Bài 15: Phương trình đường thẳng

I. Lý thuyết trọng tâm Phương trình Đường thẳng

1. Khái niệm Vectơ Chỉ phương (VCP)

⚡ Khái niệm Vectơ Chỉ phương

Vectơ $\vec{u} \ne \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương (VCP) của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$.

• Chú ý: Nếu $\vec{u}$ là VCP của $\Delta$ thì mọi $k\vec{u}$ ($k \ne 0$) cũng là VCP của $\Delta$.

2. Phương trình Tham số & Chính đống

⚡ Phương trình Tham số của Đường thẳng

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có VCP $\vec{u} = (a; b; c)$ có phương trình tham số:

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

📌 Phương trình chính đống (với $a, b, c \ne 0$)

Nếu $a, b, c$ đều khác 0, ta có **phương trình chính đống** của đường thẳng $\Delta$:

$$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$$

3. Vị trí tương đối trong Không gian Oxyz

Hai đường thẳng $d_1, d_2$: Song song ($[\vec{u}_1, \vec{u}_2] = \vec{0}, M_1 \notin d_2$), Trùng nhau ($M_1 \in d_2$), Cắt nhau ($[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2} = 0$), Chéo nhau ($[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2} \ne 0$).
Đường thẳng $d$ và Mặt phẳng $(P)$: Song song ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0, M_0 \notin (P)$), Nằm trên ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0, M_0 \in (P)$), Cắt nhau ($\vec{u} \cdot \vec{n} \ne 0$).

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây mô phỏng vị trí tương đối giữa đường thẳng $d$ và giao điểm $H$ với mặt phẳng $(P)$.

💡 Mô phỏng 1: Đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+1)/1 = (z-2)/(-1) cắt mặt phẳng (P) tại H(1; 2; 0).

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Viết phương trình tham số & chính đống của Đường thẳng

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Xác định VCP: Đường thẳng đi qua $A, B$ có VCP $\vec{u} = \vec{AB} = (x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)$.
Viết PT Tham số: $\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}$.
Viết PT Chính đống (khi $a,b,c \ne 0$): $\frac{x - x_A}{a} = \frac{y - y_A}{b} = \frac{z - z_A}{c}$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước)

Viết phương trình tham số và chính đống của đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(1; 2; -1)$ và $B(3; 0; 2)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Vectơ chỉ phương $\vec{u} = \vec{AB} = (3-1; 0-2; 2-(-1)) = (2; -2; 3)$.

• Phương trình tham số của $d$ qua $A(1; 2; -1)$: $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - 2t \\ z = -1 + 3t \end{cases}$.

• Phương trình chính đống: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{3}$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Đường thẳng đi qua 1 điểm và có VCP cho trước)

Viết phương trình chính đống của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(4; -3; 2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 5; -4)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Vì VCP có các tọa độ $a=1, b=5, c=-4$ đều khác 0 nên phương trình chính đống là:

$$\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z - 2}{-4}$$

🔍 Ví dụ 1.3 (Viết phương trình đường thẳng song song với trục tọa độ)

Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $K(2; 1; -3)$ và song song với trục $Oz$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Trục $Oz$ có vectơ đơn vị $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Vì $d \parallel Oz$ nên $d$ có VCP $\vec{u} = (0; 0; 1)$.

• Phương trình tham số của $d$ qua $K(2; 1; -3)$:

$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \\ z = -3 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng vuông góc hoặc song song

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Nếu $d \perp (P)$: VCP của đường thẳng $d$ bằng VPT của mặt phẳng $(P)$: $\vec{u}_d = \vec{n}_P = (A; B; C)$.
Nếu $d \parallel \Delta$: VCP của đường thẳng $d$ bằng VCP của $\Delta$: $\vec{u}_d = \vec{u}_\Delta$.
Nếu $d \perp d_1$ và $d \perp d_2$: VCP của $d$ là tích có hướng $\vec{u}_d = [\vec{u}_1, \vec{u}_2]$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với MP cho trước)

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2; -1; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): 3x - y + 2z + 5 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Vì $d \perp (P)$ nên VCP $\vec{u}_d$ chính là VPT $\vec{n}_P = (3; -1; 2)$.

