Bài 16: Góc trong không gian

I. Lý thuyết trọng tâm Góc & Khoảng cách

1. Góc giữa hai Đường thẳng

⚡ Công thức Góc giữa hai đường thẳng

Góc $\varphi$ giữa $d_1, d_2$ có VCP $\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)$ và $\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)$ ($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$):

$$\cos \varphi = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|} = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$$

2. Góc giữa Đường thẳng và Mặt phẳng

⚡ Công thức Góc giữa Đường thẳng và Mặt phẳng

Góc $\alpha$ giữa đường thẳng $d$ (VCP $\vec{u} = (a; b; c)$) và mặt phẳng $(P)$ (VPT $\vec{n} = (A; B; C)$) ($0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$):

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|} = \frac{|Aa + Bb + Cc|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

3. Góc giữa hai Mặt phẳng

⚡ Công thức Góc giữa hai Mặt phẳng

Góc $\theta$ giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có VPT $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$):

$$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$$

4. Khoảng cách từ điểm đến ĐT & giữa 2 ĐT chéo nhau

📌 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d

$$d(M, d) = \frac{|[\vec{M_0 M}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|}$$

⚡ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

$$d(d_1, d_2) = \frac{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2}|}{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2]|}$$

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây mô phỏng mối quan hệ góc $\alpha$ giữa đường thẳng $d$ và hình chiếu $d'$ trên mặt phẳng $(P)$.

💡 Mô phỏng 1: Góc α = 30° giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Bước 1: Tìm hai vectơ chỉ phương $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ của hai đường thẳng.
Bước 2: Áp dụng công thức $\cos(d_1, d_2) = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|}$.
Bước 3: Suy ra số đo góc $\varphi = \arccos(\dots)$ ($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$).

🔍 Ví dụ 1.1 (Tính góc giữa hai đường thẳng chính đống)

Tính góc giữa hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{0}$ và $d_2: \frac{x}{0} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+1}{1}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VCP $\vec{u}_1 = (1; 1; 0)$ và $\vec{u}_2 = (0; 1; 1)$.

$$\cos(d_1, d_2) = \frac{|1(0) + 1(1) + 0(1)|}{\sqrt{1+1+0} \cdot \sqrt{0+1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

• Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng $\varphi = 60^\circ$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Tính góc giữa hai đường thẳng tham số)

Tính góc giữa hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + \sqrt{2}t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 2 - t' \\ y = 1 + t' \\ z = 5 + \sqrt{2}t' \end{cases}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VCP $\vec{u}_1 = (1; -1; \sqrt{2})$ và $\vec{u}_2 = (-1; 1; \sqrt{2})$.

$$\cos(d_1, d_2) = \frac{|1(-1) + (-1)(1) + \sqrt{2}(\sqrt{2})|}{\sqrt{1+1+2} \cdot \sqrt{1+1+2}} = \frac{|-1 - 1 + 2|}{2 \cdot 2} = 0$$

• Kết luận: Hai đường thẳng vuông góc với nhau, góc $\varphi = 90^\circ$.

🔍 Ví dụ 1.3 (Tính góc giữa đường thẳng và trục hoành Ox)

Tính góc giữa đường thẳng $d: \frac{x-1}{\sqrt{3}} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{0}$ và trục $Ox$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VCP của $d$ là $\vec{u} = (\sqrt{3}; 1; 0)$. Vectơ đơn vị trục $Ox$ là $\vec{i} = (1; 0; 0)$.

$$\cos(d, Ox) = \frac{|\sqrt{3}(1) + 1(0) + 0(0)|}{\sqrt{3 + 1 + 0} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

• Suy ra góc giữa $d$ và trục $Ox$ bằng $30^\circ$.

Dạng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Bước 1: Tìm VCP $\vec{u} = (a; b; c)$ của đường thẳng $d$ và VPT $\vec{n} = (A; B; C)$ của $(P)$.
Bước 2: Áp dụng công thức $\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|}$.
Bước 3: Suy ra góc $\alpha = \arcsin(\dots)$ ($0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$).

🔍 Ví dụ 2.1 (Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cơ bản)

Tính góc $\alpha$ giữa đường thẳng $d: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z+1}{1}$ và mặt phẳng $(P): x + y + 2 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VCP $\vec{u} = (1; 0; 1)$ và VPT $\vec{n} = (1; 1; 0)$.

$$\sin \alpha = \frac{|1(1) + 0(1) + 1(0)|}{\sqrt{1+0+1} \cdot \sqrt{1+1+0}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

• Suy ra góc giữa $d$ và $(P)$ bằng $\alpha = 30^\circ$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng)

Tính góc giữa đường thẳng $d: \begin{cases} x = 2t \\ y = -t \\ z = 2t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z - 5 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VCP $\vec{u} = (2; -1; 2)$ và VPT $\vec{n} = (2; -1; 2)$. Vì $\vec{u} = \vec{n}$ nên $d \perp (P)$.

