Ôn chương 3 - Toán 12
Hệ thống hóa toàn bộ lý thuyết Chương 3 Toán 12, bảng tổng hợp công thức R, ΔQ, S², S, sơ đồ tư duy JSXGraph, 5 dạng toán thi THPT và đề kiểm tra tự luận có đáp án chi tiết.
I. Sơ đồ hệ thống hóa & Bảng so sánh 4 số đặc trưng
Chương III cung cấp bộ 4 số đặc trưng đo độ phân tán (độ biến động, độ rủi ro, độ đồng đều) của mẫu số liệu ghép nhóm gồm $k$ nhóm $[a_1; a_2), [a_2; a_3), \dots, [a_k; a_{k+1})$ với tần số tương ứng $n_1, n_2, \dots, n_k$ (cỡ mẫu $n = \sum n_i$).
1. Bảng công thức tổng hợp ($R, \Delta_Q, \bar{x}, S^2, S$)
| Tên số đặc trưng | Ký hiệu | Công thức tính chính xác | Ưu điểm / Ý nghĩa cốt lõi |
|---|---|---|---|
| Khoảng biến thiên | $R$ | $$R = a_{k+1} - a_1$$ | Đo toàn bộ khoảng giá trị bao phủ. Dễ tính, nhưng rất nhạy cảm với giá trị ngoại lệ. |
| Khoảng tứ phân vị | $\Delta_Q$ | $$\Delta_Q = Q_3 - Q_1$$ $Q_1, Q_3$ tính theo công thức nội suy nhóm. |
Đo độ phân tán của 50% số liệu ở trung tâm. Không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường. |
| Số trung bình | $\bar{x}$ | $$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i x_i$$ $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$ |
Đại diện cho vị trí trung tâm của toàn bộ số liệu. |
| Phương sai | $S^2$ | $$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i x_i^2 - \bar{x}^2$$ | Đo mức độ sai lệch bình phương quanh số trung bình $\bar{x}$. |
| Độ lệch chuẩn | $S$ | $$S = \sqrt{S^2}$$ | Đo độ phân tán cùng đơn vị với số liệu gốc. Dùng đánh giá độ rủi ro, độ ổn định. |
2. Tiêu chuẩn chọn số đặc trưng phù hợp trong thực tế
- Trường hợp 1 (Dữ liệu không có giá trị ngoại lệ, phân bố đối xứng):
• Sử dụng Số trung bình $\bar{x}$ đo xu thế trung tâm và Độ lệch chuẩn $S$ (hoặc $S^2$) đo độ phân tán. Đây là bộ đôi chuẩn xác nhất trong thống kê toán học. - Trường hợp 2 (Dữ liệu có giá trị ngoại lệ hoặc phân bố lệch mạnh):
• Sử dụng Số trung vị $M_e$ ($Q_2$) đo xu thế trung tâm và Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ đo độ phân tán để tránh sai lệch do giá trị ngoại lệ gây ra. - Trường hợp 3 (Cần đánh giá nhanh toàn bộ dải biến động):
• Sử dụng Khoảng biến thiên $R$.
II. Sơ đồ tư duy tương tác & Đồ thị trực quan (JSXGraph)
Đồ thị tương tác dưới đây tổng hợp mối liên hệ giữa 4 số đặc trưng đo độ phân tán ($R, \Delta_Q, S^2, S$) trên cùng một mô hình phân bố dữ liệu ghép nhóm.
💡 Sơ đồ tổng hợp: Phân định vùng phủ của R, vùng trung tâm của ΔQ và vùng độ lệch chuẩn x̄ ± S.
III. 5 Dạng toán trọng tâm thi THPT Quốc gia
Bài toán mẫu: Khảo sát thời gian tự học mỗi ngày (giờ) của 40 học sinh khối 12 thu được bảng số liệu ghép nhóm:
$[1; 2): 6$, $[2; 3): 14$, $[3; 4): 15$, $[4; 5): 5$.
Hãy tính $R, Q_1, Q_3, \Delta_Q, \bar{x}, S^2, S$.
Xem lời giải chi tiết Dạng 1
1. Khoảng biến thiên: $R = 5 - 1 = 4$ giờ.
2. Cỡ mẫu $n = 40$. Tích lũy: $C_1 = 6, C_2 = 20, C_3 = 35, C_4 = 40$.
• $n/4 = 10 \Rightarrow Q_1 \in [2; 3): Q_1 = 2 + \frac{10-6}{14} \cdot 1 = 2,29$ giờ.
• $3n/4 = 30 \Rightarrow Q_3 \in [3; 4): Q_3 = 3 + \frac{30-20}{15} \cdot 1 = 3,67$ giờ.
• $\Delta_Q = 3,67 - 2,29 = 1,38$ giờ.
3. Giá trị đại diện $x_1 = 1,5; x_2 = 2,5; x_3 = 3,5; x_4 = 4,5$.
• $\bar{x} = \frac{6(1,5) + 14(2,5) + 15(3,5) + 5(4,5)}{40} = \frac{9 + 35 + 52,5 + 22,5}{40} = \frac{119}{40} = 2,975$ giờ.
• $\sum n_i x_i^2 = 6(2,25) + 14(6,25) + 15(12,25) + 5(20,25) = 13,5 + 87,5 + 183,75 + 101,25 = 386$.
• $S^2 = \frac{386}{40} - (2,975)^2 = 9,65 - 8,8506 = 0,7994 \text{ giờ}^2$.
• $S = \sqrt{0,7994} \approx 0,894$ giờ.
Bài toán mẫu: Điểm kiểm tra học kỳ 1 môn Toán của lớp 12A và 12B có kết quả:
- Lớp 12A: $\bar{x}_A = 7,5$ điểm; $S_A = 0,8$ điểm.
- Lớp 12B: $\bar{x}_B = 7,5$ điểm; $S_B = 1,5$ điểm.
Hãy so sánh chất lượng và độ đồng đều học tập giữa hai lớp.
Xem lời giải chi tiết Dạng 2
• Cả hai lớp có cùng điểm trung bình $\bar{x} = 7,5$ điểm (mức độ học lực trung bình như nhau).
• Lớp 12A có $S_A = 0,8 < S_B = 1,5$, chứng tỏ điểm số học sinh lớp 12A tập trung gần điểm trung bình hơn, học lực đồng đều hơn hẳn lớp 12B.
Bài toán mẫu: Mẫu số liệu ghép nhóm có $Q_1 = 20$ và $Q_3 = 30$.
Các giá trị $x = 2$ và $y = 48$ có phải là giá trị bất thường (outliers) không?
Xem lời giải chi tiết Dạng 3
• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 30 - 20 = 10$.
• Ngưỡng dưới: $Q_1 - 1,5 \Delta_Q = 20 - 1,5(10) = 5$.
• Ngưỡng trên: $Q_3 + 1,5 \Delta_Q = 30 + 1,5(10) = 45$.
• Giá trị $x = 2 < 5 \Rightarrow$ là giá trị ngoại lệ phía dưới.
• Giá trị $y = 48 > 45 \Rightarrow$ là giá trị ngoại lệ phía trên.
• Kết luận: Cả 2 giá trị $x=2$ và $y=48$ đều là giá trị ngoại lệ.
Bài toán mẫu: Cho mẫu số liệu ghép nhóm $X$ có $\bar{x} = 40$, $S_x = 5$. Đổi mẫu số liệu sang $Y$ theo công thức $y = 3x - 10$. Tính $\bar{y}, S_y^2, S_y$.
Xem lời giải chi tiết Dạng 4
• $\bar{y} = 3 \bar{x} - 10 = 3(40) - 10 = 110$.
• $S_y = |3| \cdot S_x = 3 \cdot 5 = 15$.
• $S_y^2 = 15^2 = 225$.
Bài toán mẫu: Doanh thu bán hàng (triệu đồng/ngày) trong 30 ngày của hai cửa hàng sách X và Y:
- Cửa hàng X: $[10; 20): 5$, $[20; 30): 20$, $[30; 40): 5$.
- Cửa hàng Y: $[10; 20): 10$, $[20; 30): 10$, $[30; 40): 10$.
Hãy tính độ lệch chuẩn doanh thu từng cửa hàng để tư vấn cho nhà đầu tư chọn cửa hàng có doanh thu ổn định hơn.
Xem lời giải chi tiết Dạng 5
• Giá trị đại diện $x_1 = 15, x_2 = 25, x_3 = 35$. Cỡ mẫu $n = 30$.
• Cả hai cửa hàng đều có doanh thu trung bình $\bar{x} = 25$ triệu đồng/ngày.
• Cửa hàng X: $S_X^2 = \frac{5(15-25)^2 + 20(0)^2 + 5(35-25)^2}{30} = \frac{500 + 0 + 500}{30} = \frac{1000}{30} = 33,33 \Rightarrow S_X \approx 5,77$ triệu.
• Cửa hàng Y: $S_Y^2 = \frac{10(15-25)^2 + 10(0)^2 + 10(35-25)^2}{30} = \frac{1000 + 0 + 1000}{30} = \frac{2000}{30} = 66,67 \Rightarrow S_Y \approx 8,16$ triệu.
• Lời khuyên: Cửa hàng X có độ lệch chuẩn doanh thu nhỏ hơn ($5,77 < 8,16$), nên doanh thu ổn định hơn cửa hàng Y.
🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện tổng hợp
Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm tổng hợp toàn bộ Chương III giúp bạn ôn luyện trước các kỳ thi.
Ngân hàng đề thi trắc nghiệm Ôn tập Chương 3
Ôn luyện tổng hợp trọn bộ câu hỏi trắc nghiệm Thống kê Toán 12!
🚀 Làm đề thi trắc nghiệm ngay →📝 Đề kiểm tra tự luận tổng hợp Chương III
Bài 1 (3,0 điểm — Nhận biết & Thông hiểu). Cho bảng ghép nhóm chiều cao (cm) của 50 học sinh nam lớp 12:
$[160; 165): 8$, $[165; 170): 20$, $[170; 175): 16$, $[175; 180): 6$.
a) Tính khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu.
b) Xác định tứ phân vị $Q_1, Q_3$ và tính khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$.
c) Tính chiều cao trung bình $\bar{x}$ của 50 học sinh trên.
Xem đáp án & Lời giải chi tiết Bài 1
a) $R = 180 - 160 = 20$ cm. (1,0 điểm)
b) $n = 50$. Tần số tích lũy: $C_1 = 8, C_2 = 28, C_3 = 44, C_4 = 50$. (1,0 điểm)
• $n/4 = 12,5 \Rightarrow Q_1 \in [165; 170): Q_1 = 165 + \frac{12,5 - 8}{20} \cdot 5 = 166,125$ cm.
• $3n/4 = 37,5 \Rightarrow Q_3 \in [170; 175): Q_3 = 170 + \frac{37,5 - 28}{16} \cdot 5 = 172,969$ cm.
• $\Delta_Q = 172,969 - 166,125 = 6,844$ cm.
c) $x_1 = 162,5; x_2 = 167,5; x_3 = 172,5; x_4 = 177,5$. (1,0 điểm)
• $\bar{x} = \frac{8(162,5) + 20(167,5) + 16(172,5) + 6(177,5)}{50} = \frac{1300 + 3350 + 2760 + 1065}{50} = \frac{8475}{50} = 169,5$ cm.
Bài 2 (3,0 điểm — Thông hiểu & Vận dụng). Tiếp tục với bảng số liệu ghép nhóm ở Bài 1:
a) Tính phương sai $S^2$ và độ lệch chuẩn $S$ chiều cao của học sinh.
b) Một học sinh có chiều cao 188 cm có bị coi là có chiều cao bất thường (outlier) so với các bạn không?
Xem đáp án & Lời giải chi tiết Bài 2
a) $S^2 = \frac{8(162,5-169,5)^2 + 20(167,5-169,5)^2 + 16(172,5-169,5)^2 + 6(177,5-169,5)^2}{50}$ (2,0 điểm)
$$S^2 = \frac{8(49) + 20(4) + 16(9) + 6(64)}{50} = \frac{392 + 80 + 144 + 384}{50} = \frac{1000}{50} = 20 \text{ cm}^2$$
• Độ lệch chuẩn $S = \sqrt{20} \approx 4,47$ cm.
b) Ngưỡng bất thường phía trên: $Q_3 + 1,5 \Delta_Q = 172,969 + 1,5(6,844) = 172,969 + 10,266 = 183,235$ cm. (1,0 điểm)
• Vì $188 \text{ cm} > 183,235 \text{ cm}$ nên chiều cao 188 cm là giá trị bất thường (outlier).
Bài 3 (2,5 điểm — Vận dụng so sánh). Thời gian chạy 800m (giây) của 40 VĐV thuộc hai câu lạc bộ X và Y:
- CLB X: $[120; 130): 5$, $[130; 140): 30$, $[140; 150): 5$.
- CLB Y: $[120; 130): 15$, $[130; 140): 10$, $[140; 150): 15$.
Hãy tính độ lệch chuẩn và nhận xét CLB nào có thành tích đồng đều hơn.
Xem đáp án & Lời giải chi tiết Bài 3
• Cả 2 CLB đều có thời gian trung bình $\bar{x} = 135$ giây. (1,0 điểm)
• CLB X: $S_X^2 = \frac{5(-10)^2 + 30(0)^2 + 5(10)^2}{40} = \frac{1000}{40} = 25 \Rightarrow S_X = 5$ giây. (1,0 điểm)
• CLB Y: $S_Y^2 = \frac{15(-10)^2 + 10(0)^2 + 15(10)^2}{40} = \frac{3000}{40} = 75 \Rightarrow S_Y = \sqrt{75} \approx 8,66$ giây.
• Vì $S_X (5) < S_Y (8,66)$ nên CLB X có thành tích thi đấu đồng đều hơn CLB Y. (0,5 điểm)
Bài 4 (1,5 điểm — Vận dụng cao). Cho mẫu số liệu ghép nhóm $X$ có $\bar{x} = 10$ và $S_x = 2$. Tìm $a > 0$ và $b$ sao cho mẫu số liệu mới $Y$ được tạo thành theo công thức $y_i = a x_i + b$ có số trung bình $\bar{y} = 50$ và độ lệch chuẩn $S_y = 6$.
Xem đáp án & Lời giải chi tiết Bài 4
• Ta có hệ phương trình: (1,5 điểm)
$$\begin{cases} S_y = a \cdot S_x \\ \bar{y} = a \bar{x} + b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6 = a \cdot 2 \\ 50 = a(10) + b \end{cases}$$
• $a = 3$. Thay $a = 3$ vào phương trình thứ hai: $50 = 3(10) + b \Rightarrow b = 20$.
• Kết luận: $a = 3$ và $b = 20$.