Ôn chương 5 - Toán 12 — Sách Toán THPT

I. Sơ đồ hệ thống công thức Oxyz trọng tâm

📊 Bảng so sánh & Tổng hợp công thức Oxyz

Đại lượng	Vectơ đại diện	Dạng Phương trình	Công thức Góc / Khoảng cách
Mặt phẳng (P)	VPT $\vec{n} = (A; B; C)$	$Ax + By + Cz + D = 0$ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$	$d(M_0, (P)) = \frac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
Đường thẳng d	VCP $\vec{u} = (a; b; c)$	$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$	$d(M, d) = \frac{\|[\vec{M_0 M}, \vec{u}]\|}{\|\vec{u}\|}$ $d(d_1, d_2) = \frac{\|[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2}\|}{\|[\vec{u}_1, \vec{u}_2]\|}$
Mặt cầu (S)	Tâm $I(a;b;c)$, $R$	$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$	Bán kính thiết diện đường tròn: $r = \sqrt{R^2 - h^2}$ (với $h = d(I, (P))$)

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây tổng hợp mối liên hệ không gian Oxyz giữa Mặt phẳng, Đường thẳng và Mặt cầu.

💡 Mô phỏng tổng hợp: Mặt phẳng (P), Đường thẳng d và Mặt cầu (S) trong hệ Oxyz.

III. Các dạng toán ôn tập tổng hợp (Mỗi dạng 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Phương trình Mặt phẳng tổng hợp

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Tìm điểm $M_0 \in (P)$ và VPT $\vec{n} = (A; B; C)$ (qua tích có hướng $[\vec{u}_1, \vec{u}_2]$ hoặc VPT song song/vuông góc). Viết phương trình $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

🔍 Ví dụ 1.1 (MP qua 1 điểm và chứa 1 đường thẳng)

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1; 2; 3)$ và chứa đường thẳng $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{2}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Lấy điểm $M(1; -1; 0) \in d$, VCP $\vec{u}_d = (2; 1; 2)$. $\vec{MA} = (0; 3; 3)$.

• VPT $\vec{n}_P = [\vec{u}_d, \vec{MA}] = (1(3) - 2(3); 2(0) - 2(3); 2(3) - 1(0)) = (-3; -6; 6) = -3(1; 2; -2)$.

• Phương trình $(P)$ qua $A(1;2;3)$: $1(x-1) + 2(y-2) - 2(z-3) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 1 = 0$.

🔍 Ví dụ 1.2 (MP phân giác của hai mặt phẳng cắt nhau)

Lập phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi $(P): x + 2y - 2z + 1 = 0$ và $(Q): 2x - y + 2z - 3 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $d(M, (P)) = d(M, (Q)) \Leftrightarrow \frac{|x + 2y - 2z + 1|}{3} = \frac{|2x - y + 2z - 3|}{3}$.

• TH1: $x + 2y - 2z + 1 = 2x - y + 2z - 3 \Leftrightarrow x - 3y + 4z - 4 = 0$.

• TH2: $x + 2y - 2z + 1 = -(2x - y + 2z - 3) \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0$.

🔍 Ví dụ 1.3 (MP qua 2 điểm và song song với trục Oz)

Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua hai điểm $A(1; 2; 0), B(3; 0; 1)$ và song song với trục $Oz$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $\vec{AB} = (2; -2; 1)$, VCP trục $Oz$ là $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

• VPT $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{k}] = (-2; -2; 0) = -2(1; 1; 0)$.

• Phương trình $(\alpha)$ qua $A(1;2;0)$: $1(x-1) + 1(y-2) + 0 = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0$.

Dạng 2: Phương trình Đường thẳng tổng hợp

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Xác định VCP $\vec{u}$ của đường thẳng (tích có hướng, vuông góc MP, đường vuông góc chung) và điểm đi qua $M_0$. Viết phương trình tham số hoặc chính đống.

🔍 Ví dụ 2.1 (Đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt d1 và vuông góc d2)

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $A(1; 0; 2)$, cắt $d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-2}{1}$ và vuông góc với $d_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z}{1}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Gọi $B = \Delta \cap d_1 \Rightarrow B(1+t; 2t; 2+t)$. $\vec{AB} = (t; 2t; t)$.

• $\Delta \perp d_2 \Leftrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{u}_2 = 0 \Leftrightarrow t(2) + 2t(-1) + t(1) = 0 \Leftrightarrow t = 0$.