• $\sin \alpha = \frac{|4 + 1 + 4|}{3 \cdot 3} = \frac{9}{9} = 1 \Rightarrow \alpha = 90^\circ$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Góc giữa đường thẳng đi qua 2 điểm và mặt phẳng đoạn chắn)

Tính góc giữa đường thẳng $AB$ với $A(0;0;0), B(1;1;1)$ và mặt phẳng $(Q): \frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VCP $\vec{AB} = (1; 1; 1)$. Phương trình $(Q): 2x + 2y + z - 2 = 0 \Rightarrow \vec{n}_Q = (2; 2; 1)$.

$$\sin \alpha = \frac{|1(2) + 1(2) + 1(1)|}{\sqrt{1+1+1} \cdot \sqrt{4+4+1}} = \frac{5}{\sqrt{3} \cdot 3} = \frac{5\sqrt{3}}{9} \Rightarrow \alpha \approx 74,2^\circ$$

Dạng 3: Tính góc giữa hai mặt phẳng

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Bước 1: Tìm hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ của hai mặt phẳng.
Bước 2: Tính $\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$.
Bước 3: Suy ra số đo góc $\theta = \arccos(\dots)$ ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$).

🔍 Ví dụ 3.1 (Tính góc giữa hai mặt phẳng cơ bản)

Tính góc $\theta$ giữa hai mặt phẳng $(P): x + z + 1 = 0$ và $(Q): y + z - 2 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VPT $\vec{n}_1 = (1; 0; 1)$ và $\vec{n}_2 = (0; 1; 1)$.

$$\cos \theta = \frac{|1(0) + 0(1) + 1(1)|}{\sqrt{1+0+1} \cdot \sqrt{0+1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

• Suy ra góc giữa hai mặt phẳng bằng $\theta = 60^\circ$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Góc giữa mặt phẳng nghiêng và mặt phẳng tọa độ Oxy)

Tính góc giữa mặt phẳng $(\alpha): x + y + \sqrt{2}z - 5 = 0$ và mặt phẳng $(Oxy)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VPT $\vec{n}_\alpha = (1; 1; \sqrt{2})$ và VPT $\vec{k} = (0; 0; 1)$ của $(Oxy)$.

$$\cos \theta = \frac{|1(0) + 1(0) + \sqrt{2}(1)|}{\sqrt{1 + 1 + 2} \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

• Suy ra góc $\theta = 45^\circ$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Tính góc giữa 2 mặt phẳng vuông góc)

Chứng minh hai mặt phẳng $(P): 2x - y + z - 1 = 0$ và $(Q): x + 3y + z + 4 = 0$ vuông góc với nhau.

💡Xem lời giải chi tiết

• $\vec{n}_1 = (2; -1; 1)$ và $\vec{n}_2 = (1; 3; 1)$.

• Tích vô hướng: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2(1) + (-1)(3) + 1(1) = 2 - 3 + 1 = 0$.

• Do đó $\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ$ (Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc).

Dạng 4: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Cách 1 (Dùng công thức tích có hướng): $d(M, d) = \frac{|[\vec{M_0 M}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|}$ với $M_0 \in d$.
Cách 2 (Dùng tọa độ hình chiếu H): Tìm $H \in d$ sao cho $MH \perp d$, sau đó tính $d(M, d) = MH = \sqrt{(x_H-x_M)^2 + (y_H-y_M)^2 + (z_H-z_M)^2}$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng tích có hướng)

Tính khoảng cách từ điểm $M(2; 3; 1)$ đến đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2t \end{cases}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Lấy $M_0(1; -1; 0) \in d$, VCP $\vec{u} = (2; 1; 2)$. $\vec{M_0 M} = (1; 4; 1)$.

• $[\vec{M_0 M}, \vec{u}] = (7; 0; -7) \Rightarrow |[\vec{M_0 M}, \vec{u}]| = \sqrt{49 + 0 + 49} = 7\sqrt{2}$.

• $|\vec{u}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 \Rightarrow d(M, d) = \frac{7\sqrt{2}}{3}$.

🔍 Ví dụ 4.2 (Khoảng cách từ điểm đến trục tọa độ Oz)

Tính khoảng cách từ điểm $A(3; 4; 5)$ đến trục $Oz$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Hình chiếu vuông góc của $A(3; 4; 5)$ lên trục $Oz$ là điểm $H(0; 0; 5)$.

• Khoảng cách $d(A, Oz) = AH = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-1}$ và $d_2: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{-1}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Vì $d_1 \parallel d_2$ nên khoảng cách $d(d_1, d_2) = d(M_1, d_2)$ với $M_1(1; 0; 0) \in d_1$.

