Bài 12: Tích phân
Lý thuyết chi tiết chuẩn SGK Toán 12, công thức Newton-Leibniz, tính chất tích phân, phương pháp đổi biến số & từng phần, đồ thị JSXGraph, bài tập trắc nghiệm và tự luận có lời giải.
I. Khái niệm Tích phân
1. Định nghĩa Tích phân & Công thức Newton - Leibniz
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$.
Hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân của hàm số $f(x)$ từ $a$ đến $b$, ký hiệu là $\int_a^b f(x) dx$:
$$\int_a^b f(x) dx = F(x) \Big|_a^b = F(b) - F(a)$$
Trong đó:
- $a$: Cận dưới của tích phân; $b$: Cận trên của tích phân ($a < b$).
- $f(x)dx$: Biểu thức dưới dấu tích phân; $x$: Biến lấy tích phân.
- Chú ý quan trọng: Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm $f$ và các cận $a, b$, hoàn toàn không phụ thuộc vào biến số:
$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt = \int_a^b f(u) du$$
2. Ý nghĩa hình học của Tích phân (Hình thang cong)
Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục và **không âm** ($f(x) \ge 0$) trên đoạn $[a; b]$ thì tích phân $\int_a^b f(x) dx$ chính là **diện tích $S$** của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$:
$$S = \int_a^b f(x) dx$$
II. Tính chất của Tích phân
- 1. Cận bằng nhau: $\int_a^a f(x) dx = 0$.
- 2. Đổi cận: $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$.
- 3. Tương thích với phép nhân hằng số: $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$ ($k \in \mathbb{R}$).
- 4. Tương thích với phép cộng/trừ: $\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$.
- 5. Tính chất chèn điểm (cận nối tiếp): Với mọi $c \in [a; b]$:
$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$
- 6. Tính chất so sánh: Nếu $f(x) \le g(x)$ với mọi $x \in [a; b]$ thì $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$. Đặc biệt $\left| \int_a^b f(x) dx \right| \le \int_a^b |f(x)| dx$.
III. Các phương pháp tính Tích phân
1. Phương pháp Đổi biến số cận $a \to b$
- Bước 1: Đặt $u = u(x)$ và tính vi phân $du = u'(x)dx$.
- Bước 2: ĐỔI CẬN (BẮT BUỘC): Khi $x = a \Rightarrow u = u(a) = \alpha$; khi $x = b \Rightarrow u = u(b) = \beta$.
- Bước 3: Biến đổi tích phân ban đầu $\int_a^b f(u(x)) u'(x) dx$ thành $\int_{\alpha}^{\beta} f(u) du$.
- Bước 4: Tính nguyên hàm theo $u$ và thay cận $\alpha, \beta$ để ra kết quả số cụ thể (không cần đổi trả lại biến $x$).
2. Phương pháp Tích phân từng phần xác định
Cho hai hàm số $u(x)$ và $v(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a; b]$:
$$\int_a^b u dv = (u \cdot v) \Big|_a^b - \int_a^b v du$$
IV. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)
Đồ thị dưới đây thể hiện hình thang cong giới hạn bởi đường cong $y = x^2 + 1$, trục hoành $Ox$, $x = 0$ và $x = 2$, cùng các hình chữ nhật tổng Riemann xấp xỉ diện tích tích phân $\int_0^2 (x^2+1)dx = \frac{14}{3} \approx 4,67$.
💡 Mô phỏng 1: Diện tích hình thang cong S = ∫₀² (x² + 1) dx = 14/3.
V. Ví dụ mẫu chọn lọc (Đủ 8 dạng bài chi tiết)
Tính tích phân $I = \int_1^2 \left( 3x^2 - 2x + \frac{1}{x} \right) dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Nguyên hàm $F(x) = x^3 - x^2 + \ln|x|$.
• Áp dụng công thức Newton-Leibniz:
$$I = (x^3 - x^2 + \ln|x|) \Big|_1^2 = (2^3 - 2^2 + \ln 2) - (1^3 - 1^2 + \ln 1)$$
$$= (8 - 4 + \ln 2) - (1 - 1 + 0) = 4 + \ln 2$$
Tính tích phân $I = \int_0^3 |x^2 - 2x| dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Cho $x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Nối điểm $x = 2 \in (0; 3)$.
