Bài 12: Tích phân
Lý thuyết chi tiết chuẩn SGK Toán 12, công thức Newton-Leibniz, tính chất tích phân, phương pháp đổi biến số & từng phần, đồ thị JSXGraph, bài tập trắc nghiệm và tự luận có lời giải.
I. Khái niệm Tích phân
1. Định nghĩa Tích phân & Công thức Newton - Leibniz
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$.
Hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân của hàm số $f(x)$ từ $a$ đến $b$, ký hiệu là $\int_a^b f(x) dx$:
$$\int_a^b f(x) dx = F(x) \Big|_a^b = F(b) - F(a)$$
Trong đó:
- $a$: Cận dưới của tích phân; $b$: Cận trên của tích phân ($a < b$).
- $f(x)dx$: Biểu thức dưới dấu tích phân; $x$: Biến lấy tích phân.
- Chú ý quan trọng: Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm $f$ và các cận $a, b$, hoàn toàn không phụ thuộc vào biến số:
$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt = \int_a^b f(u) du$$
2. Ý nghĩa hình học của Tích phân (Hình thang cong)
Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục và **không âm** ($f(x) \ge 0$) trên đoạn $[a; b]$ thì tích phân $\int_a^b f(x) dx$ chính là **diện tích $S$** của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$:
$$S = \int_a^b f(x) dx$$
II. Tính chất của Tích phân
- 1. Cận bằng nhau: $\int_a^a f(x) dx = 0$.
- 2. Đổi cận: $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$.
- 3. Tương thích với phép nhân hằng số: $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$ ($k \in \mathbb{R}$).
- 4. Tương thích với phép cộng/trừ: $\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$.
- 5. Tính chất chèn điểm (cận nối tiếp): Với mọi $c \in [a; b]$:
$$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$
- 6. Tính chất so sánh: Nếu $f(x) \le g(x)$ với mọi $x \in [a; b]$ thì $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$. Đặc biệt $\left| \int_a^b f(x) dx \right| \le \int_a^b |f(x)| dx$.
III. Các phương pháp tính Tích phân
1. Phương pháp Đổi biến số cận $a \to b$
- Bước 1: Đặt $u = u(x)$ và tính vi phân $du = u'(x)dx$.
- Bước 2: ĐỔI CẬN (BẮT BUỘC): Khi $x = a \Rightarrow u = u(a) = \alpha$; khi $x = b \Rightarrow u = u(b) = \beta$.
- Bước 3: Biến đổi tích phân ban đầu $\int_a^b f(u(x)) u'(x) dx$ thành $\int_{\alpha}^{\beta} f(u) du$.
- Bước 4: Tính nguyên hàm theo $u$ và thay cận $\alpha, \beta$ để ra kết quả số cụ thể (không cần đổi trả lại biến $x$).
2. Phương pháp Tích phân từng phần xác định
Cho hai hàm số $u(x)$ và $v(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a; b]$:
$$\int_a^b u dv = (u \cdot v) \Big|_a^b - \int_a^b v du$$
IV. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)
Đồ thị dưới đây thể hiện hình thang cong giới hạn bởi đường cong $y = x^2 + 1$, trục hoành $Ox$, $x = 0$ và $x = 2$, cùng các hình chữ nhật tổng Riemann xấp xỉ diện tích tích phân $\int_0^2 (x^2+1)dx = \frac{14}{3} \approx 4,67$.
💡 Mô phỏng 1: Diện tích hình thang cong S = ∫₀² (x² + 1) dx = 14/3.
V. Ví dụ mẫu chọn lọc (Đủ 8 dạng bài chi tiết)
Tính tích phân $I = \int_1^2 \left( 3x^2 - 2x + \frac{1}{x} \right) dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Nguyên hàm $F(x) = x^3 - x^2 + \ln|x|$.
• Áp dụng công thức Newton-Leibniz:
$$I = (x^3 - x^2 + \ln|x|) \Big|_1^2 = (2^3 - 2^2 + \ln 2) - (1^3 - 1^2 + \ln 1)$$
$$= (8 - 4 + \ln 2) - (1 - 1 + 0) = 4 + \ln 2$$
Tính tích phân $I = \int_0^3 |x^2 - 2x| dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Cho $x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Nối điểm $x = 2 \in (0; 3)$.