• Lấy $M_2(0; 2; 1) \in d_2$, VCP $\vec{u} = (1; 2; -1)$. $\vec{M_2 M_1} = (1; -2; -1)$.

• $[\vec{M_2 M_1}, \vec{u}] = (4; 0; 4) \Rightarrow |[\vec{M_2 M_1}, \vec{u}]| = \sqrt{16+0+16} = 4\sqrt{2}$.

• $|\vec{u}| = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6} \Rightarrow d(d_1, d_2) = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Dạng 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Bước 1: Xác định $M_1 \in d_1, \vec{u}_1$ và $M_2 \in d_2, \vec{u}_2$.
Bước 2: Tính tích có hướng $[\vec{u}_1, \vec{u}_2]$ và tích hỗn hợp $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2}$.
Bước 3: Áp dụng công thức $d(d_1, d_2) = \frac{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2}|}{|[\vec{u}_1, \vec{u}_2]|}$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Khoảng cách 2 đường chéo nhau cơ bản)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = -1 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 0 \\ y = t' \\ z = 1 \end{cases}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $M_1(1; 2; -1) \in d_1, \vec{u}_1 = (1; 0; 0)$ và $M_2(0; 0; 1) \in d_2, \vec{u}_2 = (0; 1; 0)$.

• $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] = (0; 0; 1) \Rightarrow |[\vec{u}_1, \vec{u}_2]| = 1$. $\vec{M_1 M_2} = (-1; -2; 2)$.

• Tích hỗn hợp $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2} = 0(-1) + 0(-2) + 1(2) = 2$.

• $d(d_1, d_2) = \frac{|2|}{1} = 2$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Khoảng cách giữa hai đường vuông góc nhau)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-1}$ và $d_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $M_1(1; 0; 0), \vec{u}_1 = (1; 2; -1)$ và $M_2(0; 1; 2), \vec{u}_2 = (2; 1; 1)$.

• $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] = (3; -3; -3) = 3(1; -1; -1) \Rightarrow |[\vec{u}_1, \vec{u}_2]| = 3\sqrt{3}$.

• $\vec{M_1 M_2} = (-1; 1; 2)$. Tích hỗn hợp $3(-1) - 3(1) - 3(2) = -12$.

• $d(d_1, d_2) = \frac{|-12|}{3\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Khoảng cách 2 đường thẳng thuộc 2 mặt phẳng song song)

Cho $d_1 \subset (P): x + 2y - 2z + 1 = 0$ và $d_2 \subset (Q): x + 2y - 2z - 5 = 0$. Tính khoảng cách $d(d_1, d_2)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Vì $(P) \parallel (Q)$ nên khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1 \subset (P)$ và $d_2 \subset (Q)$ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$:

$$d(d_1, d_2) = d((P), (Q)) = \frac{|1 - (-5)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{6}{3} = 2$$

Dạng 6: Bài toán tham số m & Bài toán thực tế

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Giải phương trình chứa m: Thay các vectơ pháp tuyến/chỉ phương vào công thức góc $\cos \phi, \sin \alpha$ hoặc khoảng cách $d = k$ để lập phương trình theo $m$.
Mô hình thực tế: Chuyển các mặt phẳng mái nhà, góc nghiêng tấm pin mặt trời thành góc giữa hai mặt phẳng Oxyz.

🔍 Ví dụ 6.1 (Tìm m để hai mặt phẳng tạo với nhau góc 60 độ)

Tìm $m$ để hai mặt phẳng $(P): x + my - z + 1 = 0$ và $(Q): mx - y + z - 3 = 0$ tạo với nhau góc $60^\circ$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $\vec{n}_1 = (1; m; -1), \vec{n}_2 = (m; -1; 1)$.

$$\cos 60^\circ = \frac{|1(m) + m(-1) + (-1)(1)|}{\sqrt{1 + m^2 + 1} \cdot \sqrt{m^2 + 1 + 1}} = \frac{|-1|}{m^2 + 2} = \frac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow m^2 + 2 = 2 \Leftrightarrow m^2 = 0 \Rightarrow m = 0$$

🔍 Ví dụ 6.2 (Góc nghiêng của tấm pin năng lượng mặt trời)

Một tấm pin mặt trời phẳng $(P): x + y + \sqrt{2}z - 10 = 0$ lắp trên mái nhà. Tính góc nghiêng $\theta$ của tấm pin so với mặt đất $(Oxy): z = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VPT $\vec{n}_P = (1; 1; \sqrt{2})$ và VPT $\vec{n}_{Oxy} = (0; 0; 1)$.

$$\cos \theta = \frac{|1(0) + 1(0) + \sqrt{2}(1)|}{\sqrt{1 + 1 + 2} \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

• Suy ra góc nghiêng tấm pin $\theta = 45^\circ$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Góc nghiêng cầu treo trong kỹ thuật xây dựng)

Một dây cáp treo chịu lực có VCP $\vec{u}_1 = (2; 1; 2)$ và dây cáp thứ hai có VCP $\vec{u}_2 = (1; 2; 2)$. Tính góc nghiêng $\phi$ giữa hai dây cáp.

