Bài 14: Phương trình mặt phẳng

I. Lý thuyết trọng tâm Phương trình Mặt phẳng

1. Khái niệm Vectơ Pháp tuyến (VPT) & Cặp VCP

⚡ 1. Vectơ pháp tuyến (VPT)

Vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến (VPT) của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$.

• Chú ý: Nếu $\vec{n}$ là một VPT của $(\alpha)$ thì mọi vectơ $k\vec{n}$ ($k \ne 0$) cũng đều là VPT của $(\alpha)$.

📌 2. Cặp vectơ chỉ phương & Tích có hướng

Hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ không cùng phương được gọi là **cặp vectơ chỉ phương** của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu giá của chúng song song hoặc nằm trong $(\alpha)$.

Một vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của $(\alpha)$ được xác định bởi tích có hướng của hai VCP:

$$\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}] = (u_2 v_3 - u_3 v_2; u_3 v_1 - u_1 v_3; u_1 v_2 - u_2 v_1)$$

2. Phương trình tổng quát & Phương trình đoạn chắn

⚡ Phương trình tổng quát của Mặt phẳng

• Phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ ($A^2 + B^2 + C^2 > 0$) được gọi là **phương trình tổng quát** của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A; B; C)$.

• Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có VPT $\vec{n} = (A; B; C)$ có phương trình dạng khai triển:

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

📌 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại $A(a; 0; 0)$, $B(0; b; 0)$, $C(0; 0; c)$ với $a, b, c \ne 0$ có phương trình đoạn chắn:

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$

3. Vị trí tương đối & Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

⚡ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $(P): A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ và $(Q): A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$:

$(P) \parallel (Q)$ (Song song): $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \ne \frac{D_1}{D_2}$.
$(P) \equiv (Q)$ (Trùng nhau): $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$.
$(P) \perp (Q)$ (Vuông góc): $A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$.

⚡ Công thức Khoảng cách d(M0, (P))

Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ là:

$$d(M_0, (P)) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây mô phỏng mặt phẳng $(\alpha)$ cắt ba trục tọa độ tại $A(2; 0; 0)$, $B(0; 3; 0)$, $C(0; 0; 4)$ và vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (6; 4; 3)$.

💡 Mô phỏng 1: Mặt phẳng đoạn chắn (P): x/2 + y/3 + z/4 = 1 và khoảng cách d(O, (P)).

III. Các dạng toán trọng tâm (Mỗi dạng kèm ít nhất 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Viết phương trình MP khi biết điểm và Vectơ Pháp tuyến

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Bước 1: Xác định tọa độ điểm $M_0(x_0; y_0; z_0) \in (P)$ và VPT $\vec{n} = (A; B; C)$.
Bước 2: Thay vào công thức: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.
Bước 3: Nhân phá ngoặc và thu gọn về dạng $Ax + By + Cz + D = 0$.

🔍 Ví dụ 1.1 (Viết phương trình MP khi biết điểm và VPT trực tiếp)

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2; -1; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 2; -4)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Áp dụng công thức mặt phẳng qua $A(2; -1; 3)$ với VPT $\vec{n} = (3; 2; -4)$:

$$3(x - 2) + 2(y - (-1)) - 4(z - 3) = 0$$

$$\Leftrightarrow 3x - 6 + 2y + 2 - 4z + 12 = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 4z + 8 = 0$$

🔍 Ví dụ 1.2 (Viết phương trình MP đi qua 1 điểm và song song với MP khác)

Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1; 3; -2)$ và song song với mặt phẳng $(\beta): 2x - y + 4z + 5 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Vì $(\alpha) \parallel (\beta)$ nên $(\alpha)$ nhận VPT $\vec{n}_\beta = (2; -1; 4)$ làm VPT.

• Phương trình $(\alpha)$ đi qua $M(1; 3; -2)$:

$$2(x - 1) - 1(y - 3) + 4(z - (-2)) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 4z + 9 = 0$$

🔍 Ví dụ 1.3 (Viết phương trình MP đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng)

Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $N(-2; 0; 1)$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ với $A(1; 2; 3)$ và $B(3; -1; 5)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Vì $(Q) \perp AB$ nên $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \vec{AB} = (3-1; -1-2; 5-3) = (2; -3; 2)$.

