Bài 11: Nguyên hàm
Lý thuyết chi tiết chuẩn SGK Toán 12, bảng nguyên hàm mở rộng, phương pháp đổi biến số & từng phần, đồ thị mô phỏng JSXGraph, bài tập trắc nghiệm và tự luận có lời giải.
I. Khái niệm Nguyên hàm
1. Định nghĩa Nguyên hàm $F(x)$
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$ (hoặc một đoạn, một nửa khoảng).
Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu:
$$F'(x) = f(x) \quad \text{với mọi } x \in K$$
• Định lý về họ nguyên hàm: Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng:
$$\int f(x) dx = F(x) + C \quad (C \in \mathbb{R})$$
Ký hiệu $\int f(x) dx$ đọc là "tích phân bất định" hoặc "họ nguyên hàm" của $f(x)$. Tích biểu thức $f(x)dx$ gọi là vi phân của $F(x)$.
2. Tính chất cơ bản của Nguyên hàm
- 1. Vi phân nguyên hàm: $\left( \int f(x) dx \right)' = f(x)$ và $\int F'(x) dx = F(x) + C$.
- 2. Nhân với hằng số: $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ (với hằng số $k \ne 0$).
- 3. Tương thích cộng/trừ: $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$.
II. Bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản & mở rộng
| Nguyên hàm hàm số cơ bản | Nguyên hàm hàm hợp $(ax + b)$ ($a \ne 0$) |
|---|---|
| $\int 0 dx = C$ | $\int k dx = kx + C$ |
| $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \;(n \ne -1)$ | $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ | $\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C$ |
| $\int e^x dx = e^x + C$ | $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C$ |
| $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \;(0 < a \ne 1)$ | $\int a^{mx+n} dx = \frac{1}{m} \cdot \frac{a^{mx+n}}{\ln a} + C$ |
| $\int \cos x dx = \sin x + C$ | $\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C$ |
| $\int \sin x dx = -\cos x + C$ | $\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C$ |
| $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$ | $\int \frac{1}{\cos^2(ax+b)} dx = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C$ |
| $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$ | $\int \frac{1}{\sin^2(ax+b)} dx = -\frac{1}{a} \cot(ax+b) + C$ |
III. Các phương pháp tìm Nguyên hàm
1. Phương pháp Đổi biến số
Nếu $\int f(u) du = F(u) + C$ và $u = u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
$$\int f(u(x)) u'(x) dx = \int f(u) du = F(u(x)) + C$$
- Bước 1: Chọn biến số mới $u = u(x)$ (thường là biểu thức trong căn, trong ngoặc lũy thừa, ở mẫu số hoặc biểu thức mũ/lượng giác phức tạp).
- Bước 2: Tính vi phân $du = u'(x) dx$. Biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm hoàn toàn theo $u$ và $du$.
- Bước 3: Tính nguyên hàm theo biến $u$, sau đó thay trả $u = u(x)$ về biến $x$ ban đầu.
2. Phương pháp Nguyên hàm từng phần
Cho hai hàm số $u(x)$ và $v(x)$ có đạo hàm liên tục trên $K$:
$$\int u dv = u v - \int v du$$
Khi gặp nguyên hàm dạng tích $\int P(x) Q(x) dx$, ta chọn $u$ theo thứ tự ưu tiên giảm dần:
- Hàm Logarit ($\ln x, \log_a x$): Luôn ưu tiên đặt $u = \ln x$.
- Hàm Đa thức ($x^n, ax+b$): Đặt $u = P(x)$.
- Hàm Lượng giác ($\sin x, \cos x$).
- Hàm Mũ ($e^x, a^x$).
Phần còn lại là $dv = Q(x)dx$. Khi đó $v = \int Q(x)dx$.
IV. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)
Đồ thị dưới đây minh họa họ các đường cong nguyên hàm $y = F(x) + C$ của hàm số $f(x) = x^2 - 1$. Tiếp tuyến tại cùng một hoành độ $x_0$ trên tất cả các đường cong nguyên hàm đều có cùng hệ số góc $k = f(x_0)$.
💡 Mô phỏng 1: Họ đường cong nguyên hàm y = x³/3 - x + C với tiếp tuyến song song tại x₀ = 1,5.
V. Ví dụ mẫu chọn lọc (Đủ 8 dạng bài chi tiết)
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + \sqrt{x} - \frac{2}{x^2}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
Xem lời giải chi tiết
• Biến đổi $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + x^{1/2} - 2x^{-2}$.
• Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:
$$\int f(x) dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C$$
$$= x^4 - x^3 + \frac{2}{3} x\sqrt{x} + \frac{2}{x} + C$$
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 - 3x + 2}$ trên khoảng $(2; +\infty)$.
Xem lời giải chi tiết
• Phân tích mẫu số: $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
• Dùng phương pháp đồng nhất thức (đồng nhất hệ số):
$$\frac{2x+3}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} = \frac{A(x-2) + B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$$
• Cho $x = 1 \Rightarrow A(1-2) = 2(1)+3=5 \Rightarrow -A = 5 \Rightarrow A = -5$.
• Cho $x = 2 \Rightarrow B(2-1) = 2(2)+3=7 \Rightarrow B = 7$.
• Khi đó: $\int f(x) dx = \int \left( \frac{-5}{x-1} + \frac{7}{x-2} \right) dx = -5\ln|x-1| + 7\ln|x-2| + C$.
Tìm họ nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = e^{2x} - 3 \cdot 2^x + \frac{1}{x}$, biết $F(1) = e^2$.
Xem lời giải chi tiết
• Ta có: $F(x) = \int \left( e^{2x} - 3 \cdot 2^x + \frac{1}{x} \right) dx = \frac{1}{2} e^{2x} - 3 \cdot \frac{2^x}{\ln 2} + \ln|x| + C$.
• Thay $x = 1$ vào $F(x)$ để tìm $C$:
$$F(1) = \frac{1}{2} e^2 - \frac{6}{\ln 2} + \ln 1 + C = e^2 \Rightarrow C = \frac{1}{2} e^2 + \frac{6}{\ln 2}$$
• Vậy nguyên hàm cần tìm là: $F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} - \frac{3 \cdot 2^x}{\ln 2} + \ln|x| + \frac{1}{2} e^2 + \frac{6}{\ln 2}$.
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = \sin^2 x$.
b) $g(x) = \sin 3x \cos 2x$.
Xem lời giải chi tiết
a) Sử dụng công thức hạ bậc: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.
$$\int \sin^2 x dx = \int \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x \right) dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x + C$$
b) Sử dụng công thức tích thành tổng: $\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a+b) + \sin(a-b)]$.
$$\sin 3x \cos 2x = \frac{1}{2} (\sin 5x + \sin x)$$
$$\int \sin 3x \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int (\sin 5x + \sin x) dx = -\frac{1}{10} \cos 5x - \frac{1}{2} \cos x + C$$
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) $I = \int x (x^2 + 1)^5 dx$.
b) $J = \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1 + \ln x}} dx$.
Xem lời giải chi tiết
a) Đặt $u = x^2 + 1 \Rightarrow du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{du}{2}$.
$$I = \int u^5 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2 + 1)^6}{12} + C$$
b) Đặt $t = \sqrt{1 + \ln x} \Rightarrow t^2 = 1 + \ln x \Rightarrow \ln x = t^2 - 1$.
Lấy vi phân hai vế: $2t dt = \frac{1}{x} dx$.
$$J = \int \frac{(t^2 - 1)}{t} \cdot 2t dt = 2 \int (t^2 - 1) dt = 2 \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + C$$
$$= \frac{2}{3} \sqrt{(1+\ln x)^3} - 2\sqrt{1+\ln x} + C = \frac{2}{3} (\ln x - 2)\sqrt{1+\ln x} + C$$
Tìm họ nguyên hàm $I = \int (2x + 1) \cos x dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Đặt $\begin{cases} u = 2x + 1 \\ dv = \cos x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = 2 dx \\ v = \sin x \end{cases}$.
• Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int u dv = u v - \int v du$:
$$I = (2x + 1)\sin x - \int \sin x \cdot 2 dx = (2x + 1)\sin x + 2\cos x + C$$
Tìm họ nguyên hàm $J = \int x \ln x dx$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
Xem lời giải chi tiết
• Ưu tiên "Nhất log": Đặt $\begin{cases} u = \ln x \\ dv = x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = \frac{1}{x} dx \\ v = \frac{x^2}{2} \end{cases}$.
• Áp dụng công thức:
$$J = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$$
Một vật chuyển động có gia tốc biến đổi theo thời gian $a(t) = 3t^2 + 2t$ ($ ext{m/s}^2$). Biết rằng tại thời điểm $t = 0$ s, vận tốc của vật là $v(0) = 2$ m/s và quãng đường đi được là $s(0) = 0$ m.
a) Xác định công thức vận tốc $v(t)$.
b) Xác định công thức quãng đường $s(t)$ vật đi được sau $t$ giây.