• VCP $\vec{u}_\Delta = (1; 2; 1)$ (vì $B(1;0;2)$ nên VCP lấy VCP của $d_1$). Phương trình: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \end{cases}$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau)

Tìm phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 0 \\ z = -1 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 0 \\ y = t' \\ z = 1 \end{cases}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $A(1+t; 0; -1) \in d_1, B(0; t'; 1) \in d_2 \Rightarrow \vec{AB} = (-1-t; t'; 2)$.

• $\vec{AB} \cdot \vec{u}_1 = 0 \Rightarrow -1-t = 0 \Rightarrow t = -1 \Rightarrow A(0;0;-1)$.

• $\vec{AB} \cdot \vec{u}_2 = 0 \Rightarrow t' = 0 \Rightarrow B(0;0;1)$.

• Đường vuông góc chung $AB$ qua $A(0;0;-1)$ có VCP $\vec{AB} = (0;0;2) = 2(0;0;1)$: $\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = -1 + t \end{cases}$ (chính là trục $Oz$).

🔍 Ví dụ 2.3 (Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng)

Viết phương trình đường thẳng $d'$ là hình chiếu vuông góc của $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ lên mặt phẳng $(P): x + y - z + 2 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc $(P)$ có VPT $\vec{n}_Q = [\vec{u}_d, \vec{n}_P] = (0; 1; 1)$.

• Phương trình $(Q)$ qua $M(1;0;-1): y + z + 1 = 0$.

• Hình chiếu $d'$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$: $\begin{cases} x + y - z + 2 = 0 \\ y + z + 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = t \end{cases}$.

Dạng 3: Phương trình Mặt cầu & Thiết diện đường tròn

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Dùng dạng khai triển $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ hoặc dạng chính đống $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$. Tính bán kính đường tròn giao tuyến $r = \sqrt{R^2 - h^2}$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Mặt cầu tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc 2 MP)

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I \in d: \begin{cases} x = t \\ y = 1 \\ z = t \end{cases}$ và tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 1 = 0$ và $(Q): x + 2y - 2z - 5 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Hai mặt phẳng song song $\Rightarrow 2R = d((P), (Q)) = \frac{|1 - (-5)|}{3} = 2 \Rightarrow R = 1$.

• Tâm $I(t; 1; t) \in d$. $d(I, (P)) = 1 \Leftrightarrow \frac{|t + 2 - 2t + 1|}{3} = 1 \Leftrightarrow |3 - t| = 3 \Rightarrow t = 0$ hoặc $t = 6$.

• TH1: $I(0;1;0) \Rightarrow x^2 + (y-1)^2 + z^2 = 1$.

• TH2: $I(6;1;6) \Rightarrow (x-6)^2 + (y-1)^2 + (z-6)^2 = 1$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC)

Cho $A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;12)$. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Mặt cầu qua $O(0;0;0), A, B, C$ có tâm $I(3/2; 2; 6)$.

• Bán kính $R = \sqrt{(3/2)^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9/4 + 4 + 36} = \frac{13}{2}$.

• Phương trình: $x^2 + y^2 + z^2 - 3x - 4y - 12z = 0$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Thiết diện đường tròn nhỏ nhất cắt mặt cầu)

Mặt phẳng $(P)$ qua điểm $M(1; 1; 2)$ cắt mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 = 25$ theo giao tuyến đường tròn có bán kính $r$ nhỏ nhất khi nào?

💡Xem lời giải chi tiết

• $r = \sqrt{R^2 - h^2}$ nhỏ nhất khi $h = d(O, (P))$ lớn nhất.

• Vì $M \in (P)$ nên $h = d(O, (P)) \le OM$. Dấu '=' xảy ra khi $OM \perp (P)$.

• Khi đó $(P)$ nhận $\vec{OM} = (1; 1; 2)$ làm VPT $\Rightarrow (P): 1(x-1) + 1(y-1) + 2(z-2) = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 6 = 0$.

Dạng 4: Góc và Khoảng cách tổng hợp

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Sử dụng các công thức góc $\cos(d_1, d_2)$, $\sin(d, (P))$, $\cos((P), (Q))$ và công thức khoảng cách $d(M, (P))$, $d(M, d)$, $d(d_1, d_2)$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng qua 2 điểm)

Tính khoảng cách từ điểm $M(1; 2; -1)$ đến đường thẳng $AB$ với $A(0; 1; 3)$ và $B(2; 3; 1)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $\vec{AB} = (2; 2; -2) = 2(1; 1; -1)$, $\vec{AM} = (1; 1; -4)$.