• Phương trình $(Q)$ qua $N(-2; 0; 1)$:

$$2(x - (-2)) - 3(y - 0) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 2z + 2 = 0$$

Dạng 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm & Phương trình đoạn chắn

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Trường hợp 1 (3 điểm tùy ý A, B, C): Tính $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$. VPT của $(ABC)$ là $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]$. Viết phương trình qua $A$.
Trường hợp 2 (3 điểm thuộc 3 trục tọa độ A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)): Dùng công thức phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Phương trình đoạn chắn đi qua 3 điểm trên các trục)

Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ biết $A(3; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Sử dụng phương trình đoạn chắn:

$$\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{4} = 1$$

• Quy đồng mẫu số chung là 12:

$$4x - 6y + 3z - 12 = 0$$

🔍 Ví dụ 2.2 (Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng)

Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ đi qua 3 điểm $A(1; 0; 2), B(2; 1; 1), C(0; 2; 3)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Ta có $\vec{AB} = (1; 1; -1)$ và $\vec{AC} = (-1; 2; 1)$.

• VPT $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = (1(1) - (-1)2; (-1)(-1) - 1(1); 1(2) - 1(-1)) = (3; 0; 3) = 3(1; 0; 1)$.

• Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ qua $A(1; 0; 2)$ với VPT $\vec{n}' = (1; 0; 1)$:

$$1(x - 1) + 0(y - 0) + 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + z - 3 = 0$$

🔍 Ví dụ 2.3 (Bài toán tìm tọa độ các giao điểm của MP với 3 trục)

Cho mặt phẳng $(P): 2x - 3y + 4z - 12 = 0$. Tìm tọa độ các giao điểm $A, B, C$ của $(P)$ với các trục $Ox, Oy, Oz$ và tính thể tích khối tứ diện $OABC$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Cho $y = 0, z = 0 \Rightarrow 2x - 12 = 0 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow A(6; 0; 0)$.

• Cho $x = 0, z = 0 \Rightarrow -3y - 12 = 0 \Rightarrow y = -4 \Rightarrow B(0; -4; 0)$.

• Cho $x = 0, y = 0 \Rightarrow 4z - 12 = 0 \Rightarrow z = 3 \Rightarrow C(0; 0; 3)$.

• Thể tích tứ diện $OABC$: $V = \frac{1}{6} OA \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3 = 12$ (đvtt).

Dạng 3: Viết phương trình MP bằng Tích có hướng [u, v]

📌 Phương pháp giải Dạng 3

Bước 1: Tìm hai vectơ không cùng phương $\vec{u}, \vec{v}$ có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(P)$.
Bước 2: Tính tích có hướng $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm $M_0 \in (P)$ với VPT $\vec{n}$.

🔍 Ví dụ 3.1 (MP qua 1 điểm và song song với 2 vectơ cho trước)

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1; 2; 3)$ và song song với hai vectơ $\vec{u} = (2; 1; -1)$ và $\vec{v} = (1; -2; 1)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Tích có hướng $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}] = (1(1) - (-1)(-2); (-1)(1) - 2(1); 2(-2) - 1(1)) = (-1; -3; -5)$.

• Chọn $\vec{n}_P = (1; 3; 5)$. Phương trình $(P)$ qua $M(1; 2; 3)$:

$$1(x - 1) + 3(y - 2) + 5(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + 5z - 22 = 0$$

🔍 Ví dụ 3.2 (MP qua 2 điểm A, B và vuông góc với MP khác)

Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A(1; 0; 1), B(2; 3; 0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta): x + y - 2z + 1 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Ta có $\vec{AB} = (1; 3; -1)$ và VPT $\vec{n}_\beta = (1; 1; -2)$.

• $\vec{n}_Q = [\vec{AB}, \vec{n}_\beta] = (3(-2) - (-1)1; (-1)1 - 1(-2); 1(1) - 3(1)) = (-5; 1; -2) = -(5; -1; 2)$.

• Phương trình $(Q)$ qua $A(1;0;1)$ với VPT $\vec{n}' = (5; -1; 2)$:

$$5(x - 1) - 1(y - 0) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y + 2z - 7 = 0$$

🔍 Ví dụ 3.3 (MP đi qua 1 điểm và chứa đường thẳng giao tuyến)

Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $K(2; 1; -1)$ và chứa đường thẳng $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{3}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Lấy điểm $M(1; -1; 0) \in d$ và VCP $\vec{u}_d = (2; 1; 3)$.

