Bài 11: Nguyên hàm
Lý thuyết chi tiết chuẩn SGK Toán 12, bảng nguyên hàm mở rộng, phương pháp đổi biến số & từng phần, đồ thị mô phỏng JSXGraph, bài tập trắc nghiệm và tự luận có lời giải.
I. Khái niệm Nguyên hàm
1. Định nghĩa Nguyên hàm $F(x)$
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$ (hoặc một đoạn, một nửa khoảng).
Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu:
$$F'(x) = f(x) \quad \text{với mọi } x \in K$$
• Định lý về họ nguyên hàm: Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng:
$$\int f(x) dx = F(x) + C \quad (C \in \mathbb{R})$$
Ký hiệu $\int f(x) dx$ đọc là "tích phân bất định" hoặc "họ nguyên hàm" của $f(x)$. Tích biểu thức $f(x)dx$ gọi là vi phân của $F(x)$.
2. Tính chất cơ bản của Nguyên hàm
- 1. Vi phân nguyên hàm: $\left( \int f(x) dx \right)' = f(x)$ và $\int F'(x) dx = F(x) + C$.
- 2. Nhân với hằng số: $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ (với hằng số $k \ne 0$).
- 3. Tương thích cộng/trừ: $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$.
II. Bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản & mở rộng
| Nguyên hàm hàm số cơ bản | Nguyên hàm hàm hợp $(ax + b)$ ($a \ne 0$) |
|---|---|
| $\int 0 dx = C$ | $\int k dx = kx + C$ |
| $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \;(n \ne -1)$ | $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ | $\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C$ |
| $\int e^x dx = e^x + C$ | $\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C$ |
| $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \;(0 < a \ne 1)$ | $\int a^{mx+n} dx = \frac{1}{m} \cdot \frac{a^{mx+n}}{\ln a} + C$ |
| $\int \cos x dx = \sin x + C$ | $\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C$ |
| $\int \sin x dx = -\cos x + C$ | $\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C$ |
| $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$ | $\int \frac{1}{\cos^2(ax+b)} dx = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C$ |
| $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$ | $\int \frac{1}{\sin^2(ax+b)} dx = -\frac{1}{a} \cot(ax+b) + C$ |
III. Các phương pháp tìm Nguyên hàm
1. Phương pháp Đổi biến số
Nếu $\int f(u) du = F(u) + C$ và $u = u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
$$\int f(u(x)) u'(x) dx = \int f(u) du = F(u(x)) + C$$
- Bước 1: Chọn biến số mới $u = u(x)$ (thường là biểu thức trong căn, trong ngoặc lũy thừa, ở mẫu số hoặc biểu thức mũ/lượng giác phức tạp).
- Bước 2: Tính vi phân $du = u'(x) dx$. Biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm hoàn toàn theo $u$ và $du$.
- Bước 3: Tính nguyên hàm theo biến $u$, sau đó thay trả $u = u(x)$ về biến $x$ ban đầu.
2. Phương pháp Nguyên hàm từng phần
Cho hai hàm số $u(x)$ và $v(x)$ có đạo hàm liên tục trên $K$:
$$\int u dv = u v - \int v du$$
Khi gặp nguyên hàm dạng tích $\int P(x) Q(x) dx$, ta chọn $u$ theo thứ tự ưu tiên giảm dần:
- Hàm Logarit ($\ln x, \log_a x$): Luôn ưu tiên đặt $u = \ln x$.
- Hàm Đa thức ($x^n, ax+b$): Đặt $u = P(x)$.
- Hàm Lượng giác ($\sin x, \cos x$).
- Hàm Mũ ($e^x, a^x$).
Phần còn lại là $dv = Q(x)dx$. Khi đó $v = \int Q(x)dx$.
IV. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)
Đồ thị dưới đây minh họa họ các đường cong nguyên hàm $y = F(x) + C$ của hàm số $f(x) = x^2 - 1$. Tiếp tuyến tại cùng một hoành độ $x_0$ trên tất cả các đường cong nguyên hàm đều có cùng hệ số góc $k = f(x_0)$.
💡 Mô phỏng 1: Họ đường cong nguyên hàm y = x³/3 - x + C với tiếp tuyến song song tại x₀ = 1,5.
V. Ví dụ mẫu chọn lọc (Đủ 8 dạng bài chi tiết)
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + \sqrt{x} - \frac{2}{x^2}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
Xem lời giải chi tiết
• Biến đổi $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + x^{1/2} - 2x^{-2}$.
• Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:
$$\int f(x) dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C$$
$$= x^4 - x^3 + \frac{2}{3} x\sqrt{x} + \frac{2}{x} + C$$
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2x + 3}{x^2 - 3x + 2}$ trên khoảng $(2; +\infty)$.
Xem lời giải chi tiết
• Phân tích mẫu số: $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
• Dùng phương pháp đồng nhất thức (đồng nhất hệ số):
$$\frac{2x+3}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} = \frac{A(x-2) + B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$$
• Cho $x = 1 \Rightarrow A(1-2) = 2(1)+3=5 \Rightarrow -A = 5 \Rightarrow A = -5$.
• Cho $x = 2 \Rightarrow B(2-1) = 2(2)+3=7 \Rightarrow B = 7$.
• Khi đó: $\int f(x) dx = \int \left( \frac{-5}{x-1} + \frac{7}{x-2} \right) dx = -5\ln|x-1| + 7\ln|x-2| + C$.
Tìm họ nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = e^{2x} - 3 \cdot 2^x + \frac{1}{x}$, biết $F(1) = e^2$.
Xem lời giải chi tiết
• Ta có: $F(x) = \int \left( e^{2x} - 3 \cdot 2^x + \frac{1}{x} \right) dx = \frac{1}{2} e^{2x} - 3 \cdot \frac{2^x}{\ln 2} + \ln|x| + C$.
• Thay $x = 1$ vào $F(x)$ để tìm $C$:
$$F(1) = \frac{1}{2} e^2 - \frac{6}{\ln 2} + \ln 1 + C = e^2 \Rightarrow C = \frac{1}{2} e^2 + \frac{6}{\ln 2}$$
• Vậy nguyên hàm cần tìm là: $F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} - \frac{3 \cdot 2^x}{\ln 2} + \ln|x| + \frac{1}{2} e^2 + \frac{6}{\ln 2}$.
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = \sin^2 x$.
b) $g(x) = \sin 3x \cos 2x$.
Xem lời giải chi tiết
a) Sử dụng công thức hạ bậc: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.
$$\int \sin^2 x dx = \int \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x \right) dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x + C$$
b) Sử dụng công thức tích thành tổng: $\sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a+b) + \sin(a-b)]$.
$$\sin 3x \cos 2x = \frac{1}{2} (\sin 5x + \sin x)$$
$$\int \sin 3x \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int (\sin 5x + \sin x) dx = -\frac{1}{10} \cos 5x - \frac{1}{2} \cos x + C$$
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) $I = \int x (x^2 + 1)^5 dx$.
b) $J = \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1 + \ln x}} dx$.
Xem lời giải chi tiết
a) Đặt $u = x^2 + 1 \Rightarrow du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{du}{2}$.
$$I = \int u^5 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2 + 1)^6}{12} + C$$
b) Đặt $t = \sqrt{1 + \ln x} \Rightarrow t^2 = 1 + \ln x \Rightarrow \ln x = t^2 - 1$.
Lấy vi phân hai vế: $2t dt = \frac{1}{x} dx$.
$$J = \int \frac{(t^2 - 1)}{t} \cdot 2t dt = 2 \int (t^2 - 1) dt = 2 \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + C$$
$$= \frac{2}{3} \sqrt{(1+\ln x)^3} - 2\sqrt{1+\ln x} + C = \frac{2}{3} (\ln x - 2)\sqrt{1+\ln x} + C$$
Tìm họ nguyên hàm $I = \int (2x + 1) \cos x dx$.
Xem lời giải chi tiết
• Đặt $\begin{cases} u = 2x + 1 \\ dv = \cos x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = 2 dx \\ v = \sin x \end{cases}$.
• Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần $\int u dv = u v - \int v du$:
$$I = (2x + 1)\sin x - \int \sin x \cdot 2 dx = (2x + 1)\sin x + 2\cos x + C$$
Tìm họ nguyên hàm $J = \int x \ln x dx$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
Xem lời giải chi tiết
• Ưu tiên "Nhất log": Đặt $\begin{cases} u = \ln x \\ dv = x dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = \frac{1}{x} dx \\ v = \frac{x^2}{2} \end{cases}$.
• Áp dụng công thức:
$$J = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$$
Một vật chuyển động có gia tốc biến đổi theo thời gian $a(t) = 3t^2 + 2t$ ($ ext{m/s}^2$). Biết rằng tại thời điểm $t = 0$ s, vận tốc của vật là $v(0) = 2$ m/s và quãng đường đi được là $s(0) = 0$ m.
a) Xác định công thức vận tốc $v(t)$.
b) Xác định công thức quãng đường $s(t)$ vật đi được sau $t$ giây.
