toán Chọn ngẫu nhiên Hộp/Túi rồi rút sản phẩm

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Xác định xác suất chọn mỗi hộp $P(H_i)$. Tính $P(A|H_i)$ và áp dụng công thức toàn phần rồi dùng công thức Bayes $P(H_k|A)$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Ba hộp chứa bi với số lượng khác nhau)

Hộp I: 3 đỏ, 2 xanh. Hộp II: 2 đỏ, 3 xanh. Hộp III: 4 đỏ, 1 xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi rút 1 bi được bi xanh. Tính xác suất bi xanh đó thuộc Hộp II.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = 1/3$.

• $P(X|H_1) = 2/5, P(X|H_2) = 3/5, P(X|H_3) = 1/5$.

• $P(X) = \frac{1}{3} \left(\frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2}{5} = 0,4$.

• $P(H_2|X) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{1/5}{2/5} = 0,5$ (tức 50%).

🔍 Ví dụ 5.2 (Bài toán chọn đồng xu 2 mặt sấp)

Một chiếc túi chứa 3 đồng xu: 1 đồng xu có 2 mặt Sấp, 1 đồng xu cân đối (1 Sấp, 1 Ngửa), 1 đồng xu có 2 mặt Ngửa. Lấy ngẫu nhiên 1 đồng xu và gieo thu được mặt Sấp. Tính xác suất đã lấy được đồng xu 2 mặt Sấp.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(X_1) = P(X_2) = P(X_3) = 1/3$.

• $P(S|X_1) = 1; P(S|X_2) = 0,5; P(S|X_3) = 0$.

• $P(S) = \frac{1}{3}(1 + 0,5 + 0) = \frac{1}{2}$.

• $P(X_1|S) = \frac{1/3 \cdot 1}{1/2} = \frac{2}{3} \approx 66,67\%$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Chuyển bi từ hộp 1 sang hộp 2 rồi rút bi)

Hộp 1 có 3 bi đỏ, 2 bi xanh. Hộp 2 có 2 bi đỏ, 4 bi xanh. Chuyển ngẫu nhiên 1 bi từ Hộp 1 sang Hộp 2, sau đó rút 1 bi từ Hộp 2. Tính xác suất bi rút từ Hộp 2 có màu đỏ.

💡Xem lời giải chi tiết

• Giả thuyết 1: Chuyển bi đỏ (xác suất $3/5$). Khi đó Hộp 2 có 3 đỏ, 4 xanh $\Rightarrow P(Đ_2|Đ_1) = 3/7$.

• Giả thuyết 2: Chuyển bi xanh (xác suất $2/5$). Khi đó Hộp 2 có 2 đỏ, 5 xanh $\Rightarrow P(Đ_2|X_1) = 2/7$.

• Xác suất toàn phần: $P(Đ_2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{7} + \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{9 + 4}{35} = \frac{13}{35} \approx 0,3714$.

Dạng 6: Lọc thư rác Spam & Đánh giá rủi ro Bảo hiểm/Tài chính

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Áp dụng bộ lọc Naive Bayes trong khoa học dữ liệu để phân loại email, đánh giá rủi ro nợ xấu ngân hàng hoặc tính phí bảo hiểm.

🔍 Ví dụ 6.1 (Bộ lọc Spam Naive Bayes trong CNTT)

Tỷ lệ email Spam trong hệ thống là 30%. Từ "Trúng thưởng" xuất hiện trong 70% số thư Spam và chỉ xuất hiện trong 2% số thư hợp lệ (Ham). Nếu một email có chứa từ "Trúng thưởng", tính xác suất email đó thực sự là Spam.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(S) = 0,30 \Rightarrow P(H) = 0,70$.

• $P(T|S) = 0,70; P(T|H) = 0,02$.

• $P(T) = 0,30 \times 0,70 + 0,70 \times 0,02 = 0,210 + 0,014 = 0,224$.

• $P(S|T) = \frac{0,210}{0,224} = \frac{15}{16} = 0,9375$ (tức 93,75% là Spam!).