• Ta có $\vec{MK} = (2-1; 1-(-1); -1-0) = (1; 2; -1)$.

• VPT $\vec{n}_R = [\vec{u}_d, \vec{MK}] = (1(-1) - 3(2); 3(1) - 2(-1); 2(2) - 1(1)) = (-7; 5; 3)$.

• Phương trình $(R)$ qua $K(2; 1; -1)$:

$$-7(x - 2) + 5(y - 1) + 3(z + 1) = 0 \Leftrightarrow -7x + 5y + 3z + 12 = 0 \Leftrightarrow 7x - 5y - 3z - 12 = 0$$

Dạng 4: Phương trình Mặt phẳng Trung trực của đoạn thẳng

📌 Phương pháp giải Dạng 4

Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$: $I\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.
Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là $\vec{n} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua $I$ và nhận $\vec{AB}$ làm VPT.

🔍 Ví dụ 4.1 (Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cơ bản)

Cho $A(1; 3; -2)$ và $B(3; -1; 4)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực $(\alpha)$ của đoạn thẳng $AB$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Trung điểm $I$ của $AB$: $I(2; 1; 1)$.

• Vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \vec{AB} = (2; -4; 6) = 2(1; -2; 3)$.

• Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua $I(2; 1; 1)$ có VPT $\vec{n}' = (1; -2; 3)$:

$$1(x - 2) - 2(y - 1) + 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3z - 3 = 0$$

🔍 Ví dụ 4.2 (Mặt phẳng trung trực cắt các trục tọa độ)

Cho hai điểm $M(0; 2; 4)$ và $N(4; 0; 2)$. Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng trung trực đoạn $MN$ với trục $Ox$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Trung điểm $I$ của $MN$: $I(2; 1; 3)$.

• Vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \vec{MN} = (4; -2; -2) = 2(2; -1; -1)$.

• Phương trình mặt phẳng trung trực $(P): 2(x - 2) - 1(y - 1) - 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - z = 0$.

• Giao điểm với $Ox$: Cho $y = 0, z = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow A(0; 0; 0)$ (gốc tọa độ $O$).

🔍 Ví dụ 4.3 (Tìm điểm cách đều hai điểm cho trước thuộc mặt phẳng)

Tìm tập hợp các điểm $P(x; y; z)$ trong không gian cách đều hai điểm $A(1; 0; 0)$ và $B(0; 2; 0)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai điểm $A, B$ chính là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$.

• Trung điểm $I(1/2; 1; 0)$ và $\vec{AB} = (-1; 2; 0)$.

• Phương trình: $-1(x - 1/2) + 2(y - 1) + 0(z - 0) = 0 \Leftrightarrow -x + 2y - 3/2 = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y + 3 = 0$.

Dạng 5: Vị trí tương đối & Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Xét vị trí tương đối giữa (P) và (Q): So sánh các tỷ số hệ số $\frac{A_1}{A_2}, \frac{B_1}{B_2}, \frac{C_1}{C_2}, \frac{D_1}{D_2}$.
Khoảng cách từ M0 đến (P): Áp dụng công thức $d(M_0, (P)) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
Khoảng cách giữa 2 MP song song (P) và (Q): Lấy điểm $M \in (Q)$ rồi tính $d(M, (P))$ hoặc dùng $\frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

🔍 Ví dụ 5.1 (Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng)

Tính khoảng cách từ điểm $M(2; 4; -1)$ đến mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z - 5 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Áp dụng công thức khoảng cách:

$$d(M, (P)) = \frac{|2(2) - 4 + 2(-1) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|4 - 4 - 2 - 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-7|}{3} = \frac{7}{3}$$

🔍 Ví dụ 5.2 (Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song)

Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P): x - 2y + 2z + 3 = 0$ và $(Q): x - 2y + 2z - 6 = 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Chọn $M(0; 0; 3) \in (Q)$ vì $0 - 2(0) + 2(3) - 6 = 0$.

• Khoảng cách $d((P), (Q)) = d(M, (P)) = \frac{|0 - 2(0) + 2(3) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{9}{3} = 3$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Xét vị trí tương đối phụ thuộc vào tham số m)

Tìm $m$ để hai mặt phẳng $(P): mx + 2y - z + 1 = 0$ và $(Q): 2x + (m+1)y - 2z + 3 = 0$ vuông góc với nhau.

💡Xem lời giải chi tiết

• VPT $\vec{n}_P = (m; 2; -1)$ và $\vec{n}_Q = (2; m+1; -2)$.

• $(P) \perp (Q) \Leftrightarrow \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0$:

$$m(2) + 2(m+1) + (-1)(-2) = 0 \Leftrightarrow 2m + 2m + 2 + 2 = 0 \Leftrightarrow 4m + 4 = 0 \Rightarrow m = -1$$

Dạng 6: Bài toán Ứng dụng thực tế & Bài toán chứa tham số m

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Bước 1: Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz gắn liền với mô hình thực tế (gốc O, mặt phẳng sàn, các bức tường).
Bước 2: Chuyển các điểm và yêu cầu thực tế thành bài toán lập phương trình mặt phẳng hoặc tính khoảng cách $d(M, (P))$.
Bước 3: Giải bài toán hình học Oxyz và quy đổi kết quả về đơn vị thực tế (mét, km,...).

🔍 Ví dụ 6.1 (Bài toán ứng dụng thiết kế mái nhà nghiêng)

Một mái nhà nghiêng được thiết kế đi qua các điểm $A(0; 0; 3), B(4; 0; 2), C(0; 6; 2)$ (đơn vị: mét). Tìm khoảng cách từ điểm $D(2; 3; 0)$ trên mặt đất đến mặt phẳng mái nhà $(ABC)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• $\vec{AB} = (4; 0; -1)$ và $\vec{AC} = (0; 6; -1)$.

• VPT $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = (6; 4; 24) = 2(3; 2; 12)$.

• Phương trình $(ABC)$ qua $A(0;0;3)$: $3x + 2y + 12z - 36 = 0$.

• Khoảng cách $d(D, (ABC)) = \frac{|3(2) + 2(3) + 12(0) - 36|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 12^2}} = \frac{24}{\sqrt{157}} \approx 1,91$ m.

🔍 Ví dụ 6.2 (Tìm m để khoảng cách từ điểm đến MP bằng giá trị cho trước)

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $A(1; 2; 3)$ đến mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z + m = 0$ bằng 2.

💡Xem lời giải chi tiết

• Ta có $d(A, (P)) = \frac{|2(1) - 2 + 2(3) + m|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|m + 6|}{3}$.

• Theo giả thiết $\frac{|m + 6|}{3} = 2 \Leftrightarrow |m + 6| = 6$.

• TH1: $m + 6 = 6 \Rightarrow m = 0$.

• TH2: $m + 6 = -6 \Rightarrow m = -12$.

• Vậy $m = 0$ hoặc $m = -12$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Bài toán Radar sân bay quét vùng không gian)

Một trắc địa viên điều khiển thiết bị đo tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$. Vùng giới hạn đo đạc là mặt phẳng $(P): 3x + 4y + 12z - 130 = 0$. Tính độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất nối từ trắc địa viên $O$ đến vùng giới hạn $(P)$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Độ dài ngắn nhất chính là khoảng cách từ $O(0;0;0)$ đến $(P)$:

$$d(O, (P)) = \frac{|3(0) + 4(0) + 12(0) - 130|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}} = \frac{130}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{130}{\sqrt{169}} = \frac{130}{13} = 10 \text{ (đơn vị độ dài)}$$

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Mặt phẳng $(P): 3x - 3y + 4z - 8 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1; 3; 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 1; 2)$ là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua ba điểm $A(5; 0; 0)$, $B(0; 5; 0)$ và $C(0; 0; 2)$ là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Khoảng cách từ điểm $M(2; 1; 2)$ đến mặt phẳng $(P): 2x + 2y + 2z + 1 = 0$ bằng:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Hai mặt phẳng $(P): 3x + 3y - 3z + 1 = 0$ và $(Q): 6x + 6y - 6z + 9 = 0$ có vị trí tương đối như thế nào?