Xem lời giải chi tiết
a) Vận tốc $v(t)$ là một nguyên hàm của gia tốc $a(t)$:
$$v(t) = \int a(t) dt = \int (3t^2 + 2t) dt = t^3 + t^2 + C_1$$
Vì $v(0) = 2 \Rightarrow 0^3 + 0^2 + C_1 = 2 \Rightarrow C_1 = 2$. Vậy $v(t) = t^3 + t^2 + 2$ ($ ext{m/s}$).
b) Quãng đường $s(t)$ là một nguyên hàm của vận tốc $v(t)$:
$$s(t) = \int v(t) dt = \int (t^3 + t^2 + 2) dt = \frac{t^4}{4} + \frac{t^3}{3} + 2t + C_2$$
Vì $s(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0$. Vậy công thức quãng đường đi được là: $s(t) = \frac{t^4}{4} + \frac{t^3}{3} + 2t$ (m).
🎯 VI. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm khách quan giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Nguyên hàm
Rèn luyện trắc nghiệm với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!
🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)
Bài 1 (Cơ bản). Tìm các họ nguyên hàm sau:
a) $I_1 = \int (3x^4 - 2x^2 + 5x - 1) dx$.
b) $I_2 = \int \left( 2e^x - \frac{3}{x} + \sin x \right) dx$.
Xem lời giải Bài 1
a) $I_1 = \frac{3x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - x + C$.
b) $I_2 = 2e^x - 3\ln|x| - \cos x + C$.
Bài 2 (Thông hiểu — Đổi biến số). Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số:
a) $J_1 = \int (2x+1)(x^2+x+3)^4 dx$.
b) $J_2 = \int \frac{e^x}{e^x + 2} dx$.
Xem lời giải Bài 2
a) Đặt $u = x^2 + x + 3 \Rightarrow du = (2x+1)dx \Rightarrow J_1 = \int u^4 du = \frac{(x^2+x+3)^5}{5} + C$.
b) Đặt $t = e^x + 2 \Rightarrow dt = e^x dx \Rightarrow J_2 = \int \frac{dt}{t} = \ln(e^x + 2) + C$.
Bài 3 (Vận dụng — Nguyên hàm từng phần). Tìm nguyên hàm:
a) $K_1 = \int (x - 2) e^x dx$.
b) $K_2 = \int x \sin 2x dx$.
Xem lời giải Bài 3
a) Đặt $u = x-2, dv = e^x dx \Rightarrow du = dx, v = e^x \Rightarrow K_1 = (x-2)e^x - e^x + C = (x-3)e^x + C$.
b) Đặt $u = x, dv = \sin 2x dx \Rightarrow du = dx, v = -\frac{1}{2}\cos 2x \Rightarrow K_2 = -\frac{x}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$.
Bài 4 (Vận dụng cao — Tìm hàm F(x) biết F(x₀) và đẳng thức). Tìm hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{x \ln x}$ trên $(1; +\infty)$, biết rằng $F(e) = 5$.
Xem lời giải Bài 4
• Đặt $u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \Rightarrow F(x) = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln(\ln x) + C$ (vì $x > 1$).
• Thay $x = e$: $F(e) = \ln(\ln e) + C = \ln 1 + C = C = 5$.
• Vậy $F(x) = \ln(\ln x) + 5$.
Bài 5 (Thực tế Sinh học — Tăng trưởng dân số). Tốc độ tăng trưởng của một quần thể vi khuẩn sau $t$ giờ được mô hình hóa bởi $N'(t) = 1000 e^{0,2t}$ (con/giờ). Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, quần thể có 5000 con vi khuẩn. Hãy tính số lượng vi khuẩn $N(t)$ sau 5 giờ.
Xem lời giải Bài 5
• $N(t) = \int 1000 e^{0,2t} dt = \frac{1000}{0,2} e^{0,2t} + C = 5000 e^{0,2t} + C$.
• $N(0) = 5000(1) + C = 5000 \Rightarrow C = 0$. Vậy $N(t) = 5000 e^{0,2t}$.
• Sau 5 giờ ($t = 5$): $N(5) = 5000 e^{1} \approx 5000 \cdot 2,71828 \approx 13591$ con vi khuẩn.