Bài 10: Phương sai & độ lệch chuẩn

I. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Giá trị đại diện $x_i$ & Công thức Số trung bình $\bar{x}$

Đối với mẫu số liệu ghép nhóm gồm $k$ nhóm $[a_1; a_2), [a_2; a_3), \dots, [a_k; a_{k+1})$ với tần số tương ứng $n_1, n_2, \dots, n_k$ (cỡ mẫu $n = n_1 + n_2 + \dots + n_k$):

Giá trị đại diện $x_i$ của nhóm $[a_i; a_{i+1})$ là trung điểm của nhóm đó:

$$x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2} \quad (i = 1, 2, \dots, k)$$

⚡ Công thức Số trung bình ghép nhóm x̄

Số trung bình $\bar{x}$ của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng tổng các tích của giá trị đại diện với tần số tương ứng chia cho cỡ mẫu:

$$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i x_i$$

2. Ý nghĩa của Số trung bình

Số trung bình đại diện cho vị trí trung tâm của dữ liệu. Tuy nhiên, số trung bình chỉ đo xu thế trung tâm mà không thể hiện được mức độ phân tán hoặc biến động của các số liệu xung quanh điểm trung tâm đó.

II. Phương sai & Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Định nghĩa & Công thức tính Phương sai $S^2$

Để đo độ lệch của các số liệu so với số trung bình $\bar{x}$, người ta tính trung bình cộng của bình phương các khoảng cách từ từng giá trị đại diện $x_i$ đến $\bar{x}$.

⚡ Định nghĩa Phương sai S² ghép nhóm

Phương sai $S^2$ của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức:

$$S^2 = \frac{1}{n} \left[ n_1(x_1 - \bar{x})^2 + n_2(x_2 - \bar{x})^2 + \dots + n_k(x_k - \bar{x})^2 \right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i (x_i - \bar{x})^2$$

2. Công thức tính nhanh Phương sai $S^2$

Trong tính toán thực tế, công thức định nghĩa có thể dẫn đến sai số làm tròn khi $\bar{x}$ là số thập phân lẻ. Ta thường dùng công thức biến đổi thu gọn sau:

📌 Công thức tính nhanh Phương sai S²

$$S^2 = \frac{1}{n} \left( n_1 x_1^2 + n_2 x_2^2 + \dots + n_k x_k^2 \right) - \bar{x}^2 = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i x_i^2 \right) - \bar{x}^2$$

Quy trình bấm máy: Tính trung bình các bình phương minus bình phương số trung bình!

3. Công thức tính Độ lệch chuẩn $S$

Vì phương sai $S^2$ mang đơn vị đo là bình phương đơn vị của dữ liệu gốc (ví dụ: $\text{kg}^2$, $\text{triệu đồng}^2$), nên để có số đo cùng đơn vị với dữ liệu gốc, người ta căn bậc hai phương sai.

⚡ Định nghĩa Độ lệch chuẩn S

Độ lệch chuẩn $S$ là căn bậc hai số học của phương sai:

$$S = \sqrt{S^2}$$

III. Ý nghĩa thống kê & Ứng dụng thực tiễn

📌 Ý nghĩa & Ứng dụng thực tế của S² và S

Đo mức độ phân tán: Phương sai $S^2$ và Độ lệch chuẩn $S$ đo độ biến động của các số liệu xung quanh giá trị trung bình $\bar{x}$.
- $S$ càng nhỏ: Các số liệu càng tập trung dày đặc gần $\bar{x} \Rightarrow$ dữ liệu có độ ổn định cao, đồng đều.
- $S$ càng lớn: Các số liệu bị rải rác rộng xa $\bar{x} \Rightarrow$ dữ liệu có độ biến động mạnh, phân tán cao.
Đo rủi ro tài chính & chứng khoán: Trong quản trị danh mục đầu tư, độ lệch chuẩn $S$ đại diện cho rủi ro biến động giá. Cổ phiếu có $S$ nhỏ sẽ an toàn và ổn định hơn.
Kiểm soát chất lượng công nghiệp: Trên dây chuyền sản xuất tự động, độ lệch chuẩn $S$ về kích thước/trọng lượng sản phẩm nhỏ chứng tỏ máy móc vận hành chính xác và ít lỗi.
Thể thao & Giáo dục: Đánh giá phong độ thi đấu của vận động viên hoặc độ đồng đều kiến thức của các lớp học.

