Ôn chương 4 - Toán 12
Hệ thống hóa toàn bộ lý thuyết Chương 4 Toán 12, bảng tổng hợp công thức Nguyên hàm, Tích phân, Diện tích S, Thể tích V, sơ đồ tư duy JSXGraph, 5 dạng toán thi THPT và đề kiểm tra tự luận có đáp án.
I. Sơ đồ hệ thống hóa & Bảng công thức trọng tâm
Chương IV (Nguyên hàm & Tích phân) là một trong những chương trọng tâm chiếm tỷ trọng lớn trong đề thi THPT Quốc gia. Hệ thống kiến thức gồm 3 trụ cột chính: Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng hình học (Diện tích $S$ & Thể tích $V$).
1. Bảng công thức Họ nguyên hàm & Tích phân
| Hàm số $f(x)$ | Họ nguyên hàm $\int f(x) dx$ | Tích phân Newton - Leibniz $\int_a^b f(x) dx$ |
|---|---|---|
| Hàm Lũy thừa $x^n$ | $$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$$ | $$\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) \Big|_a^b = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}$$ |
| Hàm Phân thức $1/x$ | $$\ln|x| + C$$ | $$\ln|x| \Big|_a^b = \ln\left|\frac{b}{a}\right|$$ |
| Hàm Mũ $e^x, a^x$ | $$e^x + C \quad;\quad \frac{a^x}{\ln a} + C$$ | $$e^x \Big|_a^b = e^b - e^a \quad;\quad \frac{a^b - a^a}{\ln a}$$ |
| Hàm Lượng giác $\sin x, \cos x$ | $$-\cos x + C \quad;\quad \sin x + C$$ | $$-\cos x \Big|_a^b \quad;\quad \sin x \Big|_a^b$$ |
2. Bảng công thức Ứng dụng hình học (Diện tích $S$ & Thể tích $V$)
- 1. Diện tích 1 đường cong và Ox: $S = \int_a^b |f(x)| dx$.
- 2. Diện tích giữa 2 đường cong: $S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.
- 3. Thể tích vật thể có diện tích thiết diện S(x): $V = \int_a^b S(x) dx$.
- 4. Thể tích khối tròn xoay 1 đường quay quanh Ox: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.
- 5. Thể tích khối tròn xoay 2 đường quay quanh Ox: $V = \pi \int_a^b \left| [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right| dx$.
II. Sơ đồ tư duy tương tác & Đồ thị trực quan (JSXGraph)
Đồ thị tương tác dưới đây mô phỏng mối liên kết giữa khái niệm Đạo hàm, Nguyên hàm và Tích phân hình học trên một mô hình tích phân trực quan.
💡 Sơ đồ tổng hợp: Tương quan giữa đường cong f(x), diện tích S(x) và họ nguyên hàm F(x).
III. 5 Dạng toán trọng tâm thi THPT Quốc gia
Bài toán mẫu: Tính tích phân $I = \int_0^1 x e^{x^2} dx$.
Xem lời giải chi tiết Dạng 1
• Đặt $u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{du}{2}$.
• Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow u = 0$; $x = 1 \Rightarrow u = 1$.
$$I = \int_0^1 e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^u \Big|_0^1 = \frac{e - 1}{2}$$
Bài toán mẫu: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int_0^4 f(x) dx = 12$. Tính tích phân $I = \int_0^2 f(2x) dx$.
Xem lời giải chi tiết Dạng 2
• Trong tích phân $I = \int_0^2 f(2x) dx$, đặt $t = 2x \Rightarrow dt = 2 dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}$.
• Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0$; $x = 2 \Rightarrow t = 4$.
$$I = \int_0^4 f(t) \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_0^4 f(t) dt = \frac{1}{2} (12) = 6$$
Bài toán mẫu: Đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục $Ox$ tại các điểm $x = a, x = b, x = c$ ($a < b < c$). Biết diện tích miền nằm phía trên $Ox$ là $S_1 = 5$ và diện tích miền nằm phía dưới $Ox$ là $S_2 = 3$. Tính $\int_a^c f(x) dx$.
Xem lời giải chi tiết Dạng 3
• Chèn điểm $b$: $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$.
• Miền thứ nhất nằm trên $Ox \Rightarrow \int_a^b f(x) dx = +S_1 = 5$.
• Miền thứ hai nằm dưới $Ox \Rightarrow \int_b^c f(x) dx = -S_2 = -3$.
• Suy ra $\int_a^c f(x) dx = 5 + (-3) = 2$.
Bài toán mẫu: Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, $y = 0$ và $x = 4$. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay $(H)$ quanh $Ox$.
Xem lời giải chi tiết Dạng 4
• Thể tích $V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^4 x dx = \pi \left( \frac{x^2}{2} \right) \Big|_0^4 = 8\pi$ (đvtt).
Bài toán mẫu: Một ca nô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc $a(t) = 2t$ (m/s$^2$). Tính quãng đường ca nô đi được trong 4 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Xem lời giải chi tiết Dạng 5
• Vận tốc $v(t) = v(0) + \int_0^t a(\tau) d\tau = 10 + \int_0^t 2\tau d\tau = t^2 + 10$ (m/s).
• Quãng đường đi được sau 4 giây:
$$S = \int_0^4 v(t) dt = \int_0^4 (t^2 + 10) dt = \left( \frac{t^3}{3} + 10t \right) \Big|_0^4 = \frac{64}{3} + 40 = \frac{184}{3} \approx 61,33 \text{ (m)}$$
🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện tổng hợp
Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm tổng hợp toàn bộ Chương IV giúp bạn ôn luyện trước các kỳ thi.
Ngân hàng đề thi trắc nghiệm Ôn tập Chương 4
Ôn luyện tổng hợp trọn bộ câu hỏi trắc nghiệm Nguyên hàm & Tích phân Toán 12!
🚀 Làm đề thi trắc nghiệm ngay →📝 Đề kiểm tra tự luận tổng hợp Chương IV
Bài 1 (3,0 điểm — Nhận biết & Thông hiểu).
a) Tìm họ nguyên hàm $F(x) = \int (3x^2 - 4\sin x + 2e^x) dx$.
b) Tính tích phân $I = \int_1^2 \left( 2x - \frac{1}{x^2} \right) dx$.
Xem đáp án & Lời giải chi tiết Bài 1
a) $F(x) = x^3 + 4\cos x + 2e^x + C$. (1,5 điểm)
b) $I = \left( x^2 + \frac{1}{x} \right) \Big|_1^2 = \left( 4 + \frac{1}{2} \right) - (1 + 1) = \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2} = 2,5$. (1,5 điểm)
Bài 2 (3,0 điểm — Kỹ thuật Đổi biến & Từng phần).
a) Tính tích phân $J_1 = \int_0^1 x \sqrt{x^2 + 3} dx$.
b) Tính tích phân $J_2 = \int_0^1 (x + 1) e^x dx$.
Xem đáp án & Lời giải chi tiết Bài 2
a) Đặt $u = \sqrt{x^2+3} \Rightarrow u^2 = x^2+3 \Rightarrow u du = x dx$. Cận: $x=0 \to u=\sqrt{3}; x=1 \to u=2$. (1,5 điểm)
$$J_1 = \int_{\sqrt{3}}^2 u^2 du = \frac{u^3}{3} \Big|_{\sqrt{3}}^2 = \frac{8 - 3\sqrt{3}}{3}$$
b) Đặt $u = x+1, dv = e^x dx \Rightarrow du = dx, v = e^x$. (1,5 điểm)
$$J_2 = ((x+1)e^x) \Big|_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (2e - 1) - (e - 1) = e$$
Bài 3 (2,5 điểm — Ứng dụng Hình học S & V).
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2 - 3x + 2$ và trục $Ox$.
b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$ và $y = x$ quanh $Ox$.
Xem đáp án & Lời giải chi tiết Bài 3
a) $x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1, x = 2$. $S = \int_1^2 |x^2 - 3x + 2| dx = \int_1^2 (3x - x^2 - 2) dx = \frac{1}{6}$ (đvdt). (1,25 điểm)
b) Giao điểm $\sqrt{x} = x \Leftrightarrow x = 0, x = 1$. $V = \pi \int_0^1 (x - x^2) dx = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{\pi}{6}$ (đvtt). (1,25 điểm)
Bài 4 (1,5 điểm — Vận dụng cao). Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0; 1]$ thỏa mãn $f(x) + f(1-x) = x^2 (1-x)^2$. Tính tích phân $K = \int_0^1 f(x) dx$.
Xem đáp án & Lời giải chi tiết Bài 4
• Đổi biến $t = 1-x \Rightarrow dx = -dt$. Cận $x=0 \to t=1; x=1 \to t=0$. (1,5 điểm)
$$K = \int_1^0 f(1-t) (-dt) = \int_0^1 f(1-x) dx$$
$$2K = \int_0^1 [f(x) + f(1-x)] dx = \int_0^1 x^2 (1-x)^2 dx = \int_0^1 (x^2 - 2x^3 + x^4) dx$$
$$2K = \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{5} \right) \Big|_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1}{30}$$
• Suy ra $K = \frac{1}{60}$.