Bài 17: Phương trình mặt cầu

I. Lý thuyết trọng tâm Phương trình Mặt cầu

1. Khái niệm & Phương trình dạng chính đống

⚡ Phương trình dạng chính đống của Mặt cầu

Mặt cầu $(S)$ tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R > 0$ có phương trình dạng chính đống:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$

2. Phương trình dạng khai triển & Điều kiện tồn tại

⚡ Phương trình dạng khai triển

Phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$.

Khi đó mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.

3. Vị trí tương đối của Mặt cầu với MP & ĐT

📌 Giao tuyến giữa Mặt phẳng (P) và Mặt cầu (S)

Gọi $h = d(I, (P))$ là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$:

$h > R$: $(P)$ không cắt mặt cầu.
$h = R$: $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu tại $H$ (khi đó $(P)$ là mặt phẳng tiếp diện).
$h < R$: $(P)$ cắt mặt cầu theo giao tuyến là **đường tròn** có bán kính $r = \sqrt{R^2 - h^2}$.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây mô phỏng thiết diện đường tròn giao tuyến bán kính $r = sqrt{R^2 - h^2}$ của mặt phẳng $(P)$ với mặt cầu $(S)$.

💡 Mô phỏng 1: Thiết diện cắt mặt cầu R = 5 tại h = 3 sinh ra đường tròn r = 4.

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Xác định tâm I và bán kính R từ phương trình mặt cầu

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Dạng chính đống $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$: Tâm $I(a; b; c)$, bán kính $R = \sqrt{R^2}$.
Dạng khai triển $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$:
- Tọa độ tâm $I(a; b; c)$ với $a = \frac{\text{hệ số } x}{-2}$, $b = \frac{\text{hệ số } y}{-2}$, $c = \frac{\text{hệ số } z}{-2}$.
- Bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$ (với điều kiện $a^2+b^2+c^2-d > 0$).

🔍 Ví dụ 1.1 (Xác định tâm I và R từ phương trình khai triển)

Xác định tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z - 3 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $a = \frac{-4}{-2} = 2$; $b = \frac{6}{-2} = -3$; $c = \frac{-2}{-2} = 1$; $d = -3$.

• Tâm mặt cầu: $I(2; -3; 1)$.

• Bán kính $R = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2 - (-3)} = \sqrt{4 + 9 + 1 + 3} = \sqrt{17}$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Xác định tâm I và R khi hệ số x^2, y^2, z^2 khác 1)

Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S): 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 8x + 4y + 12z - 6 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Chia cả hai vế cho 2 để đưa về hệ số bậc hai bằng 1:

$$x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y + 6z - 3 = 0$$

• $a = 2, b = -1, c = -3, d = -3 \Rightarrow$ Tâm $I(2; -1; -3)$.

• Bán kính $R = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2 - (-3)} = \sqrt{4 + 1 + 9 + 3} = \sqrt{17}$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Tìm điều kiện m để phương trình là phương trình mặt cầu)

Tìm $m$ để phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2mx + 4y + 2z + m^2 + 2m - 3 = 0$ là phương trình mặt cầu.

💡Xem lời giải chi tiết

• $a = m, b = -2, c = -1, d = m^2 + 2m - 3$.

• Điều kiện mặt cầu $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$:

$$m^2 + 4 + 1 - (m^2 + 2m - 3) > 0 \Leftrightarrow -2m + 8 > 0 \Leftrightarrow m < 4$$

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu biết tâm I & điểm thuộc mặt cầu / đường kính AB

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Mặt cầu qua A: Bán kính $R = IA = \sqrt{(x_A-a)^2 + (y_A-b)^2 + (z_A-c)^2}$.
Mặt cầu đường kính AB: Tâm $I$ là trung điểm $AB$, bán kính $R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}}{2}$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Mặt cầu đường kính AB)

Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$ với $A(2; 1; -1)$ và $B(4; 3; 3)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Trung điểm $I(3; 2; 1)$. $\vec{AB} = (2; 2; 4) \Rightarrow AB = \sqrt{4+4+16} = 2\sqrt{6}$.

• Bán kính $R = \sqrt{6} \Rightarrow R^2 = 6$.