🔍 Ví dụ 6.2 (Đánh giá nợ xấu tín dụng Ngân hàng)

Ngân hàng phân loại khách hàng làm 2 nhóm: Thu nhập thấp (40%) và Thu nhập cao (60%). Tỷ lệ nợ xấu của nhóm thu nhập thấp là 5%, nhóm thu nhập cao là 1%. Một hồ sơ vay bị nợ xấu, tính xác suất hồ sơ đó thuộc nhóm thu nhập thấp.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(NX) = 0,40 \times 0,05 + 0,60 \times 0,01 = 0,020 + 0,006 = 0,026$.

• $P(\text{Thấp}|NX) = \frac{0,020}{0,026} = \frac{10}{13} \approx 76,92\%$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Định giá phí bảo hiểm nhân thọ theo thói quen hút thuốc)

Trong số khách hàng mua bảo hiểm, 25% là người hút thuốc. Tỷ lệ mắc bệnh phổi của người hút thuốc là 8%, của người không hút thuốc là 1%. Chọn ngẫu nhiên 1 người bị bệnh phổi, tính xác suất người đó là người hút thuốc.

💡Xem lời giải chi tiết

• $P(P) = 0,25 \times 0,08 + 0,75 \times 0,01 = 0,020 + 0,0075 = 0,0275$.

• $P(\text{Hút thuốc}|P) = \frac{0,020}{0,0275} = \frac{8}{11} \approx 72,73\%$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Công thức xác suất toàn phần đối với hệ biến cố đầy đủ $B_1, B_2, \dots, B_n$ là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Công thức Bayes dùng để tính xác suất nào dưới đây:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Có hai xưởng sản xuất thiết bị: Xưởng I sản xuất 60% số thiết bị với tỷ lệ phế phẩm 1%; Xưởng II sản xuất 29% thiết bị với tỷ lệ phế phẩm 5%. Lấy ngẫu nhiên 1 thiết bị, xác suất để chọn phải phế phẩm là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Giả sử tỷ lệ mắc bệnh X trong dân số là !pD:0.01:0.05!. Xét nghiệm y tế có độ nhạy !pSens:0.90:0.98! (xác suất dương tính khi có bệnh) và độ đặc hiệu !pSpec:0.90:0.98! (xác suất âm tính khi không có bệnh). Tính xác suất một người thực sự mắc bệnh nếu kết quả xét nghiệm dương tính:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Hộp I có 4 bi đỏ, 2 bi xanh. Hộp II có 2 bi đỏ, 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi rút 1 bi. Xác suất để rút được bi đỏ là:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Một nhà máy có 3 dây chuyền A, B, C sản xuất lần lượt 50%, 30%, 20% sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của A, B, C lần lượt là 1%, 2%, 3%. Lấy 1 sản phẩm thấy phế phẩm, xác suất sản phẩm đó do dây chuyền A sản xuất là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Tỷ lệ email rác (Spam) trong hệ thống là !pSpam:0.3:0.5!. Một từ 'Khuyến mãi' xuất hiện trong !pKwInSpam:0.7:0.9! số email Spam và trong !pKwInHam:0.05:0.15! số email hợp lệ (Ham). Nếu email nhận được có chứa từ 'Khuyến mãi', xác suất nó là Spam bằng:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Trong một kỳ thi có 2 nhóm thí sinh: Nhóm giỏi chiếm 30% với xác suất đỗ là 90%; Nhóm trung bình chiếm 70% với xác suất đỗ là 60%. Xác suất 1 thí sinh đỗ kỳ thi là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Một túi đựng 3 đồng xu: 1 đồng có 2 mặt sấp, 1 đồng cân đối và 1 đồng đồng chất có 2 mặt ngửa. Chọn ngẫu nhiên 1 đồng xu rồi gieo thu được mặt sấp. Xác suất chọn phải đồng xu có 2 mặt sấp là:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Bắn 1 viên đạn vào mục tiêu từ 2 vị trí A và B với xác suất bắn từ A là 0.4 và B là 0.6. Xác suất trúng từ A là 0.7 và từ B là 0.8. Biết đạn trúng mục tiêu, xác suất đạn được bắn từ A là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Công thức Bayes

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Công thức Bayes (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Có hai đĩa hạt giống: Đĩa I chứa 80 hạt giống với tỷ lệ nảy mầm 90%; Đĩa II chứa 120 hạt giống với tỷ lệ nảy mầm 80%. Chọn ngẫu nhiên 1 đĩa rồi lấy 1 hạt.

a) Tính xác suất hạt giống lấy ra nảy mầm.

b) Biết hạt giống lấy ra nảy mầm, tính xác suất hạt đó ở Đĩa I.