💡Xem lời giải chi tiết

• $|\vec{u}_1| = \sqrt{4+1+4} = 3$ và $|\vec{u}_2| = \sqrt{1+4+4} = 3$.

$$\cos \phi = \frac{|2(1) + 1(2) + 2(2)|}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9} \Rightarrow \phi = \arccos(8/9) \approx 27,27^\circ$$

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Góc giữa hai đường thẳng $d_1, d_2$ lần lượt có VCP $\vec{u}_1 = (1; 1; 0)$ và $\vec{u}_2 = (0; 1; 1)$ bằng:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Góc giữa đường thẳng $d$ có VCP $\vec{u} = (1; 0; 1)$ và mặt phẳng $(P)$ có VPT $\vec{n} = (0; 1; 1)$ bằng:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Góc giữa hai mặt phẳng $(P): x + z + 1 = 0$ và $(Q): y + z - 2 = 0$ bằng:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Khoảng cách từ điểm $M(2; 1; 3)$ đến đường thẳng $\Delta$ qua $A(0;0;0)$ có VCP $\vec{u} = (1; 0; 0)$ bằng:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Hai mặt phẳng $(P): x - y + z - 1 = 0$ và $(Q): x + y + 4z + 3 = 0$ vuông góc với nhau khi:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi góc giữa $d$ và $(P)$ bằng:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho hai đường thẳng $d_1 \parallel d_2$. Góc giữa $d_1$ và $d_2$ bằng:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0;0)$ đến mặt phẳng $(P): 2x - 2y + 2z - 8 = 0$ bằng:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Cho $\cos(d, (P)) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Góc $\phi$ giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Công thức tính góc $\theta$ giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có các VPT $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Góc & Khoảng cách

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Góc & Khoảng cách (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Tính góc trong các trường hợp sau:

a) Góc giữa hai đường thẳng $d_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{1}$ và $d_2: \frac{x}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$.

b) Góc giữa mặt phẳng $(P): x + y - 2 = 0$ và $(Q): y + z + 1 = 0$.

💡Xem lời giải Bài 1

a) $\cos \phi = \frac{|1(0)+0(1)+1(1)|}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \phi = 60^\circ$.

b) $\cos \theta = \frac{|1(0)+1(1)+0(1)|}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = 60^\circ$.

Bài 2 (Thông hiểu — Góc giữa Đường thẳng & Mặt phẳng). Tính góc $\alpha$ giữa đường thẳng $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P): x + y + 4 = 0$.

💡Xem lời giải Bài 2

• $\vec{u} = (2; -1; 2), \vec{n} = (1; 1; 0)$.

$$\sin \alpha = \frac{|2(1) + (-1)(1) + 2(0)|}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+1+0}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6} \Rightarrow \alpha \approx 13,63^\circ$$

Bài 3 (Vận dụng — Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng). Cho điểm $A(3; 1; 2)$ và đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 2t \end{cases}$. Tính khoảng cách $d(A, \Delta)$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $M_0(0; 1; 0) \in \Delta, \vec{u} = (1; 1; 2)$. $\vec{M_0 A} = (3; 0; 2)$.

• $[\vec{M_0 A}, \vec{u}] = (-2; -4; 3) \Rightarrow |[\vec{M_0 A}, \vec{u}]| = \sqrt{29}$. $|\vec{u}| = \sqrt{6} \Rightarrow d(A, \Delta) = \sqrt{\frac{29}{6}}$.

Bài 4 (Vận dụng cao — Khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-1}$ và $d_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1}$.

💡Xem lời giải Bài 4

• $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] = 3(1; -1; -1) \Rightarrow |[\vec{u}_1, \vec{u}_2]| = 3\sqrt{3}$. $\vec{M_1 M_2} = (-1; 1; 2)$.

• Tích hỗn hợp $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2} = -12 \Rightarrow d(d_1, d_2) = \frac{|-12|}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Bài 5 (Thực tế Xây dựng / Cầu treo). Trong một thiết kế cầu treo, dây cáp thứ nhất có hướng $\vec{u}_1 = (2; 1; 2)$ và dây cáp thứ hai có hướng $\vec{u}_2 = (1; 2; 2)$. Tính góc giữa hai dây cáp.

💡Xem lời giải Bài 5

• $\cos \phi = \frac{|2(1) + 1(2) + 2(2)|}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9} \Rightarrow \phi = \arccos(8/9) \approx 27,27^\circ$.