• Phương trình $(S): (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 6$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Mặt cầu tâm I và đi qua điểm A)

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(-1; 2; 3)$ và đi qua điểm $A(2; 6; 3)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $R^2 = IA^2 = (2 - (-1))^2 + (6 - 2)^2 + (3 - 3)^2 = 3^2 + 4^2 + 0 = 9 + 16 = 25$.

• Phương trình mặt cầu $(S): (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 25$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Mặt cầu tâm I và đi qua gốc tọa độ O)

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(3; -1; 4)$ và đi qua gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Bán kính $R^2 = IO^2 = 3^2 + (-1)^2 + 4^2 = 9 + 1 + 16 = 26$.

• Phương trình mặt cầu $(S): (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2 = 26$.

Dạng 3: Mặt cầu tiếp xúc với Mặt phẳng / Mặt phẳng tọa độ

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Mặt cầu tiếp xúc với (P): Bán kính $R = d(I, (P)) = \frac{|Aa + Bb + Cc + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
Tiếp xúc mặt phẳng tọa độ: Với $(Oxy) \Rightarrow R = |c|$; với $(Oyz) \Rightarrow R = |a|$; với $(Ozx) \Rightarrow R = |b|$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Mặt cầu tâm I tiếp xúc với MP tổng quát)

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; -2; 3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z + 1 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $R = d(I, (P)) = \frac{|2(1) - (-2) + 2(3) + 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{11}{3}$.

• Phương trình mặt cầu $(S): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = \frac{121}{9}$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ)

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(2; -3; 4)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$. Khoảng cách $d(I, (Oxy)) = |z_I| = |4| = 4$.

• Vì $(S)$ tiếp xúc với $(Oxy)$ nên $R = 4 \Rightarrow R^2 = 16$.

• Phương trình $(S): (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 4)^2 = 16$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Mặt cầu tiếp xúc với trục hoành Ox)

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(1; 2; 3)$ tiếp xúc với trục $Ox$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Khoảng cách từ tâm $I(1; 2; 3)$ đến trục $Ox$ là $R = d(I, Ox) = \sqrt{y_I^2 + z_I^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$.

• Phương trình mặt cầu $(S): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 13$.

Dạng 4: Phương trình Mặt phẳng Tiếp diện tại 1 điểm

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Bước 1: Xác định tọa độ tâm $I(a; b; c)$ của mặt cầu và điểm tiếp xúc $M_0(x_0; y_0; z_0) \in (S)$.
Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện $(\alpha)$ là $\vec{n} = \vec{IM_0} = (x_0-a; y_0-b; z_0-c)$.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M_0$ có VPT $\vec{IM_0}$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0 cơ bản)

Cho mặt cầu $(S): (x-1)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 9$ và điểm $M_0(2; 1; 4) \in (S)$. Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện $(\alpha)$ của $(S)$ tại $M_0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Tâm $I(1; -1; 2)$. VPT $\vec{n} = \vec{IM_0} = (1; 2; 2)$.

• Phương trình $(\alpha): 1(x - 2) + 2(y - 1) + 2(z - 4) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 12 = 0$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu dạng khai triển)

Cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z = 0$ và điểm $N(0; 0; 0) \in (S)$. Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện tại $N$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Tâm $I(1; 2; -1)$. $\vec{IN} = (0-1; 0-2; 0-(-1)) = (-1; -2; 1) = -(1; 2; -1)$.

• Phương trình tiếp diện qua $N(0;0;0)$: $1(x-0) + 2(y-0) - 1(z-0) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - z = 0$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Viết phương trình các MP song song với MP khác và tiếp xúc mặt cầu)

Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 = 9$ và song song với mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 5 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Tâm $O(0;0;0)$, $R = 3$. Mặt phẳng song song có dạng $(\alpha): x + 2y - 2z + D = 0$ ($D \ne 5$).

• $(\alpha)$ tiếp xúc với $(S) \Leftrightarrow d(O, (\alpha)) = 3 \Leftrightarrow \frac{|D|}{\sqrt{1+4+4}} = 3 \Leftrightarrow |D| = 9 \Rightarrow D = \pm 9$.

• Kết luận có 2 mặt phẳng: $x + 2y - 2z + 9 = 0$ và $x + 2y - 2z - 9 = 0$.