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho hai mặt phẳng $(P): x + 3y - z + 1 = 0$ và $(Q): 4x - y + z - 3 = 0$. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P): x - 2y + 2z + 1 = 0$ và $(Q): x - 2y + 2z + 11 = 0$ bằng:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Tích có hướng $[\vec{u}, \vec{v}]$ của hai vectơ không cùng phương $\vec{u}, \vec{v}$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ là:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Mặt phẳng đi qua $A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3)$ có một vectơ pháp tuyến cùng phương với:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Phương trình mặt phẳng

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Phương trình mặt phẳng (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng $(P)$ trong các trường hợp sau:

a) Đi qua $M(1; -2; 4)$ và vuông góc với trục $Oz$.

b) Đi qua điểm $A(2; 1; -3)$ và song song với mặt phẳng $(Q): 3x - y + 2z - 7 = 0$.

💡Xem lời giải Bài 1

a) Mặt phẳng vuông góc với $Oz$ có VPT $\vec{k} = (0;0;1) \Rightarrow z - 4 = 0$.

b) $(P) \parallel (Q) \Rightarrow$ VPT $\vec{n}_P = (3; -1; 2)$. Phương trình $3(x-2) - (y-1) + 2(z+3) = 0 \Leftrightarrow 3x - y + 2z + 1 = 0$.

Bài 2 (Thông hiểu — Lập phương trình 3 điểm & Đoạn chắn). Cho ba điểm $M(2;0;0), N(0; -3; 0), P(0;0;5)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $(MNP)$.

b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(MNP)$.

💡Xem lời giải Bài 2

a) $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{5} = 1 \Leftrightarrow 15x - 10y + 6z - 30 = 0$.

b) $d(O, (MNP)) = \frac{|-30|}{\sqrt{15^2 + (-10)^2 + 6^2}} = \frac{30}{\sqrt{225 + 100 + 36}} = \frac{30}{\sqrt{361}} = \frac{30}{19}$.

Bài 3 (Vận dụng — Viết phương trình qua 2 điểm và vuông góc với MP). Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua hai điểm $A(1; 0; 1)$ và $B(2; 3; 0)$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $(\beta): x + y - 2z + 1 = 0$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $\vec{AB} = (1; 3; -1)$, $\vec{n}_\beta = (1; 1; -2)$.

• $\vec{n}_\alpha = [\vec{AB}, \vec{n}_\beta] = (3(-2) - (-1)1; (-1)1 - 1(-2); 1(1) - 3(1)) = (-5; 1; -2) = -(5; -1; 2)$.

• Phương trình $(\alpha)$ qua $A(1;0;1)$: $5(x-1) - (y-0) + 2(z-1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y + 2z - 7 = 0$.

Bài 4 (Vận dụng cao — Tìm tập hợp điểm / Mặt phẳng phân giác). Lập phương trình hai mặt phẳng phân giác của các góc tạo bởi hai mặt phẳng $(P): x + 2y - 2z + 1 = 0$ và $(Q): 2x - y + 2z - 3 = 0$.

💡Xem lời giải Bài 4

• Điểm $M(x;y;z)$ thuộc mặt phẳng phân giác khi $d(M, (P)) = d(M, (Q))$:

$$\frac{|x + 2y - 2z + 1|}{3} = \frac{|2x - y + 2z - 3|}{3} \Leftrightarrow |x + 2y - 2z + 1| = |2x - y + 2z - 3|$$

• Trường hợp 1: $x + 2y - 2z + 1 = 2x - y + 2z - 3 \Leftrightarrow x - 3y + 4z - 4 = 0$.

• Trường hợp 2: $x + 2y - 2z + 1 = -(2x - y + 2z - 3) \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0$.

Bài 5 (Thực tế Vật lí / Radar sân bay). Một đài radar được đặt tại vị trí $O(0;0;0)$. Sóng radar phát ra quét một vùng không gian được giới hạn bởi mặt phẳng $(P): 2x + 3y + 6z - 42 = 0$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ đài radar $O$ đến mặt phẳng quét $(P)$.

💡Xem lời giải Bài 5

• Khoảng cách ngắn nhất từ $O(0;0;0)$ đến $(P)$ chính là khoảng cách vuông góc $d(O, (P))$:

$$d(O, (P)) = \frac{|2(0) + 3(0) + 6(0) - 42|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{42}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{42}{\sqrt{49}} = \frac{42}{7} = 6 \text{ (đơn vị độ dài)}$$