IV. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Đồ thị dưới đây thể hiện đường cong phân bố tần số dạng chuông (Phân bố chuẩn) cùng với vùng số liệu nằm trong khoảng $\bar{x} \pm S$ và $\bar{x} \pm 2S$, minh họa trực quan ý nghĩa của độ lệch chuẩn $S$.

💡 Mô phỏng 1: Đường cong phân bố và dải độ lệch chuẩn x̄ ± S (chứa ~68% dữ liệu) và x̄ ± 2S (chứa ~95% dữ liệu).

💡 Mô phỏng 2: So sánh hai đường cong có cùng giá trị trung bình x̄ = 10 nhưng có S nhỏ (ổn định) và S lớn (phân tán).

V. Ví dụ mẫu chọn lọc (Đủ 8 dạng bài chi tiết)

🔍 Ví dụ 1 (Dạng 1: Tính trọn bộ x̄, S² và S từ bảng ghép nhóm)

Khảo sát số tiền điện (nghìn đồng) trong một tháng của 20 hộ gia đình:

Số tiền điện (nghìn đồng)	$[100; 200)$	$[200; 300)$	$[300; 400)$
Số hộ gia đình ($n_i$)	4	10	6

Tính số trung bình $\bar{x}$, phương sai $S^2$ và độ lệch chuẩn $S$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Bước 1: Tìm giá trị đại diện $x_i$:

Nhóm 1 $[100; 200) \Rightarrow x_1 = 150$, $n_1 = 4$.
Nhóm 2 $[200; 300) \Rightarrow x_2 = 250$, $n_2 = 10$.
Nhóm 3 $[300; 400) \Rightarrow x_3 = 350$, $n_3 = 6$.

• Cỡ mẫu $n = 4 + 10 + 6 = 20$.

• Bước 2: Tính số trung bình $\bar{x}$:

$$\bar{x} = \frac{4(150) + 10(250) + 6(350)}{20} = \frac{600 + 2500 + 2100}{20} = \frac{5200}{20} = 260 \text{ (nghìn đồng)}$$

• Bước 3: Tính phương sai $S^2$:

$$S^2 = \frac{4(150-260)^2 + 10(250-260)^2 + 6(350-260)^2}{20} = \frac{4(-110)^2 + 10(-10)^2 + 6(90)^2}{20}$$

$$S^2 = \frac{4(12100) + 10(100) + 6(8100)}{20} = \frac{48400 + 1000 + 48600}{20} = \frac{98000}{20} = 4900 \text{ (nghìn đồng)}^2$$

• Bước 4: Tính độ lệch chuẩn $S$:

$$S = \sqrt{4900} = 70 \text{ (nghìn đồng)}$$

🔍 Ví dụ 2 (Dạng 2: Sử dụng công thức thu gọn S² = (1/n)∑ n_i x_i² - x̄²)

Điểm kiểm tra giữa kỳ 1 môn Vật lí của 40 học sinh được cho trong bảng ghép nhóm:

$[4; 6): 6$, $[6; 8): 24$, $[8; 10): 10$.

Sử dụng công thức thu gọn để tính phương sai $S^2$ và độ lệch chuẩn $S$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Giá trị đại diện: $x_1 = 5, x_2 = 7, x_3 = 9$. Cỡ mẫu $n = 40$.

• Số trung bình: $\bar{x} = \frac{6(5) + 24(7) + 10(9)}{40} = \frac{30 + 168 + 90}{40} = \frac{288}{40} = 7,2$ điểm.

• Tính tổng các bình phương $\sum n_i x_i^2 = 6(5^2) + 24(7^2) + 10(9^2) = 6(25) + 24(49) + 10(81) = 150 + 1176 + 810 = 2136$.

• Phương sai thu gọn: $S^2 = \frac{2136}{40} - (7,2)^2 = 53,4 - 51,84 = 1,56$ điểm$^2$.

• Độ lệch chuẩn: $S = \sqrt{1,56} \approx 1,249$ điểm.

🔍 Ví dụ 3 (Dạng 3: So sánh độ rủi ro giữa 2 cổ phiếu tài chính)

Theo dõi tỷ lệ sinh lời hàng tháng (%) của hai cổ phiếu A và B trong 20 tháng:

Cổ phiếu A: $[-5; 0): 3$, $[0; 5): 14$, $[5; 10): 3$.
Cổ phiếu B: $[-5; 0): 6$, $[0; 5): 8$, $[5; 10): 6$.

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn tỷ lệ sinh lời của hai cổ phiếu.

b) Nhà đầu tư ngại rủi ro nên chọn cổ phiếu nào?

💡Xem lời giải chi tiết

• Giá trị đại diện từng nhóm: $x_1 = -2,5; x_2 = 2,5; x_3 = 7,5$. Cỡ mẫu $n = 20$.

• Cổ phiếu A:

$\bar{x}_A = \frac{3(-2,5) + 14(2,5) + 3(7,5)}{20} = \frac{-7,5 + 35 + 22,5}{20} = \frac{50}{20} = 2,5\%$.
$\sum n_i x_i^2 = 3(6,25) + 14(6,25) + 3(56,25) = 18,75 + 87,5 + 168,75 = 275$.
$S_A^2 = \frac{275}{20} - (2,5)^2 = 13,75 - 6,25 = 7,5 \Rightarrow S_A = \sqrt{7,5} \approx 2,74\%$.

• Cổ phiếu B:

$\bar{x}_B = \frac{6(-2,5) + 8(2,5) + 6(7,5)}{20} = \frac{-15 + 20 + 45}{20} = \frac{50}{20} = 2,5\%$.
$\sum n_i x_i^2 = 6(6,25) + 8(6,25) + 6(56,25) = 37,5 + 50 + 337,5 = 425$.
$S_B^2 = \frac{425}{20} - (2,5)^2 = 21,25 - 6,25 = 15,0 \Rightarrow S_B = \sqrt{15} \approx 3,87\%$.

• Kết luận: Cả hai cổ phiếu có cùng tỷ lệ sinh lời trung bình $\bar{x} = 2,5\%$, nhưng $S_A (2,74\%) < S_B (3,87\%)$. Do đó cổ phiếu A ít rủi ro biến động hơn, nhà đầu tư ngại rủi ro nên chọn cổ phiếu A.

🔍 Ví dụ 4 (Dạng 4: So sánh độ ổn định phong độ thể thao)

Kết quả 50 lần bắn của hai vận động viên bắn súng X và Y (điểm số từ 6 đến 10):

Vận động viên X: $[6; 8): 5$, $[8; 9): 15$, $[9; 10]: 30$.
Vận động viên Y: $[6; 8): 15$, $[8; 9): 20$, $[9; 10]: 15$.

Vận động viên nào có phong độ thi đấu ổn định hơn?

💡Xem lời giải chi tiết

• Vận động viên X có giá trị đại diện $x_1 = 7, x_2 = 8,5, x_3 = 9,5$.

• $\bar{x}_X = \frac{5(7) + 15(8,5) + 30(9,5)}{50} = \frac{35 + 127,5 + 285}{50} = \frac{447,5}{50} = 8,95$ điểm.

• $S_X^2 = \frac{5(7-8,95)^2 + 15(8,5-8,95)^2 + 30(9,5-8,95)^2}{50} = \frac{5(3,8025) + 15(0,2025) + 30(0,3025)}{50} = \frac{19,0125 + 3,0375 + 9,075}{50} = \frac{31,125}{50} = 0,6225 \Rightarrow S_X \approx 0,789$.

• Vận động viên Y: $\bar{x}_Y = \frac{15(7) + 20(8,5) + 15(9,5)}{50} = \frac{105 + 170 + 142,5}{50} = \frac{417,5}{50} = 8,35$ điểm.

• $S_Y^2 = \frac{15(7-8,35)^2 + 20(8,5-8,35)^2 + 15(9,5-8,35)^2}{50} = \frac{15(1,8225) + 20(0,0225) + 15(1,3225)}{50} = \frac{27,3375 + 0,45 + 19,8375}{50} = \frac{47,625}{50} = 0,9525 \Rightarrow S_Y \approx 0,976$.

• Kết luận: Vận động viên X vừa có điểm số trung bình cao hơn ($8,95 > 8,35$) vừa có độ lệch chuẩn nhỏ hơn ($0,789 < 0,976$), nên vận động viên X có phong độ thi đấu ổn định và xuất sắc hơn.

🔍 Ví dụ 5 (Dạng 5: Xử lý dữ liệu từ Biểu đồ cột / Histogram)

Một histogram biểu diễn thời gian chờ khám bệnh (phút) của 50 bệnh nhân tại phòng khám có các cột ghép nhóm:

$[10; 20): 10$, $[20; 30): 25$, $[30; 40): 15$.

Tính độ lệch chuẩn thời gian chờ của bệnh nhân.

💡Xem lời giải chi tiết

• Giá trị đại diện $x_1 = 15, x_2 = 25, x_3 = 35$. Cỡ mẫu $n = 50$.

• $\bar{x} = \frac{10(15) + 25(25) + 15(35)}{50} = \frac{150 + 625 + 525}{50} = \frac{1300}{50} = 26$ phút.

• $S^2 = \frac{10(15-26)^2 + 25(25-26)^2 + 15(35-26)^2}{50} = \frac{10(121) + 25(1) + 15(81)}{50} = \frac{1210 + 25 + 1215}{50} = \frac{2450}{50} = 49$.

• Độ lệch chuẩn $S = \sqrt{49} = 7$ phút.

🔍 Ví dụ 6 (Dạng 6: Bài toán tìm tần số m chưa biết)

Cho mẫu số liệu ghép nhóm gồm 3 nhóm $[0; 4), [4; 8), [8; 12)$ có tần số lần lượt là $5, m, 5$. Biết số trung bình $\bar{x} = 6$ và phương sai $S^2 = 3,2$. Tìm $m$ và tính độ lệch chuẩn $S$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Giá trị đại diện $x_1 = 2, x_2 = 6, x_3 = 10$.

• Cỡ mẫu $n = 5 + m + 5 = m + 10$.

• Ta có $\bar{x} = \frac{5(2) + m(6) + 5(10)}{m + 10} = \frac{60 + 6m}{m + 10} = 6$. (Thỏa mãn $\forall m > 0$).

• Áp dụng công thức tính phương sai $S^2 = 3,2$:

$$S^2 = \frac{5(2-6)^2 + m(6-6)^2 + 5(10-6)^2}{m+10} = \frac{5(16) + 0 + 5(16)}{m+10} = \frac{160}{m+10} = 3,2$$

• $\Rightarrow m + 10 = \frac{160}{3,2} = 50 \Rightarrow m = 40$.

• Độ lệch chuẩn $S = \sqrt{3,2} \approx 1,789$.

🔍 Ví dụ 7 (Dạng 7: Tính chất biến đổi tuyến tính y = a*x + b)

Một mẫu số liệu ghép nhóm $X$ có số trung bình $\bar{x} = 50$ và độ lệch chuẩn $S_x = 4$. Người ta chuyển đổi từng số liệu theo công thức $y_i = 2x_i + 10$. Hãy tính số trung bình $\bar{y}$, phương sai $S_y^2$ và độ lệch chuẩn $S_y$ của mẫu số liệu mới $Y$.

💡Xem lời giải chi tiết

• Theo tính chất biến đổi tuyến tính $y = ax + b$ với $a = 2, b = 10$:

• Số trung bình mới: $\bar{y} = a\bar{x} + b = 2(50) + 10 = 110$.

• Độ lệch chuẩn mới: $S_y = |a| \cdot S_x = |2| \cdot 4 = 8$.

• Phương sai mới: $S_y^2 = a^2 \cdot S_x^2 = 2^2 \cdot (4^2) = 4 \cdot 16 = 64$.

🔍 Ví dụ 8 (Dạng 8: Bài toán Nông nghiệp — Năng suất lúa)

Khảo sát năng suất lúa (tấn/ha) của 100 hợp tác xã nông nghiệp:

$[5,0; 5,5): 10$, $[5,5; 6,0): 30$, $[6,0; 6,5): 40$, $[6,5; 7,0): 20$.

Tính phương sai và độ lệch chuẩn năng suất lúa để đánh giá sự đồng đều giữa các hợp tác xã.

💡Xem lời giải chi tiết

• Giá trị đại diện $x_1 = 5,25; x_2 = 5,75; x_3 = 6,25; x_4 = 6,75$. Cỡ mẫu $n = 100$.

• Năng suất trung bình: $\bar{x} = \frac{10(5,25) + 30(5,75) + 40(6,25) + 20(6,75)}{100} = \frac{52,5 + 172,5 + 250 + 135}{100} = \frac{610}{100} = 6,10$ tấn/ha.

• Phương sai $S^2 = \frac{10(5,25-6,1)^2 + 30(5,75-6,1)^2 + 40(6,25-6,1)^2 + 20(6,75-6,1)^2}{100}$

$$S^2 = \frac{10(0,7225) + 30(0,1225) + 40(0,0225) + 20(0,4225)}{100} = \frac{7,225 + 3,675 + 0,9 + 8,45}{100} = \frac{20,25}{100} = 0,2025 \text{ (tấn/ha)}^2$$

• Độ lệch chuẩn $S = \sqrt{0,2025} = 0,45$ tấn/ha.

• Kết luận: Năng suất lúa trung bình đạt 6,10 tấn/ha với độ lệch chuẩn nhỏ $S = 0,45$ tấn/ha, thể hiện trình độ canh tác của các hợp tác xã khá đồng đều.

🎯 VI. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm khách quan giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có phương sai $S^2 = 18$. Độ lệch chuẩn $S$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho bảng số liệu ghép nhóm có $n = 20$, số trung bình $\bar{x} = 9$, và $\sum n_i x_i^2 = 1780$!$. Phương sai $S^2$ của mẫu số liệu là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Mẫu số liệu $X$ có độ lệch chuẩn $S_x = 5$. Nếu nhân tất cả các giá trị số liệu với 3 thì mẫu số liệu mới $Y$ có độ lệch chuẩn $S_y$ bằng:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Hai danh mục đầu tư A và B có tỉ lệ sinh lời trung bình như nhau. Danh mục A có $S_A = 3\%$, danh mục B có $S_B = 8\%$. Nhà đầu tư ưu tiên an toàn nên chọn danh mục nào?

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho hai lớp 12A và 12B có cùng điểm trung bình môn Toán là 7,5. Biết độ lệch chuẩn điểm số là $S_A = !sa:0.6:0.9!$ và $S_B = !sb:1.2:1.6!$. Khẳng định nào đúng?

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Mẫu số liệu ghép nhóm có 3 nhóm $[0; 4), [4; 8), [8; 12)$ có giá trị đại diện lần lượt là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Mẫu số liệu $X$ có phương sai $S_x^2 = 11$. Nếu tăng tất cả các giá trị thêm 8 đơn vị ($y_i = x_i + 8$) thì phương sai $S_y^2$ của mẫu mới là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Cho bảng số liệu ghép nhóm $[10; 20): 8$, $[20; 30): 10$, $[30; 40): 5$. Số trung bình $\bar{x}$ của mẫu số liệu bằng:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Đơn vị đo của phương sai $S^2$ so với đơn vị của dữ liệu gốc là:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Ý nghĩa chính của độ lệch chuẩn $S$ trong thống kê là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Phương sai & Độ lệch chuẩn

Rèn luyện kỹ năng bấm máy và giải nhanh các bài toán thống kê!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp (Bài tập về nhà)

📝 Bài tập tự luận Phương sai & Độ lệch chuẩn (5 Bài lớn phân loại)

Bài 1 (Cơ bản). Thời gian chạy 100m (giây) của 30 học sinh nam khối 12 ghép nhóm:

$[12; 13): 6$, $[13; 14): 18$, $[14; 15): 6$.

a) Tính số trung bình $\bar{x}$.

b) Tính phương sai $S^2$ và độ lệch chuẩn $S$.

💡Xem lời giải Bài 1

a) Giá trị đại diện $x_1 = 12,5; x_2 = 13,5; x_3 = 14,5$. $\bar{x} = \frac{6(12,5) + 18(13,5) + 6(14,5)}{30} = 13,5$ giây.

b) $S^2 = \frac{6(12,5-13,5)^2 + 18(0)^2 + 6(14,5-13,5)^2}{30} = \frac{6(1) + 0 + 6(1)}{30} = \frac{12}{30} = 0,4$ giây$^2$.

• $S = \sqrt{0,4} \approx 0,632$ giây.

Bài 2 (Thông hiểu — So sánh 2 dây chuyền đóng gói). Trọng lượng (gam) của các gói bánh từ hai dây chuyền A và B (mỗi dây chuyền kiểm tra 50 gói):

Dây chuyền A: $[490; 495): 5$, $[495; 500): 40$, $[500; 505): 5$.
Dây chuyền B: $[490; 495): 15$, $[495; 500): 20$, $[500; 505): 15$.

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của từng dây chuyền.

b) Dây chuyền nào vận hành chuẩn xác và ít lỗi hơn?

💡Xem lời giải Bài 2

a) $x_1 = 492,5; x_2 = 497,5; x_3 = 502,5$.

• Dây chuyền A: $\bar{x}_A = 497,5$ g; $S_A^2 = \frac{5(-5)^2 + 40(0)^2 + 5(5)^2}{50} = \frac{250}{50} = 5 \Rightarrow S_A = \sqrt{5} \approx 2,24$ g.

• Dây chuyền B: $\bar{x}_B = 497,5$ g; $S_B^2 = \frac{15(-5)^2 + 20(0)^2 + 15(5)^2}{50} = \frac{750}{50} = 15 \Rightarrow S_B = \sqrt{15} \approx 3,87$ g.

b) Vì $S_A (2,24) < S_B (3,87)$ nên dây chuyền A đóng gói chuẩn xác và ít bị lệch chuẩn hơn.

Bài 3 (Vận dụng — Phân tích dữ liệu y tế). Khảo sát chỉ số đường huyết (mg/dL) của 100 bệnh nhân tiểu đường:

$[70; 100): 15$, $[100; 130): 45$, $[130; 160): 30$, $[160; 190): 10$.

a) Tính số trung bình $\bar{x}$ và độ lệch chuẩn $S$.

b) Tính tỉ lệ bệnh nhân có chỉ số đường huyết nằm trong khoảng $[\bar{x} - S; \bar{x} + S]$.

💡Xem lời giải Bài 3

a) $x_1 = 85, x_2 = 115, x_3 = 145, x_4 = 175$. Cỡ mẫu $n = 100$.

• $\bar{x} = \frac{15(85) + 45(115) + 30(145) + 10(175)}{100} = \frac{1275 + 5175 + 4350 + 1750}{100} = 125,5$ mg/dL.

• $S^2 = \frac{15(85-125,5)^2 + 45(115-125,5)^2 + 30(145-125,5)^2 + 10(175-125,5)^2}{100}$

$$S^2 = \frac{15(1640,25) + 45(110,25) + 30(380,25) + 10(2450,25)}{100} = \frac{24603,75 + 4961,25 + 11407,5 + 24502,5}{100} = 654,75$$

• $S = \sqrt{654,75} \approx 25,59$ mg/dL.

b) Khoảng $[\bar{x} - S; \bar{x} + S] = [99,91; 151,09]$. Các nhóm lân cận chính là nhóm 2 $[100; 130)$ và nhóm 3 $[130; 160)$ gồm $45 + 30 = 75$ bệnh nhân (chiếm khoảng 75%).

Bài 4 (Vận dụng cao — Biến đổi mẫu). Một bảng ghép nhóm $X$ có $\bar{x} = 20$ và $S_x^2 = 9$.

a) Nếu tăng tất cả các số liệu lên 5 đơn vị ($y_i = x_i + 5$), tính $\bar{y}, S_y^2, S_y$.

b) Nếu gấp đôi tất cả các số liệu ($z_i = 2x_i$), tính $\bar{z}, S_z^2, S_z$.

💡Xem lời giải Bài 4

a) Với phép tịnh tiến $y = x + 5$ ($a=1, b=5$):

• $\bar{y} = 20 + 5 = 25$.

• $S_y^2 = 1^2 \cdot S_x^2 = 9 \Rightarrow S_y = 3$. (Phép cộng tịnh tiến không làm thay đổi phương sai & độ lệch chuẩn).

b) Với phép nhân tỉ lệ $z = 2x$ ($a=2, b=0$):

• $\bar{z} = 2(20) = 40$.

• $S_z^2 = 2^2 \cdot S_x^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow S_z = 2 \cdot 3 = 6$.

Bài 5 (Thực tế Lâm nghiệp). Đo đường kính thân cây (cm) của 60 cây gỗ trồng trong rừng sản xuất:

$[20; 30): 10$, $[30; 40): 30$, $[40; 50): 15$, $[50; 60): 5$.

Tính số trung bình và độ lệch chuẩn để đánh giá xem rừng cây đã đạt độ đồng đều thu hoạch hay chưa.

💡Xem lời giải Bài 5

• $x_1 = 25, x_2 = 35, x_3 = 45, x_4 = 55$. Cỡ mẫu $n = 60$.

• $\bar{x} = \frac{10(25) + 30(35) + 15(45) + 5(55)}{60} = \frac{250 + 1050 + 675 + 275}{60} = \frac{2250}{60} = 37,5$ cm.

• $S^2 = \frac{10(25-37,5)^2 + 30(35-37,5)^2 + 15(45-37,5)^2 + 5(55-37,5)^2}{60}$

$$S^2 = \frac{10(156,25) + 30(6,25) + 15(56,25) + 5(306,25)}{60} = \frac{1562,5 + 187,5 + 843,75 + 1531,25}{60} = \frac{4125}{60} = 68,75$$

• $S = \sqrt{68,75} \approx 8,29$ cm.

• Kết luận: Đường kính thân cây trung bình là $37,5$ cm với độ lệch chuẩn $S \approx 8,29$ cm.