Dạng 5: Đường tròn giao tuyến của Mặt phẳng và Mặt cầu

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Khoảng cách $h = d(I, (P))$: Tính khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$.
Bán kính đường tròn $r$: Áp dụng định lý Pythagoras: $r = \sqrt{R^2 - h^2}$.
Diện tích & Chu vi đường tròn: $S_{\text{tròn}} = \pi r^2$, $C_{\text{tròn}} = 2\pi r$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Tính bán kính đường tròn giao tuyến)

Cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 11 = 0$ và mặt phẳng $(P): 2x + 2y - z + 18 = 0$. Tính bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến.

💡Xem lời giải chi tiết

• Tâm $I(1; -2; 3)$, $R = 5$. $h = d(I, (P)) = \frac{|2(1) + 2(-2) - 3 + 18|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{13}{3}$.

• Bán kính đường tròn $r = \sqrt{R^2 - h^2} = \sqrt{25 - \frac{169}{9}} = \frac{2\sqrt{14}}{3}$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Tìm tâm H của đường tròn giao tuyến)

Tìm tọa độ tâm $H$ của đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng $(P): x + y + z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 = 9$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Tâm $H$ của đường tròn giao tuyến chính là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu $O(0;0;0)$ lên $(P)$.

• Đường thẳng $OH \perp (P): \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases}$. Thay vào $(P)$: $t + t + t - 3 = 0 \Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1$.

• Vậy tọa độ tâm đường tròn giao tuyến là $H(1; 1; 1)$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Tính diện tích thiết diện lớn nhất của mặt phẳng và mặt cầu)

Cho mặt cầu $(S): (x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 16$. Tính diện tích thiết diện lớn nhất tạo bởi một mặt phẳng đi qua tâm $I$ cắt mặt cầu.

💡Xem lời giải chi tiết

• Mặt phẳng đi qua tâm $I$ có khoảng cách $h = 0$, khi đó thiết diện là đường tròn lớn có bán kính $r_{\max} = R = 4$.

• Diện tích thiết diện lớn nhất: $S_{\max} = \pi R^2 = \pi (4^2) = 16\pi$ (đvdt).

Dạng 6: Mặt cầu đi qua 4 điểm & Bài toán ứng dụng thực tế

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Mặt cầu ngoại tiếp 4 điểm O, A, B, C: Dùng dạng khai triển $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Thay lần lượt tọa độ 4 điểm để lập hệ 4 phương trình 4 ẩn $a, b, c, d$.
Ứng dụng thực tế: Chuyển khoảng cách vệ tinh, tầm chiếu sáng thành khoảng cách $d(V, S) = OV - R$.

🔍 Ví dụ 6.1 (Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC)

Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm $O(0;0;0), A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;6)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Dạng tổng quát $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.

• $O(0;0;0) \Rightarrow d = 0$. $A(2;0;0) \Rightarrow a = 1$. $B(0;4;0) \Rightarrow b = 2$. $C(0;0;6) \Rightarrow c = 3$.

• Phương trình mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z = 0$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Bài toán Vệ tinh định vị Trái Đất)

Trái Đất có dạng mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 = 6400^2$ (km). Một vệ tinh $V(0; 0; 10000)$ ở độ cao trên cực Bắc. Tính khoảng cách ngắn nhất từ vệ tinh $V$ tới bề mặt Trái Đất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Khoảng cách từ vệ tinh đến tâm Trái Đất $O(0;0;0)$ là $OV = 10000$ km.

• Bán kính Trái Đất $R = 6400$ km.

• Khoảng cách ngắn nhất $h = OV - R = 10000 - 6400 = 3600$ km.

🔍 Ví dụ 6.3 (Bài toán diện tích bóng che ngọn đèn chiếu sáng)

Một nguồn sáng điểm $S(0; 0; 6)$ chiếu sáng quả cầu bán kính $R = 2$ m có tâm $I(0; 0; 3)$. Tính diện tích bóng che của quả cầu trên mặt đất $(Oxy)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Ta có $SI = 6 - 3 = 3$ m và $SO = 6$ m.

• Theo hình học đồng dạng: bán kính bóng che trên sàn $r = R \cdot \frac{SO}{SI} = 2 \cdot \frac{6}{3} = 4$ m.

