Bài 18: Xác suất có điều kiện

I. Lý thuyết

1. Khái niệm xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) > 0$. Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của $A$ đối với $B$.

• Kí hiệu: $P(A|B)$.
• Công thức: $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

2. Ý nghĩa

Xác suất có điều kiện đánh giá lại khả năng xảy ra của $A$ khi ta đã có thêm thông tin rằng $B$ chắc chắn xảy ra.

3. Quy tắc nhân xác suất

Từ công thức trên, ta có: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

• Mở rộng: Nếu $A, B$ độc lập thì $P(A|B) = P(A)$ và $P(B|A) = P(B)$, dẫn đến công thức quen thuộc $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

II. Áp dụng Sơ đồ cây tính xác suất có điều kiện

Sơ đồ cây là công cụ trực quan giúp liệt kê tất cả trường hợp xảy ra theo giai đoạn. Mỗi nhánh ghi xác suất; xác suất của một kết quả cuối = tích các xác suất trên đường đi từ gốc đến lá.

Ví dụ 1 (Dễ) — Túi 4 bi đỏ, 6 bi xanh (lấy 2 bi không hoàn lại)

Từ sơ đồ cây, tính xác suất có điều kiện $P(\text{Đỏ}_1 \mid \text{Đỏ}_2)$:

$P(\text{Đỏ}_2) = \frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9} + \frac{6}{10}\cdot\frac{4}{9} = \frac{12}{90} + \frac{24}{90} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}$

$P(\text{Đỏ}_1 \mid \text{Đỏ}_2) = \frac{P(\text{Đỏ}_1 \cap \text{Đỏ}_2)}{P(\text{Đỏ}_2)} = \frac{12/90}{36/90} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Nhận xét: Sơ đồ cây cho thấy ngay $P(\text{Đỏ}_1 \cap \text{Đỏ}_2) = \dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{3}{9}$, không cần liệt kê không gian mẫu.

Ví dụ 2 (Trung bình) — Hai giai đoạn sản xuất (sản phẩm đạt/lỗi)

Một dây chuyền gồm 2 công đoạn. Công đoạn I tạo ra sản phẩm đạt với xác suất $0{,}8$, lỗi với xác suất $0{,}2$. Nếu sản phẩm đạt ở công đoạn I thì qua công đoạn II đạt tiếp với xác suất $0{,}9$ (lỗi $0{,}1$). Nếu sản phẩm lỗi ở công đoạn I thì qua công đoạn II chỉ đạt với xác suất $0{,}5$ (lỗi $0{,}5$). Tính xác suất sản phẩm cuối cùng đạt cả hai công đoạn và xác suất sản phẩm đạt công đoạn II biết rằng nó đã qua công đoạn.

Lời giải từ sơ đồ cây:

• $P(\text{Đạt}_1 \cap \text{Đạt}_2) = 0{,}8 \times 0{,}9 = 0{,}72$
• $P(\text{Đạt}_2) = P(\text{Đạt}_1 \cap \text{Đạt}_2) + P(\text{Lỗi}_1 \cap \text{Đạt}_2) = 0{,}72 + 0{,}10 = 0{,}82$
• $P(\text{Đạt}_1 \mid \text{Đạt}_2) = \dfrac{0{,}72}{0{,}82} = \dfrac{36}{41} \approx 0{,}878$

Nhận xét: Biết sản phẩm đạt công đoạn II, xác suất nó đã đạt công đoạn I là $\approx 87{,}8\%$ — cao hơn xác suất ban đầu $80\%$, vì qua được công đoạn II là bằng chứng ủng hộ việc sản phẩm tốt ngay từ đầu.

Ví dụ 3 (Khó) — Ba nguồn cung cấp với tỉ lệ phế phẩm khác nhau

Một cửa hàng nhập hàng từ ba nhà cung cấp $A$, $B$, $C$ với tỉ lệ $50\%$, $30\%$, $20\%$ tổng số hàng. Tỉ lệ phế phẩm lần lượt là $2\%$, $3\%$ và $5\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thấy là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó đến từ mỗi nhà cung cấp.

Lời giải — Công thức Bayes:

$P(\text{Phế}) = 0{,}5 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}03 + 0{,}2 \times 0{,}05 = 0{,}010 + 0{,}009 + 0{,}010 = 0{,}029$

$P(A \mid \text{Phế}) = \frac{0{,}010}{0{,}029} \approx 34{,}5\% \qquad P(B \mid \text{Phế}) = \frac{0{,}009}{0{,}029} \approx 31{,}0\% \qquad P(C \mid \text{Phế}) = \frac{0{,}010}{0{,}029} \approx 34{,}5\%$

Nhận xét: Dù $C$ có tỉ lệ phế phẩm cao nhất ($5\%$) nhưng chiếm ít hàng nhất ($20\%$), nên xác suất phế phẩm từ $A$ và $C$ bằng nhau, còn từ $B$ thấp hơn một chút.

🔷 Dạng 1: Tính xác suất có điều kiện bằng công thức định nghĩa

📝 Thực hành — Dạng 1

🔷 Dạng 2: Quy tắc nhân xác suất cho các biến cố phụ thuộc

🔷 Dạng 3: Bài toán thực tế về xác suất điều kiện

📝 Thực hành — Dạng 3

🧮 Máy tính Xác suất có điều kiện

Thay đổi số liệu để tính từng bước — hỗ trợ 4 chế độ: công thức cơ bản, sơ đồ cây tương tác, chuỗi điều kiện và bài toán thực tế.