Bài 13: Ứng dụng hình học tích phân

I. Tính diện tích hình phẳng

1. Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong $y = f(x)$, $Ox$, $x=a, x=b$

⚡ Công thức Tính diện tích 1 đường cong

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ (liên tục trên $[a; b]$), trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ được tính theo công thức:

$$S = \int_a^b |f(x)| dx$$

Cách phá giá trị tuyệt đối: Tìm các nghiệm $x_1, x_2, \dots, x_n \in (a; b)$ của phương trình $f(x) = 0$, sau đó chèn điểm và đưa dấu $|\cdot|$ ra ngoài từng tích phân nhỏ:

$$S = \left| \int_a^{x_1} f(x) dx \right| + \left| \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx \right| + \dots + \left| \int_{x_n}^b f(x) dx \right|$$

2. Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong $y = f(x)$ và $y = g(x)$

⚡ Công thức Tính diện tích giữa 2 đường cong

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = f(x), y = g(x)$ (liên tục trên $[a; b]$) và hai đường thẳng $x = a, x = b$ được tính theo công thức:

$$S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$

• Trường hợp không cho trước hai cận $a, b$: Ta giải phương trình hoành độ giao điểm $f(x) = g(x)$ để tìm nghiệm nhỏ nhất $a = x_{min}$ và nghiệm lớn nhất $b = x_{max}$. Khi đó:

$$S = \int_{x_{min}}^{x_{max}} |f(x) - g(x)| dx$$

II. Tính thể tích vật thể & khối tròn xoay

1. Thể tích vật thể bất kỳ cắt bởi mặt phẳng $x = c$

⚡ Công thức Thể tích vật thể có diện tích thiết diện S(x)

Cắt vật thể $\mathcal{B}$ bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x = a$ và $x = b$. Giả sử diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($a \le x \le b$) là $S(x)$ (hàm số $S(x)$ liên tục trên $[a; b]$). Khi đó thể tích $V$ của vật thể $\mathcal{B}$ là:

$$V = \int_a^b S(x) dx$$

2. Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục $Ox$

⚡ Công thức Thể tích Khối tròn xoay quay quanh Ox

• Quay 1 đường $y = f(x)$ quanh $Ox$: Cho hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, trục $Ox$, $x = a, x = b$ quay xung quanh trục hoành $Ox$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$$

• Quay hình phẳng giữa 2 đường $y = f(x)$ và $y = g(x)$ quanh $Ox$: (với $f(x) \cdot g(x) \ge 0,\forall x \in [a; b]$):

$$V = \pi \int_a^b \left| [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right| dx$$

III. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây minh họa vùng diện tích hình phẳng $S$ nằm giữa đường Parabol $y = 4 - x^2$ và đường thẳng $y = x + 2$, với hai giao điểm là $x = -2$ và $x = 1$.

💡 Mô phỏng 1: Diện tích hình phẳng S giữa Parabol y = 4 - x² và đường thẳng y = x + 2 (S = 9/2 = 4.5).

IV. Ví dụ mẫu chọn lọc (Đủ 8 dạng bài chi tiết)

🔍 Ví dụ 1 (Dạng 1: Diện tích hình phẳng 1 đường cong cơ bản)

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^3 - 3x$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = -1, x = 2$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Phương trình $x^3 - 3x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = -\sqrt{3}, x = \sqrt{3}$.

• Nghiệm thuộc khoảng $(-1; 2)$ gồm có $x = 0$ và $x = \sqrt{3}$. Chèn các điểm này để phá dấu $|\cdot|$:

$$S = \int_{-1}^2 |x^3 - 3x| dx = \left| \int_{-1}^0 (x^3 - 3x) dx \right| + \left| \int_0^{\sqrt{3}} (x^3 - 3x) dx \right| + \left| \int_{\sqrt{3}}^2 (x^3 - 3x) dx \right|$$

• $\int_{-1}^0 (x^3 - 3x) dx = \left( \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} \right) \Big|_{-1}^0 = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \right) = \frac{5}{4}$.

• $\int_0^{\sqrt{3}} (x^3 - 3x) dx = \left( \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} \right) \Big|_0^{\sqrt{3}} = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = -\frac{9}{4} \Rightarrow \text{Độ lớn } \frac{9}{4}$.

• $\int_{\sqrt{3}}^2 (x^3 - 3x) dx = \left( \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} \right) \Big|_{\sqrt{3}}^2 = (4 - 6) - \left( -\frac{9}{4} \right) = -2 + \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$.

• Tổng diện tích: $S = \frac{5}{4} + \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3,75$ (đvdt).

🔍 Ví dụ 2 (Dạng 2: Diện tích hình phẳng giữa 2 đường cong cắt nhau)

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi Parabol $y = x^2 - 4x + 3$ và đường thẳng $y = x - 1$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Phương trình hoành độ giao điểm:

$$x^2 - 4x + 3 = x - 1 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = 4$$

• Diện tích hình phẳng:

$$S = \int_1^4 |(x^2 - 4x + 3) - (x - 1)| dx = \int_1^4 |x^2 - 5x + 4| dx$$

• Vì $x^2 - 5x + 4 \le 0$ với mọi $x \in [1; 4]$ nên $|x^2 - 5x + 4| = -(x^2 - 5x + 4) = 5x - x^2 - 4$.

$$S = \int_1^4 (5x - x^2 - 4) dx = \left( \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - 4x \right) \Big|_1^4$$

$$= \left( 40 - \frac{64}{3} - 16 \right) - \left( \frac{5}{2} - \frac{1}{3} - 4 \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{16 + 11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$$ (đvdt).

🔍 Ví dụ 3 (Dạng 3: Diện tích giới hạn bởi 3 đường cong)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$, đường thẳng $y = 2x + 3$ và trục $Ox$ trong miền $x \ge 0$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Phương trình giao điểm $x^2 = 2x + 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ (loại) hoặc $x = 3$.

• Giao điểm với trục $Ox$: $x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0$; $2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = -3/2$.

• Hình phẳng nằm trong miền $x \in [0; 3]$ giới hạn bởi $y = x^2$ phía trên trên $[0; 3]$ và $y = 2x+3$ khi tính chênh lệch:

$$S = \int_0^3 [(2x+3) - x^2] dx = \left( x^2 + 3x - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_0^3 = (9 + 9 - 9) - 0 = 9 \text{ (đvdt)}$$

🔍 Ví dụ 4 (Dạng 4: Thể tích vật thể có diện tích thiết diện S(x))

Tính thể tích $V$ của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = 3$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0 \le x \le 3$) là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt{9 - x^2}$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Diện tích thiết diện hình vuông: $S(x) = (\sqrt{9 - x^2})^2 = 9 - x^2$.

• Thể tích vật thể:

$$V = \int_0^3 S(x) dx = \int_0^3 (9 - x^2) dx = \left( 9x - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_0^3 = (27 - 9) - 0 = 18 \text{ (đvtt)}$$

🔍 Ví dụ 5 (Dạng 5: Thể tích khối tròn xoay 1 đường quay quanh Ox)

Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{x} e^{x}$, trục $Ox$, $x = 0$ và $x = 1$ xung quanh trục $Ox$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Thể tích $V = \pi \int_0^1 [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^1 (\sqrt{x} e^x)^2 dx = \pi \int_0^1 x e^{2x} dx$.

• Dùng tích phân từng phần: Đặt $\begin{cases} u = x \\ dv = e^{2x} dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = dx \\ v = \frac{1}{2} e^{2x} \end{cases}$.

$$\int_0^1 x e^{2x} dx = \left( \frac{x}{2} e^{2x} \right) \Big|_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x} dx = \frac{e^2}{2} - \left( \frac{1}{4} e^{2x} \right) \Big|_0^1 = \frac{e^2}{2} - \left( \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{e^2 + 1}{4}$$

• Vậy $V = \frac{\pi (e^2 + 1)}{4}$ (đvtt).

🔍 Ví dụ 6 (Dạng 6: Thể tích khối tròn xoay 2 đường quay quanh Ox)

Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = \sqrt{x}$ xung quanh trục $Ox$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Giao điểm: $x^2 = \sqrt{x} \Leftrightarrow x^4 = x \Leftrightarrow x(x^3 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$.

• Trên đoạn $[0; 1]$: $(\sqrt{x})^2 = x \ge x^4 = (x^2)^2$.

$$V = \pi \int_0^1 |(\sqrt{x})^2 - (x^2)^2| dx = \pi \int_0^1 (x - x^4) dx$$

$$= \pi \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5} \right) \Big|_0^1 = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \frac{3\pi}{10} \text{ (đvtt)}$$

🔍 Ví dụ 7 (Dạng 7: Bài toán thực tế Kiến trúc — Vòm cầu Parabol)

Một cổng chào có dạng hình Parabol $y = 6 - x^2$ (đơn vị m). Mặt đường nằm trên trục hoành $Ox$. Người ta muốn trang trí phần diện tích nằm bên dưới cổng chào và phía trên đường thẳng $y = 2$ m.

a) Xác định các giao điểm của Parabol với mặt đường $Ox$ và đường thẳng $y = 2$.

b) Tính diện tích phần không gian trang trí đó.

💡Xem lời giải chi tiết

a) Giao điểm của Parabol với $y = 2$: $6 - x^2 = 2 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = -2$ hoặc $x = 2$.

b) Diện tích phần trang trí là hình phẳng giữa $y = 6 - x^2$ và $y = 2$ trên đoạn $[-2; 2]$:

$$S = \int_{-2}^2 [(6 - x^2) - 2] dx = \int_{-2}^2 (4 - x^2) dx = \left( 4x - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-2}^2$$

$$= \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \approx 10,67 \text{ m}^2$$

🔍 Ví dụ 8 (Dạng 8: Bài toán thực tế Thiết kế Thùng gỗ / Ly rượu vang)

Một ly rượu vang có phần chứa lỏng có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay đường cong $y = \sqrt{x}$ từ $x = 0$ đến $x = 9$ (cm) xung quanh trục $Ox$.

a) Tính thể tích dung tích tối đa của ly rượu (cm$^3$ / mL).

b) Rót rượu vào ly sao cho chiều cao mức nước đạt $h = 4$ cm. Tính thể tích rượu đã rót vào ly.

💡Xem lời giải chi tiết

a) Thể tích tối đa của ly rượu khi $x$ chạy từ $0$ đến $9$:

$$V_{max} = \pi \int_0^9 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^9 x dx = \pi \left( \frac{x^2}{2} \right) \Big|_0^9 = \frac{81\pi}{2} \approx 127,23 \text{ cm}^3 \text{ (mL)}$$

b) Thể tích rượu rót vào đến chiều cao $h = 4$ cm ($x$ từ $0$ đến $4$):

$$V_{ ext{rượu}} = \pi \int_0^4 x dx = \pi \left( \frac{x^2}{2} \right) \Big|_0^4 = 8\pi \approx 25,13 \text{ cm}^3 \text{ (mL)}$$

🎯 V. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm khách quan giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = 2 x^2$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0, x = 1$ được tính bằng công thức nào?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y = x^2$ và $y = 4x$.

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{6x}$, $Ox$, $x = 0$ và $x = 3$ xung quanh trục $Ox$ là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = 5$. Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại hoành độ $x$ là một hình vuông có cạnh $a = 3x$. Thể tích $V$ của vật thể là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Thể tích khối tròn xoay do quay hình phẳng giới hạn bởi $y = e^x$, $Ox$, $x = 0, x = 1$ quanh trục $Ox$ là:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi $y = x^3 - x$, trục $Ox$, $x = -1$ và $x = 1$.

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Công thức tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ ($a < b$) xung quanh trục $Ox$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Cho Parabol $y = 3(4 - x^2)$ cắt trục hoành tại hai điểm $x = -2$ và $x = 2$. Diện tích $S$ hình phẳng giới hạn bởi Parabol và $Ox$ bằng:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Hình phẳng giới hạn bởi $y = \cos x$, $Ox$, $x = 0$ và $x = \pi/2$ khi quay quanh $Ox$ tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = f(x)$ và $y = g(x)$ trên $[a; b]$, nếu $f(x) \ge g(x)$ với mọi $x \in [a; b]$ thì công thức rút gọn là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ứng dụng tích phân

Rèn luyện trắc nghiệm với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Ứng dụng hình học Tích phân (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi:

a) $y = x^2 - 2x$, $Ox$, $x = 0, x = 3$.

b) $y = e^x$, $y = 1$, $x = 2$.

💡Xem lời giải Bài 1

a) $x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 2 \in (0; 3)$. $S = \left| \int_0^2 (x^2-2x)dx \right| + \left| \int_2^3 (x^2-2x)dx \right| = \left| -\frac{4}{3} \right| + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

b) $e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$. $S = \int_0^2 (e^x - 1) dx = (e^x - x) \Big|_0^2 = (e^2 - 2) - 1 = e^2 - 3$.

Bài 2 (Thông hiểu — Thể tích khối tròn xoay). Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{4-x^2}$ và $Ox$ quanh trục $Ox$.

💡Xem lời giải Bài 2

• Cận: $\sqrt{4-x^2} = 0 \Leftrightarrow x = -2$ và $x = 2$.

• $V = \pi \int_{-2}^2 (4-x^2) dx = \pi \left( 4x - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-2}^2 = \pi \left( \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) \right) = \frac{32\pi}{3}$ (đây chính là thể tích khối cầu bán kính $R = 2$).

Bài 3 (Vận dụng — Diện tích giữa Parabol & Đường thẳng). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol $y = -x^2 + 4x$ và đường thẳng $y = x$.

💡Xem lời giải Bài 3

• Giao điểm: $-x^2 + 4x = x \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$.

• $S = \int_0^3 (-x^2 + 3x) dx = \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right) \Big|_0^3 = -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.

Bài 4 (Vận dụng cao — Thiết diện vật thể S(x)). Một vật thể có đáy là hình tròn bán kính $R = 2$. Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ thu được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích $V$ của vật thể.

💡Xem lời giải Bài 4

• Phương trình đường tròn đáy: $x^2 + y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm \sqrt{4 - x^2}$. Độ dài cạnh tam giác đều là $a = 2\sqrt{4 - x^2}$.

• Diện tích tam giác đều cạnh $a$: $S(x) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4(4-x^2)\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}(4-x^2)$.

• Thể tích $V = \int_{-2}^2 S(x) dx = \sqrt{3} \int_{-2}^2 (4-x^2) dx = \sqrt{3} \cdot \frac{32}{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3}$.

Bài 5 (Thực tế Chi phí sản xuất / Trồng hoa). Một mảnh vườn hoa có hình dạng giới hạn bởi hai đường Parabol $y = x^2$ và $y = 2 - x^2$ (đơn vị m). Giá tiền trồng hoa là 200.000 đồng/m$^2$. Tính tổng chi phí để hoàn thành trồng hoa mảnh vườn.

💡Xem lời giải Bài 5

• Giao điểm: $x^2 = 2 - x^2 \Leftrightarrow 2x^2 = 2 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 1$.

• Diện tích $S = \int_{-1}^1 (2 - 2x^2) dx = \left( 2x - \frac{2x^3}{3} \right) \Big|_{-1}^1 = \frac{4}{3} - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{8}{3} \approx 2,67 \text{ m}^2$.

• Tổng chi phí: $T = \frac{8}{3} \cdot 200.000 = \frac{1.600.000}{3} \approx 533.333$ đồng.