• Phương trình tham số của $d$ qua $M(2; -1; 3)$: $\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng khác)

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $A(1; 0; -1)$ và vuông góc với cả hai đường thẳng $d_1: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{1}$ và $d_2: \frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VCP $\vec{u}_1 = (1; 2; 1)$ và $\vec{u}_2 = (2; 1; -1)$.

• VCP của $\Delta$ là $\vec{u}_\Delta = [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = (2(-1) - 1(1); 1(2) - 1(-1); 1(1) - 2(2)) = (-3; 3; -3) = -3(1; -1; 1)$.

• Phương trình tham số của $\Delta$ qua $A(1; 0; -1)$ với VCP $\vec{u}' = (1; -1; 1)$: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -t \\ z = -1 + t \end{cases}$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với giao tuyến của 2 MP)

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $P(0; 1; 2)$ và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(P): x + y - z + 1 = 0$ và $(Q): 2x - y + z - 3 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VPT $\vec{n}_P = (1; 1; -1)$ và $\vec{n}_Q = (2; -1; 1)$.

• VCP của đường thẳng giao tuyến là $\vec{u} = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q] = (1(1) - (-1)(-1); (-1)(2) - 1(1); 1(-1) - 1(2)) = (0; -3; -3) = -3(0; 1; 1)$.

• Phương trình đường thẳng $d$ qua $P(0; 1; 2)$: $\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}$.

Dạng 3: Tìm giao điểm của Đường thẳng và Mặt phẳng / Đường thẳng khác

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Giao điểm $d \cap (P)$: Biểu diễn $x, y, z$ của điểm $H \in d$ theo tham số $t$. Thay vào phương trình $(P)$ để giải tìm $t_0$, từ đó suy ra tọa độ $H$.
Giao điểm $d_1 \cap d_2$: Cho $x(t) = x(t')$ và $y(t) = y(t')$. Giải hệ 2 ẩn $t, t'$. Thay nghiệm tìm được vào $z(t), z(t')$ để kiểm tra.

🔍 Ví dụ 3.1 (Tìm giao điểm của ĐT và MP)

Tìm tọa độ giao điểm $H$ của đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P): x + 2y + z - 6 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Thay tọa độ $x, y, z$ từ $d$ vào phương trình $(P)$:

$$(1 + 2t) + 2(-1 + t) + (2 - t) - 6 = 0 \Leftrightarrow 3t - 5 = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{3}$$

• Thay $t = 5/3$ vào $d$: $x = 13/3, y = 2/3, z = 1/3 \Rightarrow H\left(\frac{13}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3}\right)$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Tìm giao điểm của 2 đường thẳng cắt nhau)

Tìm tọa độ giao điểm $I$ của hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 2 - 2t' \\ y = -2 + t' \\ z = 1 + 3t' \end{cases}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Lập hệ phương trình từ $x$ và $y$:

$$\begin{cases} 1 + t = 2 - 2t' \\ 2 + 3t = -2 + t' \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t + 2t' = 1 \\ 3t - t' = -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} t = -1 \\ t' = 1 \end{cases}$$

• Thử vào $z$: $z_1 = 3 - (-1) = 4$; $z_2 = 1 + 3(1) = 4$ (bằng nhau, thỏa mãn).

• Thay $t = -1$ vào $d_1$: $x = 0, y = -1, z = 4 \Rightarrow I(0; -1; 4)$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Giao điểm của đường thẳng với các mặt phẳng tọa độ)

Tìm tọa độ giao điểm $K$ của đường thẳng $d: \frac{x-2}{1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-1}{-1}$ với mặt phẳng $(Oxy)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$.

• Thay $z = 0$ vào phương trình chính đống: $\frac{x-2}{1} = \frac{y+3}{2} = \frac{0-1}{-1} = 1$.

• $\Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$; $y + 3 = 2(1) = 2 \Rightarrow y = -1$.

• Vậy giao điểm $K(3; -1; 0)$.

Dạng 4: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Xét 2 VCP $\vec{u}_1, \vec{u}_2$:
- Nếu $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ cùng phương: Thử điểm $M_1 \in d_1$. Nếu $M_1 \in d_2 \Rightarrow d_1 \equiv d_2$, ngược lại $d_1 \parallel d_2$.
- Nếu $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ không cùng phương: Tính tích hỗn hợp $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2}$. Nếu bằng 0 thì Cắt nhau, khác 0 thì Chéo nhau.

🔍 Ví dụ 4.1 (Xét hai đường thẳng chéo nhau)

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{3}$ và $d_2: \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{-1}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VCP $\vec{u}_1 = (2; 1; 3)$ và $\vec{u}_2 = (1; 2; -1) \Rightarrow [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = (-7; 5; 3) \ne \vec{0}$.

• $M_1(1; -1; 0) \in d_1, M_2(-1; 2; 1) \in d_2 \Rightarrow \vec{M_1 M_2} = (-2; 3; 1)$.

• Tích hỗn hợp $[\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2} = (-7)(-2) + 5(3) + 3(1) = 32 \ne 0$.

• Kết luận: Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ **chéo nhau**.

🔍 Ví dụ 4.2 (Xét hai đường thẳng song song)

Chứng minh hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{6}$ và $d_2: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{3}$ song song với nhau.

💡Xem lời giải chi tiết

• VCP $\vec{u}_1 = (2; 4; 6) = 2(1; 2; 3)$ và $\vec{u}_2 = (1; 2; 3) \Rightarrow \vec{u}_1 = 2\vec{u}_2$ (cùng phương).

• Thử $M_1(1; 2; 3) \in d_1$ vào $d_2$: $\frac{1}{1} \ne \frac{2-1}{2}$ (sai) $\Rightarrow M_1 \notin d_2$.

• Kết luận: $d_1 \parallel d_2$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Tìm tham số m để hai đường thẳng cắt nhau)

Tìm $m$ để hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 2t' \\ y = 1 - t' \\ z = 1 + t' \end{cases}$ cắt nhau.

💡Xem lời giải chi tiết

• Giải hệ 2 phương trình đầu: $\begin{cases} 1 + t = 2t' \\ 2 + t = 1 - t' \end{cases} \Rightarrow t' = -1/3 \Rightarrow t = -5/3$.

• Thay $t' = -1/3$ vào $z_2$: $z_2 = 1 + (-1/3) = 2/3$.

• Hai đường thẳng cắt nhau khi $z_1 = z_2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}$.

Dạng 5: Tìm hình chiếu vuông góc & điểm đối xứng qua ĐT/MP

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Hình chiếu H của A lên d: Điểm $H \in d \Rightarrow H(x(t); y(t); z(t))$. Cho $\vec{AH} \cdot \vec{u}_d = 0$ để giải tìm $t$.
Điểm đối xứng A' của A qua d: $H$ là trung điểm $AA' \Rightarrow A' = 2H - A$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng)

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $A(2; 1; 4)$ lên đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Vì $H \in d \Rightarrow H(1+t; 2+2t; 1+2t)$. $\vec{AH} = (t-1; 2t+1; 2t-3)$.

• $\vec{AH} \cdot \vec{u}_d = 0 \Leftrightarrow 1(t-1) + 2(2t+1) + 2(2t-3) = 0 \Leftrightarrow 9t - 5 = 0 \Rightarrow t = 5/9$.

• Tọa độ $H\left(\frac{14}{9}; \frac{28}{9}; \frac{19}{9}\right)$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng)

Tìm tọa độ điểm $A'$ đối xứng với $A(1; 3; -2)$ qua mặt phẳng $(P): x + 2y - z + 1 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Đường thẳng $AH \perp (P)$ qua $A(1;3;-2)$ có VCP $\vec{n}_P = (1; 2; -1)$: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = -2 - t \end{cases}$.

• Thay vào $(P)$: $(1+t) + 2(3+2t) - (-2-t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 6t + 10 = 0 \Rightarrow t = -5/3$.

• Hình chiếu $H(-2/3; -1/3; -1/3)$. Điểm đối xứng $A' = 2H - A = (-7/3; -11/3; 4/3)$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Tìm điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng)

Tìm tọa độ điểm $B'$ đối xứng với $B(0; 1; 2)$ qua đường thẳng $d: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z+1}{1}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $H \in d \Rightarrow H(t; 1; -1+t)$. $\vec{BH} = (t; 0; t-3)$. VCP $\vec{u}_d = (1; 0; 1)$.

• $\vec{BH} \cdot \vec{u}_d = 0 \Leftrightarrow 1(t) + 0 + 1(t-3) = 0 \Leftrightarrow 2t - 3 = 0 \Rightarrow t = 3/2$.

• $H(3/2; 1; 1/2)$. Điểm đối xứng $B' = 2H - B = (3; 1; -1)$.

Dạng 6: Lập phương trình đường thẳng giao tuyến & Mô hình thực tế

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Giao tuyến $d = (P) \cap (Q)$: VCP $\vec{u}_d = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q]$. Tìm 1 điểm chung $M_0$ bằng cách giải hệ phương trình $(P), (Q)$ với $z = 0$.
Bài toán thực tế: Chuyển các vectơ chỉ phương vận tốc, quỹ đạo bay hoặc các điểm mốc thành phương trình đường thẳng Oxyz.

🔍 Ví dụ 6.1 (Lập phương trình đường thẳng giao tuyến của 2 MP)

Viết phương trình tham số đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P): x + y - z + 1 = 0$ và $(Q): 2x - y + z - 4 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• VCP $\vec{u} = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q] = (0; -3; -3) = -3(0; 1; 1)$.

• Cho $z = 0$, giải hệ $\begin{cases} x + y + 1 = 0 \\ 2x - y - 4 = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 1, y = -2 \Rightarrow M(1; -2; 0) \in d$.

• Phương trình tham số: $\begin{cases} x = 1 \\ y = -2 + t \\ z = t \end{cases}$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Bài toán Quỹ đạo bay máy bay cất cánh)

Một máy bay cất cánh từ sân bay $A(1; 2; 0)$ đi theo đường thẳng có VCP $\vec{u} = (4; 3; 1)$ (đơn vị: km). Khi máy bay đạt độ cao $z = 10$ km thì nằm ở tọa độ nào?

💡Xem lời giải chi tiết

• Phương trình tham số chuyển động của máy bay: $\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = t \end{cases}$.

• Khi độ cao $z = 10 \Rightarrow t = 10$.

• Thay $t = 10$: $x = 1 + 4(10) = 41$; $y = 2 + 3(10) = 32$. Tọa độ máy bay là $M(41; 32; 10)$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Bài toán hai tia laser gặp nhau trong không gian)

Hai tia laser phát ra từ hai nguồn $S_1(0; 0; 0)$ và $S_2(5; 5; 0)$ đi theo các đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = 2t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 5 - t' \\ y = 5 - t' \\ z = t' \end{cases}$. Hỏi hai tia laser có cắt nhau không?

💡Xem lời giải chi tiết

• Cho $x$ và $z$ bằng nhau: $\begin{cases} t = 5 - t' \\ 2t = t' \end{cases} \Rightarrow t = 5 - 2t \Rightarrow 3t = 5 \Rightarrow t = 5/3, t' = 10/3$.

• Kiểm tra với $y$: $y_1 = 5/3$; $y_2 = 5 - 10/3 = 5/3$ (bằng nhau, thỏa mãn).

• Kết luận: Hai tia laser cắt nhau tại điểm $I\left(\frac{5}{3}; \frac{5}{3}; \frac{10}{3}\right)$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Đường thẳng $d: \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 1 - 3t \\ z = 2 + 3t \end{cases}$ có một vectơ chỉ phương là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Phương trình chính đống của đường thẳng đi qua điểm $M(2; 4; 2)$ và có VCP $\vec{u} = (1; 3; 3)$ là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(4; 5; 6)$ có VCP là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Đường thẳng $d: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{4}$ đi qua điểm nào dưới đây?

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Đường thẳng $d$ đi qua $A(3; 2; 1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): 4x + 4y - 3z + 5 = 0$ có VCP là:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Giao điểm của đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = 2 - t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P): x + y + z - 6 = 0$ có tọa độ là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$ và $d_2: \frac{x-2}{2} = \frac{y-4}{4} = \frac{z-6}{6}$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Hình chiếu vuông góc của điểm $A(1; 2; 2)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Cho hai đường thẳng $d_1, d_2$ có VCP $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ và lấy $A \in d_1, B \in d_2$. Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ **chéo nhau** khi và chỉ khi:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Phương trình đường thẳng đi qua $M(0;0;0)$ và song song với đường thẳng $\Delta: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{4}$ là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Phương trình đường thẳng

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Phương trình đường thẳng (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Lập phương trình tham số của đường thẳng $d$ trong các trường hợp:

a) Đi qua điểm $A(2; -1; 5)$ và có VCP $\vec{u} = (3; 4; -2)$.

b) Đi qua hai điểm $M(0; 1; 2)$ và $N(3; -2; 1)$.

💡Xem lời giải Bài 1

a) $\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 + 4t \\ z = 5 - 2t \end{cases}$.

b) $\vec{MN} = (3; -3; -1) \Rightarrow \begin{cases} x = 3t \\ y = 1 - 3t \\ z = 2 - t \end{cases}$.

Bài 2 (Thông hiểu — Giao điểm & Vị trí tương đối). Cho $d: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P): 2x - y + z - 9 = 0$.

a) Chứng minh đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng $(P)$. Tìm tọa độ giao điểm $K$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $(P)$.

💡Xem lời giải Bài 2

a) Thay vào $(P)$: $2(2+t) - (1-t) + (3+2t) - 9 = 0 \Leftrightarrow 5t - 3 = 0 \Rightarrow t = 3/5$. Giao điểm $K(13/5; 2/5; 21/5)$.

b) $\vec{n}_Q = [\vec{u}_d, \vec{n}_P] = (1(-1)-2(1); 2(2)-1(1); 1(1)-(-1)2) = (-3; 3; 3) = -3(1; -1; -1)$. $(Q)$ qua $M(2;1;3): x - y - z + 2 = 0$.

Bài 3 (Vận dụng — Đường vuông góc chung của 2 đường chéo nhau). Cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 0 \\ z = -1 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 0 \\ y = t' \\ z = 1 \end{cases}$. Tìm tọa độ hai điểm $A \in d_1, B \in d_2$ sao cho $AB$ là đoạn vuông góc chung.

💡Xem lời giải Bài 3

• $A(1+t; 0; -1)$, $B(0; t'; 1) \Rightarrow \vec{AB} = (-1-t; t'; 2)$.

• $AB \perp d_1 \Rightarrow \vec{AB} \cdot \vec{u}_1 = 0 \Leftrightarrow -1-t = 0 \Rightarrow t = -1 \Rightarrow A(0; 0; -1)$.

• $AB \perp d_2 \Rightarrow \vec{AB} \cdot \vec{u}_2 = 0 \Leftrightarrow t' = 0 \Rightarrow B(0; 0; 1)$.

Bài 4 (Vận dụng cao — Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn khoảng cách tối thiểu). Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến điểm $A(1; 2; 3)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

💡Xem lời giải Bài 4

• $M \in d \Rightarrow M(1+2t; t; -1-t)$. $AM$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$.

• $\vec{AM} = (2t; t-2; -4-t)$. $\vec{u}_d = (2; 1; -1)$. $\vec{AM} \cdot \vec{u}_d = 0$:

$$2(2t) + 1(t-2) - 1(-4-t) = 0 \Leftrightarrow 6t + 2 = 0 \Rightarrow t = -1/3 \Rightarrow M\left(1/3; -1/3; -2/3\right)$$.

Bài 5 (Thực tế Giao thông / Hàng không). Hai máy bay di chuyển dọc theo hai đường thẳng $d_1: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 + 4t \\ z = 5 \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 1 + 4t' \\ y = 2 + 3t' \\ z = 5 \end{cases}$ trên cùng một mặt phẳng độ cao $z = 5$ km. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường bay.

💡Xem lời giải Bài 5

• Giải hệ phương trình $x$ và $y$: $t = 1, t' = 1 \Rightarrow I(5; 5; 5)$.