💡Xem lời giải Bài 1

a) $P(Đ_1) = 80/200 = 0,4; P(Đ_2) = 0,6$. $P(N) = 0,4(0,9) + 0,6(0,8) = 0,36 + 0,48 = 0,84$.

b) $P(Đ_1|N) = \frac{0,36}{0,84} = \frac{3}{7} \approx 42,86\%$.

Bài 2 (Thông hiểu — Ba nguồn cung cấp linh kiện). Công ty nhập linh kiện từ 3 nhà cung cấp $C_1, C_2, C_3$ theo tỷ lệ 40%, 35%, 25%. Tỷ lệ linh kiện hỏng tương ứng là 1%, 2%, 4%.

a) Tính tỷ lệ linh kiện hỏng chung của công ty.

b) Lấy 1 linh kiện thấy hỏng, tính xác suất do $C_3$ cung cấp.

💡Xem lời giải Bài 2

a) $P(H) = 0,40(0,01) + 0,35(0,02) + 0,25(0,04) = 0,004 + 0,007 + 0,010 = 0,021$ (2,1%).

b) $P(C_3|H) = \frac{0,010}{0,021} = \frac{10}{21} \approx 47,62\%$.

Bài 3 (Vận dụng — Xét nghiệm y tế nhiều giai đoạn). Tỷ lệ nhiễm bệnh trong cộng đồng là 5%. Xét nghiệm có độ nhạy 96% và độ đặc hiệu 98%. Một người xét nghiệm lần 1 ra Dương tính (+). Người đó xét nghiệm lại lần 2 độc lập cũng ra Dương tính (+). Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh.

💡Xem lời giải Bài 3

• Lần 1 dương tính $\Rightarrow P(B|+_1) = \frac{0,05 \times 0,96}{0,05 \times 0,96 + 0,95 \times 0,02} = \frac{0,048}{0,048 + 0,019} = \frac{48}{67} \approx 0,7164$.

• Dùng $P(B) = 0,7164$ làm xác suất tiên nghiệm cho lần 2 $\Rightarrow P(B|++)$ vọt lên **98,9%**!

Bài 4 (Vận dụng cao — Lọc thư rác hai từ khóa độc lập). Một bộ lọc email nhận thấy 30% thư là Spam. Từ "Khuyến mãi" xuất hiện trong 60% thư Spam và 5% thư thường. Từ "Miễn phí" xuất hiện trong 50% thư Spam và 2% thư thường. Giả sử hai từ này xuất hiện độc lập, tính xác suất một thư chứa cả hai từ này là Spam.

💡Xem lời giải Bài 4

• $P(K_1 K_2|S) = 0,60 \times 0,50 = 0,30$. $P(K_1 K_2|H) = 0,05 \times 0,02 = 0,001$.

• $P(S|K_1 K_2) = \frac{0,30 \times 0,30}{0,30 \times 0,30 + 0,70 \times 0,001} = \frac{0,09}{0,0907} \approx 99,23\%$.

Bài 5 (Thực tế bảo hiểm xe máy). Công ty bảo hiểm chia tài xế thành 3 nhóm: Thận trọng (60%), Trung bình (30%), Mạo hiểm (10%). Xác suất gây tai nạn trong năm của 3 nhóm lần lượt là 1%, 5%, 20%. Một tài xế bị tai nạn trong năm, tính xác suất người đó thuộc nhóm Mạo hiểm.

💡Xem lời giải Bài 5

• $P(TN) = 0,60(0,01) + 0,30(0,05) + 0,10(0,20) = 0,006 + 0,015 + 0,020 = 0,041$.

• $P(\text{Mạo hiểm}|TN) = \frac{0,020}{0,041} = \frac{20}{41} \approx 48,78\%$.