• Diện tích bóng che $S = \pi r^2 = 16\pi \approx 50,27 \text{ m}^2$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Mặt cầu $(S): (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 16$ có tâm $I$ và bán kính $R$ là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Phương trình mặt cầu tâm $I(3; 1; 3)$ và bán kính $R = 4$ là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2(3)x + 2(3)y - 2(2)z - 2 = 0$ có bán kính $R$ bằng:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Mặt cầu tâm $I(1; 2; 3)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$ có bán kính $R$ bằng:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho hai điểm $A(2; 2; 1)$ và $B(4; 3; 3)$. Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I$ có tọa độ là:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Điều kiện để phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 = 9$ và mặt phẳng $(P): z = 2$. Thiết diện của $(P)$ và $(S)$ là một đường tròn có bán kính $r$ bằng:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại điểm $M_0 \in (S)$ được gọi là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Mặt cầu $(S)$ tâm $O(0;0;0)$ đi qua điểm $A(3; 2; 2)$ có phương trình là:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Mặt cầu $(S)$ có bán kính $R = 4$. Diện tích mặt cầu $S_{\text{mc}}$ và thể tích khối cầu $V_{\text{kc}}$ lần lượt là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Phương trình mặt cầu

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Phương trình mặt cầu (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Viết phương trình mặt cầu $(S)$ trong các trường hợp sau:

a) Tâm $I(-1; 2; 3)$ và bán kính $R = 4$.

b) Tâm $I(2; 0; -1)$ và đi qua điểm $A(4; 2; 1)$.

💡Xem lời giải Bài 1

a) $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 16$.

b) $R^2 = IA^2 = (4-2)^2 + (2-0)^2 + (1-(-1))^2 = 12 \Rightarrow (x-2)^2 + y^2 + (z+1)^2 = 12$.

Bài 2 (Thông hiểu — Mặt cầu & Mặt phẳng). Cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0$ và mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z + d = 0$.

a) Tìm $d$ để mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P)$ và cắt $(S)$ theo một đường tròn có bán kính $r = 2$.

💡Xem lời giải Bài 2

• Tâm $I(1; 2; -1)$, $R = 3$.

a) $d(I, (P)) = 3 \Rightarrow d = 11$ hoặc $d = -7$.

b) $r = 2 \Rightarrow h = \sqrt{9-4} = \sqrt{5} \Rightarrow |d-2| = 3\sqrt{5} \Rightarrow d = 2 \pm 3\sqrt{5}$.

Bài 3 (Vận dụng — Tiếp diện chứa đường thẳng). Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $d: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S): (x-2)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 1$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $(\alpha)$ qua $M(1;0;-1) \in d$ có VPT $\vec{n} = (A; B; C)$. Vì $d \subset (\alpha) \Rightarrow B = -A - 2C$.

• Tiếp xúc $(S)$ tâm $I(2;1;0), R=1 \Rightarrow d(I, (\alpha)) = 1 \Rightarrow A^2 + 2AC + 2C^2 = 0$.

Bài 4 (Vận dụng cao — Cực trị khoảng cách đến mặt cầu). Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S): (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 9$ và điểm $A(4; 6; 3)$. Tìm tọa độ điểm $M \in (S)$ sao cho độ dài $AM$ đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

💡Xem lời giải Bài 4

• $IA = 5 > R = 3$. $AM_{\min} = 5 - 3 = 2$; $AM_{\max} = 5 + 3 = 8$.

• $M_{\min} = (14/5; 22/5; 3)$. $M_{\max} = (-4/5; -2/5; 3)$.

Bài 5 (Thực tế Vật lí / Bóng đèn chiếu sáng). Một nguồn sáng điểm $S(0; 0; 6)$ chiếu sáng quả cầu $R = 2$ m tâm $I(0; 0; 3)$. Tính diện tích bóng che trên mặt đất $(Oxy)$.

💡Xem lời giải Bài 5

• Bán kính bóng che $r = R \cdot \frac{SO}{SI} = 2 \cdot \frac{6}{3} = 4$ m.

• Diện tích bóng che $S_{\text{bóng}} = 16\pi \approx 50,27 \text{ m}^2$.