• $[\vec{AM}, \vec{u}] = (3; -3; 0) \Rightarrow |[\vec{AM}, \vec{u}]| = 3\sqrt{2}$. $|\vec{u}| = \sqrt{3}$.

• $d(M, AB) = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Góc giữa hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng)

Cho $d_1 \perp (P)$ và $d_2 \perp (Q)$. Biết góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng $40^\circ$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Vì $d_1 \perp (P) \Rightarrow \vec{u}_1 = \vec{n}_1$ và $d_2 \perp (Q) \Rightarrow \vec{u}_2 = \vec{n}_2$.

• Góc giữa hai mặt phẳng bằng đúng góc giữa hai đường thẳng pháp tuyến: $\theta = 40^\circ$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 đường thẳng vuông góc)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z}{1}$ và $d_2: \frac{x-1}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{1}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $M_1(0; 1; 0), \vec{u}_1 = (1; 0; 1)$; $M_2(1; 0; 2), \vec{u}_2 = (0; 1; 1)$.

• $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] = (-1; -1; 1) \Rightarrow |[\vec{u}_1, \vec{u}_2]| = \sqrt{3}$. $\vec{M_1 M_2} = (1; -1; 2)$.

• Tích hỗn hợp: $-1(1) - 1(-1) + 1(2) = 2 \Rightarrow d(d_1, d_2) = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Dạng 5: Hình chiếu vuông góc & Điểm đối xứng

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Tìm $H \in (P)$ hoặc $H \in d$ thỏa mãn vectơ vuông góc. Điểm đối xứng $A' = 2H - A$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng tọa độ)

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ và điểm đối xứng $A'$ của $A(3; -4; 5)$ qua mặt phẳng $(Oyz)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Hình chiếu vuông góc lên $(Oyz)$ giữ nguyên $y, z$ và cho $x = 0 \Rightarrow H(0; -4; 5)$.

• Điểm đối xứng $A'$ đổi dấu hoành độ $x \Rightarrow A'(-3; -4; 5)$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng tổng quát)

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $M(1; 4; -2)$ lên mặt phẳng $(P): x + 2y - z + 1 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Đường thẳng $MH \perp (P): \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 4 + 2t \\ z = -2 - t \end{cases}$.

• Thay vào $(P)$: $(1+t) + 2(4+2t) - (-2-t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Rightarrow t = -2$.

• Tọa độ hình chiếu $H(-1; 0; 0)$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Điểm đối xứng của gốc tọa độ qua mặt phẳng)

Tìm tọa độ điểm $O'$ đối xứng với gốc tọa độ $O(0;0;0)$ qua mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z - 9 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $OH \perp (P): \begin{cases} x = 2t \\ y = -t \\ z = 2t \end{cases}$. Thay vào $(P)$: $2(2t) - (-t) + 2(2t) - 9 = 0 \Rightarrow 9t = 9 \Rightarrow t = 1$.

• Hình chiếu $H(2; -1; 2)$. Điểm đối xứng $O' = 2H = (4; -2; 4)$.

Dạng 6: Bài toán Cực trị & Mô hình thực tế THPT Quốc Gia

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức tam giác $|MA - MB| \le AB \le MA + MB$ hoặc đưa về bài toán hình chiếu vuông góc để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

🔍 Ví dụ 6.1 (Tìm điểm M thuộc mặt phẳng sao cho MA + MB nhỏ nhất)

Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 4; 5)$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $(Oxy)$. Tìm điểm $M \in (Oxy)$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Điểm đối xứng của $A(1;2;3)$ qua $(Oxy)$ là $A'(1; 2; -3)$ (khác phía với $B$).

• Khi đó $MA + MB = MA' + MB \ge A'B$. Dấu '=' xảy ra khi $M = A'B \cap (Oxy)$.

• Đường thẳng $A'B: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 2t \\ z = -3 + 8t \end{cases}$. Cho $z = 0 \Rightarrow t = 3/8 \Rightarrow M(7/4; 11/4; 0)$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Tìm m để khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đạt max)

Cho điểm $A(1; 2; 1)$ và đường thẳng $d$ thay đổi đi qua $O(0;0;0)$. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách $d(A, d)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $d$. Ta có $d(A, d) = AH \le OA$.