Xem lời giải chi tiết
a) Vận tốc $v(t)$ là một nguyên hàm của gia tốc $a(t)$:
$$v(t) = \int a(t) dt = \int (3t^2 + 2t) dt = t^3 + t^2 + C_1$$
Vì $v(0) = 2 \Rightarrow 0^3 + 0^2 + C_1 = 2 \Rightarrow C_1 = 2$. Vậy $v(t) = t^3 + t^2 + 2$ ($ ext{m/s}$).
b) Quãng đường $s(t)$ là một nguyên hàm của vận tốc $v(t)$:
$$s(t) = \int v(t) dt = \int (t^3 + t^2 + 2) dt = \frac{t^4}{4} + \frac{t^3}{3} + 2t + C_2$$
Vì $s(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0$. Vậy công thức quãng đường đi được là: $s(t) = \frac{t^4}{4} + \frac{t^3}{3} + 2t$ (m).
🎯 VI. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm khách quan giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.
📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)
Bài 1 (Cơ bản). Tìm các họ nguyên hàm sau:
a) $I_1 = \int (3x^4 - 2x^2 + 5x - 1) dx$.
b) $I_2 = \int \left( 2e^x - \frac{3}{x} + \sin x \right) dx$.
Xem lời giải Bài 1
a) $I_1 = \frac{3x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - x + C$.
b) $I_2 = 2e^x - 3\ln|x| - \cos x + C$.
Bài 2 (Thông hiểu — Đổi biến số). Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số:
a) $J_1 = \int (2x+1)(x^2+x+3)^4 dx$.
b) $J_2 = \int \frac{e^x}{e^x + 2} dx$.
Xem lời giải Bài 2
a) Đặt $u = x^2 + x + 3 \Rightarrow du = (2x+1)dx \Rightarrow J_1 = \int u^4 du = \frac{(x^2+x+3)^5}{5} + C$.
b) Đặt $t = e^x + 2 \Rightarrow dt = e^x dx \Rightarrow J_2 = \int \frac{dt}{t} = \ln(e^x + 2) + C$.
Bài 3 (Vận dụng — Nguyên hàm từng phần). Tìm nguyên hàm:
a) $K_1 = \int (x - 2) e^x dx$.
b) $K_2 = \int x \sin 2x dx$.
Xem lời giải Bài 3
a) Đặt $u = x-2, dv = e^x dx \Rightarrow du = dx, v = e^x \Rightarrow K_1 = (x-2)e^x - e^x + C = (x-3)e^x + C$.
b) Đặt $u = x, dv = \sin 2x dx \Rightarrow du = dx, v = -\frac{1}{2}\cos 2x \Rightarrow K_2 = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$.
Bài 4 (Vận dụng cao — Tìm hàm F(x) biết F(x₀) và đẳng thức). Tìm hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{x \ln x}$ trên $(1; +\infty)$, biết rằng $F(e) = 5$.
Xem lời giải Bài 4
• Đặt $u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \Rightarrow F(x) = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln(\ln x) + C$ (vì $x > 1$).
• Thay $x = e$: $F(e) = \ln(\ln e) + C = \ln 1 + C = C = 5$.
• Vậy $F(x) = \ln(\ln x) + 5$.
Bài 5 (Thực tế Sinh học — Tăng trưởng dân số). Tốc độ tăng trưởng của một quần thể vi khuẩn sau $t$ giờ được mô hình hóa bởi $N'(t) = 1000 e^{0,2t}$ (con/giờ). Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, quần thể có 5000 con vi khuẩn. Hãy tính số lượng vi khuẩn $N(t)$ sau 5 giờ.
Xem lời giải Bài 5
• $N(t) = \int 1000 e^{0,2t} dt = \frac{1000}{0,2} e^{0,2t} + C = 5000 e^{0,2t} + C$.
• $N(0) = 5000(1) + C = 5000 \Rightarrow C = 0$. Vậy $N(t) = 5000 e^{0,2t}$.
• Sau 5 giờ ($t = 5$): $N(5) = 5000 e^{1} \approx 5000 \cdot 2,71828 \approx 13591$ con vi khuẩn.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Nguyên hàm
Rèn luyện trắc nghiệm với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!
🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →