Bài 9: Khoảng biến thiên & tứ phân vị

I. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Định nghĩa & Công thức tính Khoảng biến thiên $R$

Trong thực tế, các mẫu số liệu thu được thường có số lượng lớn và được phân chia thành các nhóm liên tiếp. Giả sử mẫu số liệu ghép nhóm được cho dưới dạng $k$ nhóm:

$[a_1; a_2), [a_2; a_3), \dots, [a_k; a_{k+1})$ với tần số tương ứng là $n_1, n_2, \dots, n_k$.

⚡ Định nghĩa Khoảng biến thiên R

• Khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng ($a_{k+1}$) và đầu mút trái của nhóm đầu tiên ($a_1$):

$$R = a_{k+1} - a_1$$

Trong đó:

$a_1$: Giá trị nhỏ nhất có thể của dữ liệu thuộc nhóm đầu tiên.
$a_{k+1}$: Giá trị lớn nhất có thể của dữ liệu thuộc nhóm cuối cùng.

2. Ý nghĩa & Ưu nhược điểm của $R$

📌 Ý nghĩa thống kê & Đánh giá

Ý nghĩa: Khoảng biến thiên $R$ phản ánh độ rộng toàn bộ của khoảng giá trị mà số liệu bao phủ. Khoảng biến thiên càng lớn thì dữ liệu càng phân tán rộng.
Ưu điểm: Dễ tính toán, dễ hiểu, cho cái nhìn sơ bộ nhanh chóng về quy mô của mẫu số liệu.
Nhược điểm: Chỉ phụ thuộc vào hai giá trị biên ($a_1$ và $a_{k+1}$), hoàn toàn bỏ qua sự phân bố của số liệu ở bên trong. Do đó, $R$ rất nhạy cảm với các giá trị bất thường (outliers).

II. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm

Tứ phân vị chia mẫu số liệu thành 4 phần có số lượng quan sát bằng nhau (mỗi phần chứa khoảng 25% tổng số liệu):

$Q_1$: Tứ phân vị thứ nhất (Trung vị của nửa dưới).
$Q_2$: Tứ phân vị thứ hai (chính là Số trung vị $M_e$).
$Q_3$: Tứ phân vị thứ ba (Trung vị của nửa trên).

📐 Công thức xác định Tứ phân vị ghép nhóm

• Tính $Q_1$: Giả sử $Q_1$ thuộc nhóm thứ $p$ là $[a_p; a_{p+1})$. Khi đó:

$$Q_1 = a_p + \frac{\frac{n}{4} - C_{p-1}}{n_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)$$

• Tính $Q_3$: Giả sử $Q_3$ thuộc nhóm thứ $q$ là $[a_q; a_{q+1})$. Khi đó:

$$Q_3 = a_q + \frac{\frac{3n}{4} - C_{q-1}}{n_q} \cdot (a_{q+1} - a_q)$$

Trong đó:

$n$: Tổng cỡ mẫu ($n = n_1 + n_2 + \dots + n_k$).
$n_p, n_q$: Tần số của nhóm chứa $Q_1$ và $Q_3$.
$C_{p-1}, C_{q-1}$: Tần số tích lũy của các nhóm trước nhóm chứa $Q_1$ và $Q_3$.
$a_{p+1} - a_p$: Độ rộng của nhóm chứa $Q_1$.

2. Công thức Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ & Các bước xác định

⚡ Định nghĩa Khoảng tứ phân vị ΔQ

Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba $Q_3$ và tứ phân vị thứ nhất $Q_1$:

$$\Delta_Q = Q_3 - Q_1$$

📌 Quy trình 4 bước tính Khoảng tứ phân vị

Bước 1: Lập bảng tần số tích lũy $C_i$ cho các nhóm $[a_i; a_{i+1})$.
Bước 2: Tìm nhóm chứa $Q_1$ (nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $C_p \ge \frac{n}{4}$) và tính $Q_1$ theo công thức.
Bước 3: Tìm nhóm chứa $Q_3$ (nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $C_q \ge \frac{3n}{4}$) và tính $Q_3$ theo công thức.
Bước 4: Tính $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ và ghi rõ đơn vị đo.

3. Ý nghĩa & Phát hiện giá trị bất thường (Outliers)

⚡ Ý nghĩa & Tiêu chuẩn phát hiện Giá trị bất thường

• Ý nghĩa: $\Delta_Q$ đo độ phân tán của **50% số liệu ở phần trung tâm** của mẫu. Giá trị $\Delta_Q$ càng nhỏ thì 50% số liệu trung tâm càng tập trung gần trung vị.

• Khắc phục nhược điểm của R: Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ ở hai đầu biên.

• Tiêu chuẩn phát hiện Giá trị ngoại lệ (Outliers): Một giá trị $x$ được coi là bất thường nếu nằm ngoài khoảng:

$$[Q_1 - 1,5 \Delta_Q; \quad Q_3 + 1,5 \Delta_Q]$$

$x < Q_1 - 1,5 \Delta_Q$: Giá trị ngoại lệ phía dưới.
$x > Q_3 + 1,5 \Delta_Q$: Giá trị ngoại lệ phía trên.

III. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây thể hiện đường cong tần số tích lũy (Ogive) giúp xác định vị trí của $Q_1, Q_2, Q_3$ cũng như Biểu đồ hộp (Boxplot) minh họa Khoảng biến thiên $R$ và Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$.

💡 Mô phỏng 1: Đường cong tần số tích lũy (Ogive) & vị trí chiếu xác định Q₁, Q₂, Q₃.

💡 Mô phỏng 2: Biểu đồ hộp (Boxplot) minh họa R = aₖ₊₁ - a₁ và ΔQ = Q₃ - Q₁.

IV. Ví dụ mẫu chọn lọc (Đủ 8 dạng bài chi tiết)

🔍 Ví dụ 1 (Dạng 1: Tính khoảng biến thiên R cơ bản)

Khảo sát tuổi thọ (năm) của 40 bóng đèn LED được cho trong bảng ghép nhóm sau:

Tuổi thọ (năm)	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Số lượng bóng đèn	5	12	18	5

Tìm khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu trên và nêu ý nghĩa.

💡Xem lời giải chi tiết

• Nhóm đầu tiên là $[2; 4) \Rightarrow a_1 = 2$.

• Nhóm cuối cùng là $[8; 10) \Rightarrow a_5 = 10$.

• Khoảng biến thiên: $R = a_5 - a_1 = 10 - 2 = 8$ (năm).

• Ý nghĩa: Sự chênh lệch tuổi thọ giữa bóng đèn có tuổi thọ nhỏ nhất có thể và lớn nhất có thể không vượt quá 8 năm.

🔍 Ví dụ 2 (Dạng 2: Tính Khoảng tứ phân vị ΔQ)

Thời gian giải một bài toán (phút) của 40 học sinh được ghi lại như sau:

Thời gian (phút)	$[4; 8)$	$[8; 12)$	$[12; 16)$	$[16; 20)$
Số học sinh	6	14	15	5

Tính khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của mẫu số liệu ghép nhóm này.

💡Xem lời giải chi tiết

• Cỡ mẫu $n = 6 + 14 + 15 + 5 = 40$. Lập bảng tần số tích lũy $C_i$:

Nhóm 1 $[4; 8)$: $n_1 = 6, C_1 = 6$.
Nhóm 2 $[8; 12)$: $n_2 = 14, C_2 = 20$.
Nhóm 3 $[12; 16)$: $n_3 = 15, C_3 = 35$.
Nhóm 4 $[16; 20)$: $n_4 = 5, C_4 = 40$.

• Tìm $Q_1$: Ta có $\frac{n}{4} = 10$. Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm 2 $[8; 12)$ vì $C_1 = 6 < 10 \le C_2 = 20$.

Áp dụng công thức: $Q_1 = 8 + \frac{10 - 6}{14} \cdot (12 - 8) = 8 + \frac{4}{14} \cdot 4 = 8 + \frac{8}{7} \approx 9,14$ (phút).

• Tìm $Q_3$: Ta có $\frac{3n}{4} = 30$. Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm 3 $[12; 16)$ vì $C_2 = 20 < 30 \le C_3 = 35$.

Áp dụng công thức: $Q_3 = 12 + \frac{30 - 20}{15} \cdot (16 - 12) = 12 + \frac{10}{15} \cdot 4 = 12 + \frac{8}{3} \approx 14,67$ (phút).

• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 14,67 - 9,14 = 5,53$ (phút).

🔍 Ví dụ 3 (Dạng 3: Số liệu cho dưới dạng Tần số tương đối %)

Thống kê mức thu nhập hàng tháng (triệu đồng) của người lao động tại một công ty dưới dạng tỉ lệ phần trăm (%):

$[6; 10): 20\%$, $[10; 14): 45\%$, $[14; 18): 25\%$, $[18; 22): 10\%$.

Tính khoảng biến thiên $R$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Khoảng biến thiên $R = 22 - 6 = 16$ (triệu đồng).

• Để tính $\Delta_Q$, giả sử tổng số lao động là $n = 100$ (tần số tương đối chính là tần số tuyệt đối trên 100):

Nhóm 1 $[6; 10)$: $n_1 = 20, C_1 = 20$.
Nhóm 2 $[10; 14)$: $n_2 = 45, C_2 = 65$.
Nhóm 3 $[14; 18)$: $n_3 = 25, C_3 = 90$.
Nhóm 4 $[18; 22)$: $n_4 = 10, C_4 = 100$.

• $\frac{n}{4} = 25 \Rightarrow$ $Q_1$ thuộc nhóm 2 $[10; 14)$. $Q_1 = 10 + \frac{25 - 20}{45} \cdot 4 = 10 + \frac{4}{9} \approx 10,44$.

• $\frac{3n}{4} = 75 \Rightarrow$ $Q_3$ thuộc nhóm 3 $[14; 18)$. $Q_3 = 14 + \frac{75 - 65}{25} \cdot 4 = 14 + 1,6 = 15,6$.

• $\Delta_Q = 15,6 - 10,44 = 5,16$ (triệu đồng).

🔍 Ví dụ 4 (Dạng 4: So sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu)

Kết quả thi thử môn Toán của hai lớp 12A (50 học sinh) và 12B (50 học sinh) được thu thập như sau:

Lớp 12A: $[4; 6): 10$, $[6; 8): 30$, $[8; 10): 10$.
Lớp 12B: $[4; 6): 20$, $[6; 8): 10$, $[8; 10): 20$.

Hãy tính khoảng biến thiên $R$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của từng lớp, từ đó nhận xét xem học sinh lớp nào có điểm số đồng đều hơn ở phần trung tâm.

💡Xem lời giải chi tiết

• Khoảng biến thiên R: Cả hai lớp đều có $R = 10 - 4 = 6$ điểm.

• Tính $\Delta_Q$ Lớp 12A ($n=50, n/4=12.5, 3n/4=37.5$):

Nhóm chứa $Q_1$ là $[6; 8)$: $Q_1 = 6 + \frac{12,5 - 10}{30} \cdot 2 = 6 + \frac{5}{30} = 6,17$.
Nhóm chứa $Q_3$ là $[6; 8)$: $Q_3 = 6 + \frac{37,5 - 10}{30} \cdot 2 = 6 + \frac{55}{30} = 7,83$.
$\Delta_{Q, 12A} = 7,83 - 6,17 = 1,66$ điểm.

• Tính $\Delta_Q$ Lớp 12B ($n=50, n/4=12.5, 3n/4=37.5$):

Nhóm chứa $Q_1$ là $[4; 6)$: $Q_1 = 4 + \frac{12,5 - 0}{20} \cdot 2 = 5,25$.
Nhóm chứa $Q_3$ là $[8; 10)$: $Q_3 = 8 + \frac{37,5 - 30}{20} \cdot 2 = 8,75$.
$\Delta_{Q, 12B} = 8,75 - 5,25 = 3,50$ điểm.

• Kết luận: Mặc dù hai lớp có cùng khoảng biến thiên $R = 6$, nhưng $\Delta_{Q, 12A} (1,66) < \Delta_{Q, 12B} (3,50)$, chứng tỏ 50% số liệu trung tâm của lớp 12A tập trung dày đặc hơn, điểm số đồng đều hơn lớp 12B.

🔍 Ví dụ 5 (Dạng 5: Phát hiện giá trị ngoại lệ / Outliers)

Một mẫu số liệu ghép nhóm khảo sát trọng lượng (kg) của 100 sản phẩm có các tứ phân vị là $Q_1 = 15,2$ kg và $Q_3 = 18,8$ kg. Hãy xác định ranh giới để phát hiện các sản phẩm có trọng lượng bất thường (outliers).

💡Xem lời giải chi tiết

• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 18,8 - 15,2 = 3,6$ kg.

• Ngưỡng dưới: $Q_1 - 1,5 \Delta_Q = 15,2 - 1,5 \cdot (3,6) = 15,2 - 5,4 = 9,8$ kg.

• Ngưỡng trên: $Q_3 + 1,5 \Delta_Q = 18,8 + 1,5 \cdot (3,6) = 18,8 + 5,4 = 24,2$ kg.

• Kết luận: Sản phẩm có trọng lượng $x < 9,8$ kg hoặc $x > 24,2$ kg được coi là sản phẩm bất thường (ngoại lệ).

🔍 Ví dụ 6 (Dạng 6: Bài toán chứa tham số tần số m chưa biết)

Cho mẫu số liệu ghép nhóm gồm 5 nhóm $[10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50), [50; 60)$ có tần số tương ứng là $4, m, 10, 8, 3$. Biết khoảng biến thiên $R = 50$. Tìm $m$ biết rằng nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là nhóm $[20; 30)$ và $Q_1 = 24$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Tổng cỡ mẫu $n = 4 + m + 10 + 8 + 3 = m + 25$.

• Nhóm chứa $Q_1$ là $[20; 30) \Rightarrow a_p = 20$, độ rộng $a_{p+1} - a_p = 10$, tần số $n_p = m$, tần số tích lũy trước đó $C_{p-1} = 4$.

• Áp dụng công thức $Q_1 = 20 + \frac{\frac{m+25}{4} - 4}{m} \cdot 10 = 24$.

• Biến đổi: $\frac{\frac{m+25}{4} - 4}{m} \cdot 10 = 4 \Leftrightarrow \frac{m + 25 - 16}{4m} \cdot 10 = 4 \Leftrightarrow \frac{10m + 90}{4m} = 4$.

• $\Leftrightarrow 16m = 10m + 90 \Leftrightarrow 6m = 90 \Leftrightarrow m = 15$.

• Kết luận: Vậy $m = 15$.

🔍 Ví dụ 7 (Dạng 7: Bài toán thực tế Kinh tế — Thương mại)

Doanh thu hàng ngày (triệu đồng) của một siêu thị điện máy trong 60 ngày được ghi chép lại:

$[30; 40): 8$, $[40; 50): 18$, $[50; 60): 22$, $[60; 70): 12$.

Hãy tìm $Q_1, Q_3$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ để siêu thị phân tích xu hướng doanh thu ở giai đoạn ổn định nhất.

💡Xem lời giải chi tiết

• Cỡ mẫu $n = 60$. Tần số tích lũy: $C_1 = 8, C_2 = 26, C_3 = 48, C_4 = 60$.

• $\frac{n}{4} = 15 \Rightarrow Q_1$ thuộc nhóm $[40; 50)$. $Q_1 = 40 + \frac{15 - 8}{18} \cdot 10 = 40 + \frac{70}{18} \approx 43,89$ (triệu đồng).

• $\frac{3n}{4} = 45 \Rightarrow Q_3$ thuộc nhóm $[50; 60)$. $Q_3 = 50 + \frac{45 - 26}{22} \cdot 10 = 50 + \frac{190}{22} \approx 58,64$ (triệu đồng).

• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = 58,64 - 43,89 = 14,75$ (triệu đồng).

🔍 Ví dụ 8 (Dạng 8: Bài toán thực tế Y học — Chiều cao trẻ em)

Khảo sát chiều cao (cm) của 80 trẻ mầm non 5 tuổi có bảng số liệu ghép nhóm:

$[95; 100): 10$, $[100; 105): 28$, $[105; 110): 32$, $[110; 115): 10$.

Tính khoảng biến thiên $R$, khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ và xác định khoảng giá trị chiều cao của 50% số trẻ trung tâm.

💡Xem lời giải chi tiết

• Khoảng biến thiên $R = 115 - 95 = 20$ cm.

• Cỡ mẫu $n = 80$. Tần số tích lũy: $C_1 = 10, C_2 = 38, C_3 = 70, C_4 = 80$.

• $\frac{n}{4} = 20 \Rightarrow Q_1$ thuộc nhóm $[100; 105)$. $Q_1 = 100 + \frac{20 - 10}{28} \cdot 5 = 100 + \frac{50}{28} \approx 101,79$ cm.

• $\frac{3n}{4} = 60 \Rightarrow Q_3$ thuộc nhóm $[105; 110)$. $Q_3 = 105 + \frac{60 - 38}{32} \cdot 5 = 105 + \frac{110}{32} \approx 108,44$ cm.

• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = 108,44 - 101,79 = 6,65$ cm.

• Kết luận: 50% số trẻ ở phần trung tâm có chiều cao dao động trong khoảng từ $101,79$ cm đến $108,44$ cm.

🎯 V. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm khách quan giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho mẫu số liệu ghép nhóm gồm 4 nhóm. Nhóm đầu tiên là $[6; 10)$ và nhóm cuối cùng là $[18; 22)$. Khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu ghép nhóm này là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất $Q_1 = 13$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3 = 18$. Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của mẫu số liệu là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Mẫu số liệu ghép nhóm chiều cao học sinh (cm) có nhóm đầu $[148; 153)$ và nhóm cuối $[177; 182)$. Khoảng biến thiên $R$ bằng:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Cho mẫu số liệu có $Q_1 = 25$ và $\Delta_Q = 4$. Tiêu chuẩn xác định một giá trị $x$ là bất thường (outlier) phía trên là khi:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Khảo sát tuổi thọ (năm) của 40 thiết bị điện tử có các tứ phân vị là $Q_1 = 6$ năm và $Q_3 = 11$ năm. Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ cho biết:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có $n = 40$. Tần số tích lũy của nhóm 1 là $C_1 = 4$, nhóm 2 là $C_2 = 22$. Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho mẫu số liệu ghép nhóm thời gian làm việc (giờ) của 60 công nhân có $Q_1 = 43$ và $Q_3 = 54$. Giá trị $x = 21$ có phải là giá trị bất thường (outlier) không?

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Hai mẫu số liệu ghép nhóm A và B có cùng khoảng biến thiên $R = 20$. Mẫu A có $\Delta_{Q,A} = 3$, mẫu B có $\Delta_{Q,B} = 7$. Kết luận nào sau đây **đúng**?

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Cho bảng ghép nhóm $[10; 20): 10$, $[20; 30): 24$, $[30; 40): 9$. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ nằm trong khoảng nhóm nào?

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Ưu điểm nổi bật của Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ so với Khoảng biến thiên $R$ là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Khoảng biến thiên & Tứ phân vị

Rèn luyện trắc nghiệm với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Thời gian xem ti vi mỗi ngày (phút) của 50 học sinh THPT được ghép nhóm như sau:

$[0; 30): 8$, $[30; 60): 16$, $[60; 90): 18$, $[90; 120): 8$.

a) Tính khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu.

b) Xác định các tứ phân vị $Q_1, Q_3$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$.

💡Xem lời giải Bài 1

a) $R = 120 - 0 = 120$ (phút).

b) Cỡ mẫu $n = 50$. Tần số tích lũy: $C_1 = 8, C_2 = 24, C_3 = 42, C_4 = 50$.

• $\frac{n}{4} = 12,5 \Rightarrow Q_1$ thuộc $[30; 60)$: $Q_1 = 30 + \frac{12,5 - 8}{16} \cdot 30 = 38,44$ phút.

• $\frac{3n}{4} = 37,5 \Rightarrow Q_3$ thuộc $[60; 90)$: $Q_3 = 60 + \frac{37,5 - 24}{18} \cdot 30 = 82,5$ phút.

• $\Delta_Q = 82,5 - 38,44 = 44,06$ phút.

Bài 2 (Thông hiểu — So sánh hai mẫu). Lượng mưa hàng tháng (mm) tại hai trạm A và B trong 12 tháng năm 2025 được thống kê ghép nhóm:

Trạm A: $[0; 100): 3$, $[100; 200): 6$, $[200; 300): 3$.
Trạm B: $[0; 100): 1$, $[100; 200): 10$, $[200; 300): 1$.

a) Tính $R$ và $\Delta_Q$ cho từng trạm.

b) Lượng mưa ở trạm nào ít biến động hơn ở phần trung tâm?

💡Xem lời giải Bài 2

a) Cả 2 trạm đều có $R = 300 - 0 = 300$ mm.

• Trạm A ($n=12, n/4=3, 3n/4=9$): $Q_1 = 100$, $Q_3 = 200 \Rightarrow \Delta_{Q,A} = 100$ mm.

• Trạm B ($n=12, n/4=3, 3n/4=9$): $Q_1 = 100 + \frac{3-1}{10} \cdot 100 = 120$; $Q_3 = 100 + \frac{9-1}{10} \cdot 100 = 180 \Rightarrow \Delta_{Q,B} = 60$ mm.

b) Trạm B có $\Delta_{Q,B} = 60 < 100 = \Delta_{Q,A}$, nên lượng mưa ở trạm B ít biến động hơn ở vùng 50% trung tâm.

Bài 3 (Vận dụng — Kiểm tra Ngoại lệ). Đo vận tốc (km/h) của 120 phương tiện tham gia giao thông trên một tuyến đường thu được $Q_1 = 48,5$ km/h và $Q_3 = 62,0$ km/h.

a) Tính khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$.

b) Xe chạy với vận tốc 85 km/h có bị coi là chạy quá tốc độ bất thường (outlier) không?

💡Xem lời giải Bài 3

a) $\Delta_Q = 62,0 - 48,5 = 13,5$ km/h.

b) Ngưỡng bất thường phía trên: $Q_3 + 1,5 \Delta_Q = 62,0 + 1,5 \cdot 13,5 = 62,0 + 20,25 = 82,25$ km/h.

Vì $85 \text{ km/h} > 82,25 \text{ km/h}$ nên xe chạy với vận tốc 85 km/h chính là một giá trị bất thường (outlier).

Bài 4 (Vận dụng cao — Lập bảng & Tham số). Một xưởng cơ khí ghi lại độ dày (mm) của các chi tiết máy sản xuất ra:

$[19,5; 19,8): 5$, $[19,8; 20,1): 25$, $[20,1; 20,4): 50$, $[20,4; 20,7): 20$.

a) Tính khoảng biến thiên $R$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$.

b) Xưởng quy định các chi tiết lệch quá $1,5\Delta_Q$ so với vùng trung tâm là phế phẩm. Hãy xác định dải kích thước chuẩn để chi tiết không bị loại bỏ.

💡Xem lời giải Bài 4

a) $R = 20,7 - 19,5 = 1,2$ mm.

• $n = 100$. Tích lũy: $C_1 = 5, C_2 = 30, C_3 = 80, C_4 = 100$.

• $n/4 = 25 \Rightarrow Q_1 \in [19,8; 20,1): Q_1 = 19,8 + \frac{25-5}{25} \cdot 0,3 = 20,04$ mm.

• $3n/4 = 75 \Rightarrow Q_3 \in [20,1; 20,4): Q_3 = 20,1 + \frac{75-30}{50} \cdot 0,3 = 20,37$ mm.

• $\Delta_Q = 20,37 - 20,04 = 0,33$ mm.

b) Ngưỡng dưới: $20,04 - 1,5(0,33) = 19,545$ mm.

• Ngưỡng trên: $20,37 + 1,5(0,33) = 20,865$ mm.

• Dải kích thước đạt chuẩn là $[19,545 \text{ mm}; 20,865 \text{ mm}]$.

Bài 5 (Thực tế Tài chính). Khảo sát số tiền tiết kiệm hàng tháng (triệu đồng) của 200 hộ gia đình:

$[0; 5): 30$, $[5; 10): 70$, $[10; 15): 60$, $[15; 20): 40$.

Tìm $R, Q_1, Q_3, \Delta_Q$ và đưa ra nhận xét về mức độ phân tán tiền tiết kiệm của 50% hộ gia đình ở mức trung bình.

💡Xem lời giải Bài 5

• $R = 20 - 0 = 20$ triệu đồng.

• $n = 200$. Tích lũy: $C_1 = 30, C_2 = 100, C_3 = 160, C_4 = 200$.

• $n/4 = 50 \Rightarrow Q_1 \in [5; 10): Q_1 = 5 + \frac{50-30}{70} \cdot 5 = 6,43$ triệu đồng.

• $3n/4 = 150 \Rightarrow Q_3 \in [10; 15): Q_3 = 10 + \frac{150-100}{60} \cdot 5 = 14,17$ triệu đồng.

• $\Delta_Q = 14,17 - 6,43 = 7,74$ triệu đồng.

• Nhận xét: 50% số hộ gia đình trung tâm tiết kiệm từ $6,43$ triệu đến $14,17$ triệu đồng/tháng, với độ phân tán là $7,74$ triệu đồng.