• Giá trị lớn nhất bằng $OA = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$. Dấu '=' xảy ra khi $d \perp OA$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Bài toán định vị sóng vệ tinh GPS thực tế)

Ba trạm thu phát sóng $A(0;0;0), B(6;0;0), C(0;8;0)$ (đơn vị: km). Một điện thoại $M(x;y;z)$ nhận tín hiệu cách $A$ 5km, cách $B$ 5km và nằm trên mặt đất $(Oxy): z = 0$. Xác định vị trí của $M$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Vì $M \in (Oxy) \Rightarrow z = 0 \Rightarrow M(x; y; 0)$.

• $MA^2 = x^2 + y^2 = 25$. $MB^2 = (x-6)^2 + y^2 = 25 \Rightarrow x^2 - 12x + 36 + y^2 = 25$.

• Thay $x^2+y^2=25 \Rightarrow 25 - 12x + 36 = 25 \Rightarrow 12x = 36 \Rightarrow x = 3$.

• $y^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow y = 4$ hoặc $y = -4$. Tọa độ $M(3; 4; 0)$ hoặc $M(3; -4; 0)$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn tổng ôn toàn bộ Chương 5.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Mặt phẳng $(P): 4x - 3y + 5z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Đường thẳng $d: \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 3}{3}$ có một VCP là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2(2)x + 2(1)y - 2(1)z - 6 = 0$ có tâm $I$ và bán kính $R$ lần lượt là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Khoảng cách từ điểm $A(1; 1; 2)$ đến mặt phẳng $(P): x - 2y + 2z + 1 = 0$ bằng:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Góc giữa hai mặt phẳng $(P): x + y - 1 = 0$ và $(Q): y + z + 2 = 0$ bằng:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Giao điểm của đường thẳng $d: \begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 + 3t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P): x + y + z - 9 = 0$ có tọa độ là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Phương trình mặt phẳng đi qua $A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4)$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Hình chiếu vuông góc của $M(1; 3; 2)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Hai đường thẳng $d_1, d_2$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai VCP $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ của chúng thỏa mãn:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ khi khoảng cách $d$ từ tâm $I$ đến $(P)$ thỏa mãn:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Tổng ôn Chương 5 Oxyz

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm tổng ôn ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Đề kiểm tra tổng hợp Chương 5 (45 Phút - Ma trận chuẩn)

📝 Đề kiểm tra 45 phút Hình học Oxyz (Phân loại 4 mức độ)

Câu 1 (Nhận biết - 2.0 điểm). Trong không gian Oxyz, cho $A(1; 2; -1)$ và $B(3; 0; 1)$.

a) Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn $AB$ và vectơ $\vec{AB}$.

b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$.

💡Xem lời giải Câu 1

a) $I(2; 1; 0)$, $\vec{AB} = (2; -2; 2) = 2(1; -1; 1)$.

b) $1(x-2) - 1(y-1) + 1(z-0) = 0 \Leftrightarrow x - y + z - 1 = 0$.

Câu 2 (Thông hiểu - 3.0 điểm). Cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-1}$ và mặt phẳng $(P): x + 2y + z - 5 = 0$.

a) Tìm giao điểm $H$ của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$.

b) Tính góc $\alpha$ giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$.

💡Xem lời giải Câu 2

a) $d: \begin{cases} x = 1+2t \\ y = t \\ z = -2-t \end{cases} \Rightarrow (1+2t) + 2t + (-2-t) - 5 = 0 \Rightarrow 3t = 6 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow H(5; 2; -4)$.

b) $\sin \alpha = \frac{|2(1) + 1(2) + (-1)(1)|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^\circ$.

Câu 3 (Vận dụng - 3.0 điểm). Cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$.

a) Xác định tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M_0(2; -1; 4) \in (S)$.

💡Xem lời giải Câu 3

a) Tâm $I(1; -2; 3)$, $R = \sqrt{1 + 4 + 9 - 5} = 3$.

b) $\vec{IM_0} = (1; 1; 1) \Rightarrow (Q): 1(x-2) + 1(y+1) + 1(z-4) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 5 = 0$.

Câu 4 (Vận dụng cao - 2.0 điểm). Cho điểm $A(2; 1; 4)$ và mặt phẳng $(P): x + y + z - 1 = 0$. Tìm tọa độ điểm $M \in (P)$ sao cho độ dài $AM$ nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

💡Xem lời giải Câu 4

• $AM_{\min} = d(A, (P)) = \frac{|2 + 1 + 4 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.

• $M$ là hình chiếu của $A$ lên $(P) \Rightarrow M(0; -1; 2)$.