• Dùng tính chất chèn điểm $x = 2$ để phá dấu giá trị tuyệt đối:
- Trên $[0; 2]$: $x^2 - 2x \le 0 \Rightarrow |x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = 2x - x^2$.
- Trên $[2; 3]$: $x^2 - 2x \ge 0 \Rightarrow |x^2 - 2x| = x^2 - 2x$.
$$I = \int_0^2 (2x - x^2) dx + \int_2^3 (x^2 - 2x) dx$$
$$= \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_0^2 + \left( \frac{x^3}{3} - x^2 \right) \Big|_2^3$$
$$= \left( 4 - \frac{8}{3} \right) + \left[ (9 - 9) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) \right] = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$
Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 3x^2 & \text{khi } x \ge 1 \\ 2x + 1 & \text{khi } x < 1 \end{cases}$. Tính tích phân $I = \int_{-1}^2 f(x) dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Dùng tính chất chèn điểm $x = 1$ chia khoảng tích phân làm hai đoạn $[-1; 1]$ và $[1; 2]$:
$$I = \int_{-1}^1 (2x + 1) dx + \int_1^2 3x^2 dx$$
$$= (x^2 + x) \Big|_{-1}^1 + (x^3) \Big|_1^2 = [(1+1) - (1-1)] + (8 - 1) = 2 + 7 = 9$$
Tính tích phân $I = \int_0^{\sqrt{3}} x \sqrt{x^2 + 1} dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Đặt $t = \sqrt{x^2 + 1} \Rightarrow t^2 = x^2 + 1 \Rightarrow t dt = x dx$.
• Đổi cận: Khi $x = 0 \Rightarrow t = 1$; khi $x = \sqrt{3} \Rightarrow t = \sqrt{3+1} = 2$.
• Chuyển tích phân theo biến $t$:
$$I = \int_1^2 t \cdot t dt = \int_1^2 t^2 dt = \frac{t^3}{3} \Big|_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$
Tính tích phân $I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Đặt $u = 1 + \sin x \Rightarrow du = \cos x dx$.
• Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow u = 1$; $x = \pi/2 \Rightarrow u = 2$.
$$I = \int_1^2 \frac{du}{u} = \ln|u| \Big|_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$$
Tính tích phân $I = \int_0^1 x e^x dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Đặt $\begin{cases} u = x \\ dv = e^x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = dx \\ v = e^x \end{cases}$.
• Áp dụng công thức từng phần cận $[0; 1]$:
$$I = (x e^x) \Big|_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (1 \cdot e^1 - 0) - (e^x) \Big|_0^1 = e - (e - 1) = 1$$
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 1]$ và thỏa mãn $f(x) + f(-x) = x^2 + 1$ với mọi $x \in [-1; 1]$. Tính tích phân $I = \int_{-1}^1 f(x) dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Đổi biến $t = -x \Rightarrow dx = -dt$. Khi $x = -1 \Rightarrow t = 1$; khi $x = 1 \Rightarrow t = -1$.
$$I = \int_1^{-1} f(-t) (-dt) = \int_{-1}^1 f(-t) dt = \int_{-1}^1 f(-x) dx$$
• Cộng hai tích phân lại:
$$2I = I + I = \int_{-1}^1 f(x) dx + \int_{-1}^1 f(-x) dx = \int_{-1}^1 [f(x) + f(-x)] dx = \int_{-1}^1 (x^2 + 1) dx$$
$$2I = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \Big|_{-1}^1 = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$
• Suy ra $I = \frac{4}{3}$.
Một ô tô đang chạy với vận tốc $v_0 = 20$ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -4t + 20$ (m/s), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Sau bao lâu kể từ lúc đạp phanh thì ô tô dừng hẳn?
b) Tính quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh cho đến khi dừng lại.
Xem lời giải chi tiết
a) Ô tô dừng hẳn khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow -4t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 5$ giây.
b) Quãng đường ô tô đi được chính là tích phân của vận tốc từ $t = 0$ đến $t = 5$:
$$S = \int_0^5 v(t) dt = \int_0^5 (-4t + 20) dt = (-2t^2 + 20t) \Big|_0^5 = (-2 \cdot 25 + 20 \cdot 5) - 0 = -50 + 100 = 50 \text{ (m)}$$
🎯 VI. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm khách quan giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Tích phân
Rèn luyện trắc nghiệm với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!
🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)
Bài 1 (Cơ bản). Tính các tích phân sau:
a) $I_1 = \int_0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2) dx$.
b) $I_2 = \int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos^2 x} dx$.
Xem lời giải Bài 1
a) $I_1 = (x^4 - x^3 + 2x) \Big|_0^1 = 1 - 1 + 2 = 2$.
b) $I_2 = \tan x \Big|_0^{\pi/4} = \tan(\pi/4) - \tan 0 = 1 - 0 = 1$.
Bài 2 (Thông hiểu — Đổi biến số). Tính các tích phân:
a) $J_1 = \int_0^1 2x e^{x^2} dx$.
b) $J_2 = \int_1^e \frac{\sqrt{1 + 3\ln x}}{x} dx$.
Xem lời giải Bài 2
a) Đặt $u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx$. Cận: $x=0 \to u=0; x=1 \to u=1 \Rightarrow J_1 = \int_0^1 e^u du = e^u \Big|_0^1 = e - 1$.
b) Đặt $t = \sqrt{1 + 3\ln x} \Rightarrow t^2 = 1 + 3\ln x \Rightarrow 2t dt = \frac{3}{x} dx$. Cận: $x=1 \to t=1; x=e \to t=2$.
$$J_2 = \int_1^2 t \cdot \frac{2t dt}{3} = \frac{2}{3} \int_1^2 t^2 dt = \frac{2}{3} \cdot \frac{t^3}{3} \Big|_1^2 = \frac{2}{9} (8 - 1) = \frac{14}{9}$$
Bài 3 (Vận dụng — Tích phân từng phần). Tính các tích phân:
a) $K_1 = \int_1^e x \ln x dx$.
b) $K_2 = \int_0^{\pi/2} x \cos x dx$.
Xem lời giải Bài 3
a) $u = \ln x, dv = x dx \Rightarrow K_1 = \left( \frac{x^2}{2}\ln x \right) \Big|_1^e - \int_1^e \frac{x}{2} dx = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2-1}{4} = \frac{e^2+1}{4}$.
b) $u = x, dv = \cos x dx \Rightarrow K_2 = (x \sin x) \Big|_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \sin x dx = \frac{\pi}{2} + \cos x \Big|_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - 1$.
Bài 4 (Vận dụng cao — Tích phân chèn điểm & Giá trị tuyệt đối). Tính tích phân $L = \int_{-1}^3 |x^2 - 1| dx$.
Xem lời giải Bài 4
• Các nghiệm của $x^2 - 1 = 0$ trên $[-1; 3]$ là $x = 1$. Chèn điểm $x = 1$:
• Trên $[-1; 1]$: $x^2 - 1 \le 0 \Rightarrow |x^2-1| = 1 - x^2$. Trên $[1; 3]$: $|x^2-1| = x^2 - 1$.
$$L = \int_{-1}^1 (1 - x^2) dx + \int_1^3 (x^2 - 1) dx = \left( x - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-1}^1 + \left( \frac{x^3}{3} - x \right) \Big|_1^3$$
$$= \frac{4}{3} + \left[ (9-3) - \left( \frac{1}{3}-1 \right) \right] = \frac{4}{3} + 6 + \frac{2}{3} = 8$$
Bài 5 (Thực tế Vật lí — Điện lượng dịch chuyển). Cường độ dòng điện chạy qua một mạch điện thay đổi theo thời gian $i(t) = 4 \sin(100\pi t)$ (A). Tính điện lượng $q$ dịch chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn từ thời điểm $t = 0$ đến $t = \frac{1}{200}$ giây.
Xem lời giải Bài 5
• Điện lượng $q = \int_0^{1/200} i(t) dt = \int_0^{1/200} 4 \sin(100\pi t) dt$.
$$q = \left( -\frac{4}{100\pi} \cos(100\pi t) \right) \Big|_0^{1/200} = -\frac{1}{25\pi} \left( \cos \frac{\pi}{2} - \cos 0 \right) = -\frac{1}{25\pi} (0 - 1) = \frac{1}{25\pi} \text{ (C)}$$
• Giá trị điện lượng $q \approx \frac{1}{78,54} \approx 0,0127$ Coulomb.