• Dùng tính chất chèn điểm $x = 2$ để phá dấu giá trị tuyệt đối:
- Trên $[0; 2]$: $x^2 - 2x \le 0 \Rightarrow |x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = 2x - x^2$.
- Trên $[2; 3]$: $x^2 - 2x \ge 0 \Rightarrow |x^2 - 2x| = x^2 - 2x$.
$$I = \int_0^2 (2x - x^2) dx + \int_2^3 (x^2 - 2x) dx$$
$$= \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_0^2 + \left( \frac{x^3}{3} - x^2 \right) \Big|_2^3$$
$$= \left( 4 - \frac{8}{3} \right) + \left[ (9 - 9) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) \right] = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$
Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 3x^2 & \text{khi } x \ge 1 \\ 2x + 1 & \text{khi } x < 1 \end{cases}$. Tính tích phân $I = \int_{-1}^2 f(x) dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Dùng tính chất chèn điểm $x = 1$ chia khoảng tích phân làm hai đoạn $[-1; 1]$ và $[1; 2]$:
$$I = \int_{-1}^1 (2x + 1) dx + \int_1^2 3x^2 dx$$
$$= (x^2 + x) \Big|_{-1}^1 + (x^3) \Big|_1^2 = [(1+1) - (1-1)] + (8 - 1) = 2 + 7 = 9$$
Tính tích phân $I = \int_0^{\sqrt{3}} x \sqrt{x^2 + 1} dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Đặt $t = \sqrt{x^2 + 1} \Rightarrow t^2 = x^2 + 1 \Rightarrow t dt = x dx$.
• Đổi cận: Khi $x = 0 \Rightarrow t = 1$; khi $x = \sqrt{3} \Rightarrow t = \sqrt{3+1} = 2$.
• Chuyển tích phân theo biến $t$:
$$I = \int_1^2 t \cdot t dt = \int_1^2 t^2 dt = \frac{t^3}{3} \Big|_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$
Tính tích phân $I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Đặt $u = 1 + \sin x \Rightarrow du = \cos x dx$.
• Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow u = 1$; $x = \pi/2 \Rightarrow u = 2$.
$$I = \int_1^2 \frac{du}{u} = \ln|u| \Big|_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$$
Tính tích phân $I = \int_0^1 x e^x dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Đặt $\begin{cases} u = x \\ dv = e^x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = dx \\ v = e^x \end{cases}$.
• Áp dụng công thức từng phần cận $[0; 1]$:
$$I = (x e^x) \Big|_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (1 \cdot e^1 - 0) - (e^x) \Big|_0^1 = e - (e - 1) = 1$$
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 1]$ và thỏa mãn $f(x) + f(-x) = x^2 + 1$ với mọi $x \in [-1; 1]$. Tính tích phân $I = \int_{-1}^1 f(x) dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Đổi biến $t = -x \Rightarrow dx = -dt$. Khi $x = -1 \Rightarrow t = 1$; khi $x = 1 \Rightarrow t = -1$.
$$I = \int_1^{-1} f(-t) (-dt) = \int_{-1}^1 f(-t) dt = \int_{-1}^1 f(-x) dx$$
• Cộng hai tích phân lại:
$$2I = I + I = \int_{-1}^1 f(x) dx + \int_{-1}^1 f(-x) dx = \int_{-1}^1 [f(x) + f(-x)] dx = \int_{-1}^1 (x^2 + 1) dx$$
$$2I = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \Big|_{-1}^1 = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$
• Suy ra $I = \frac{4}{3}$.
Một ô tô đang chạy với vận tốc $v_0 = 20$ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -4t + 20$ (m/s), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Sau bao lâu kể từ lúc đạp phanh thì ô tô dừng hẳn?
b) Tính quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh cho đến khi dừng lại.
Xem lời giải chi tiết
a) Ô tô dừng hẳn khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow -4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5$ giây.
b) Quãng đường ô tô đi được chính là tích phân của vận tốc từ $t = 0$ đến $t = 5$:
$$S = \int_0^5 v(t) dt = \int_0^5 (-4t + 20) dt = (-2t^2 + 20t) \Big|_0^5 = (-2 \cdot 25 + 20 \cdot 5) - 0 = -50 + 100 = 50 \text{ (m)}$$
🎯 VI. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm khách quan giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.
📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)
Bài 1 (Cơ bản). Tính các tích phân sau:
a) $I_1 = \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) dx$.
b) $I_2 = \int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos^2 x} dx$.
Xem lời giải Bài 1
a) $I_1 = (x^4 - x^3 + 2x) \Big|_0^1 = 1 - 1 + 2 = 2$.
b) $I_2 = \tan x \Big|_0^{\pi/4} = \tan(\pi/4) - \tan 0 = 1 - 0 = 1$.
Bài 2 (Thông hiểu — Đổi biến số). Tính các tích phân:
a) $J_1 = \int_0^1 2x e^{x^2} dx$.
b) $J_2 = \int_1^e \frac{\sqrt{1 + 3\ln x}}{x} dx$.
Xem lời giải Bài 2
a) Đặt $u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx$. Cận: $x=0 \to u=0; x=1 \to u=1 \Rightarrow J_1 = \int_0^1 e^u du = e^u \Big|_0^1 = e - 1$.
b) Đặt $t = \sqrt{1 + 3\ln x} \Rightarrow t^2 = 1 + 3\ln x \Rightarrow 2t dt = \frac{3}{x} dx$. Cận: $x=1 \to t=1; x=e \to t=2$.
$$J_2 = \int_1^2 t \cdot \frac{2t dt}{3} = \frac{2}{3} \int_1^2 t^2 dt = \frac{2}{3} \cdot \frac{t^3}{3} \Big|_1^2 = \frac{2}{9} (8 - 1) = \frac{14}{9}$$
Bài 3 (Vận dụng — Tích phân từng phần). Tính các tích phân:
a) $K_1 = \int_1^e x \ln x dx$.
b) $K_2 = \int_0^{\pi/2} x \cos x dx$.
Xem lời giải Bài 3
a) $u = \ln x, dv = x dx \Rightarrow K_1 = \left( \frac{x^2}{2}\ln x \right) \Big|_1^e - \int_1^e \frac{x}{2} dx = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2-1}{4} = \frac{e^2+1}{4}$.
b) $u = x, dv = \cos x dx \Rightarrow K_2 = (x \sin x) \Big|_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \sin x dx = \frac{\pi}{2} + \cos x \Big|_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - 1$.
Bài 4 (Vận dụng cao — Tích phân chèn điểm & Giá trị tuyệt đối). Tính tích phân $L = \int_{-1}^3 |x^2 - 1| dx$.
Xem lời giải Bài 4
• Các nghiệm của $x^2 - 1 = 0$ trên $[-1; 3]$ là $x = 1$. Chèn điểm $x = 1$:
• Trên $[-1; 1]$: $x^2 - 1 \le 0 \Rightarrow |x^2-1| = 1 - x^2$. Trên $[1; 3]$: $|x^2-1| = x^2 - 1$.
$$L = \int_{-1}^1 (1 - x^2) dx + \int_1^3 (x^2 - 1) dx = \left( x - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-1}^1 + \left( \frac{x^3}{3} - x \right) \Big|_1^3$$
$$= \frac{4}{3} + \left[ (9-3) - \left( \frac{1}{3}-1 \right) \right] = \frac{4}{3} + 6 + \frac{2}{3} = 8$$
Bài 5 (Thực tế Vật lí — Điện lượng dịch chuyển). Cường độ dòng điện chạy qua một mạch điện thay đổi theo thời gian $i(t) = 4 \sin(100\pi t)$ (A). Tính điện lượng $q$ dịch chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn từ thời điểm $t = 0$ đến $t = \frac{1}{200}$ giây.
Xem lời giải Bài 5
• Điện lượng $q = \int_0^{1/200} i(t) dt = \int_0^{1/200} 4 \sin(100\pi t) dt$.
$$q = \left( -\frac{4}{100\pi} \cos(100\pi t) \right) \Big|_0^{1/200} = -\frac{1}{25\pi} \left( \cos \frac{\pi}{2} - \cos 0 \right) = -\frac{1}{25\pi} (0 - 1) = \frac{1}{25\pi} \text{ (C)}$$
• Giá trị điện lượng $q \approx \frac{1}{78,54} \approx 0,0127$ Coulomb.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Tích phân
Rèn luyện trắc nghiệm với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!
🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →