Ôn chương 2 - Toán 12
Lý thuyết tổng hợp và bài tập có lời giải Ôn chương 2 - Toán 12 — SGK Toán 12 Kết nối tri thức.
I. Hệ thống lý thuyết trọng tâm Chương II
1. Vectơ không gian & Quy tắc hình hộp
• Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ thì $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'} = \vec{AC'}$.
• Đồng phẳng: 3 vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow \vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ (với $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương).
2. Hệ tọa độ Oxyz & Tọa độ điểm / vectơ
• $\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} \Leftrightarrow M(x; y; z)$.
• $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.
• Trung điểm $I\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.
• Trọng tâm tam giác $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \frac{y_A+y_B+y_C}{3}; \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$.
3. Biểu thức tọa độ, Tích vô hướng & Góc
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$.
• $|\vec{u}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$.
• $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$.
II. Đồ thị tương tác JSXGraph tổng hợp Chương II
💡 Mô phỏng đồ thị 3D tổng hợp hệ tọa độ Oxyz và hình hộp chữ nhật.
III. Các dạng toán vận dụng cao Chương II (6 Ví dụ mẫu)
Trong không gian $Oxyz$, cho 4 điểm $A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1)$. Chứng minh rằng $A, B, C, D$ là 4 đỉnh của một tứ diện.
Xem lời giải
• $\vec{AB} = (-1; 1; 0)$, $\vec{AC} = (-1; 0; 1)$, $\vec{AD} = (0; 1; 1)$.
• Giả sử 3 vectơ đồng phẳng $\Rightarrow \vec{AD} = m\vec{AB} + n\vec{AC} \Rightarrow \begin{cases} 0 = -m - n \\ 1 = m \\ 1 = n \end{cases} \Rightarrow m = 1, n = 1 \Rightarrow -1-1 = -2 \ne 0$ (Vô lý!).
• Vậy 3 vectơ không đồng phẳng $\Rightarrow A, B, C, D$ tạo thành tứ diện.
Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 0; 1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục $Oy$ sao cho $MA = MB$.
Xem lời giải
• Điểm $M \in Oy \Rightarrow M(0; y; 0)$.
• $MA^2 = (0-1)^2 + (y-2)^2 + (0-3)^2 = 1 + (y-2)^2 + 9 = y^2 - 4y + 14$.
• $MB^2 = (0-3)^2 + (y-0)^2 + (0-1)^2 = 9 + y^2 + 1 = y^2 + 10$.
• $MA = MB \Leftrightarrow y^2 - 4y + 14 = y^2 + 10 \Leftrightarrow -4y = -4 \Leftrightarrow y = 1$.
• Kết luận: $M(0; 1; 0)$.
🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Chương II
Làm 10 câu hỏi trắc nghiệm tổng hợp tuyển chọn dưới đây để tự đánh giá toàn bộ kiến thức Chương II. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn chọn đáp án.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương II
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →📝 V. Bài tập tự luận tổng hợp rèn luyện tư duy (5 Bài lớn — 25 câu hỏi nhỏ)
Bài 1 (Tổng hợp Vectơ không gian & Quy tắc hình hộp). Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.
a) Chứng minh rằng $\vec{AC'} + \vec{CA'} = 2\vec{AA'}$.
b) Biểu diễn $\vec{AC'}$ theo $\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA'}$.
Xem lời giải Bài 1
a) $\vec{AC'} = \vec{AC} + \vec{AA'}$, $\vec{CA'} = \vec{CA} + \vec{AA'}$. Cộng 2 vế được $\vec{AC'} + \vec{CA'} = (\vec{AC} + \vec{CA}) + 2\vec{AA'} = \vec{0} + 2\vec{AA'} = 2\vec{AA'}$.
b) $\vec{AC'} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}$.
Bài 2 (Tổng hợp Tọa độ điểm, Trung điểm, Trọng tâm). Cho $A(2; 1; -1), B(0; 3; 1), C(4; -1; 3)$.
a) Tìm tọa độ trung điểm $M$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
b) Tìm tọa độ điểm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành.
Xem lời giải Bài 2
a) $M(1; 2; 0)$, $G(2; 1; 1)$.
b) $\vec{AB} = (-2; 2; 2) = \vec{DC} = (4-x_D; -1-y_D; 3-z_D) \Rightarrow D(6; -3; 1)$.
Bài 3 (Tổng hợp Phép toán vectơ & Góc). Cho $\vec{u} = (1; 2; 2)$ và $\vec{v} = (-2; 1; 2)$.
a) Tính độ dài $|\vec{u}|$ và $|\vec{v}|$.
b) Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ và côsin góc giữa hai vectơ.
Xem lời giải Bài 3
a) $|\vec{u}| = \sqrt{1+4+4} = 3$, $|\vec{v}| = \sqrt{4+1+4} = 3$.
b) $\vec{u} \cdot \vec{v} = -2 + 2 + 4 = 4 \Rightarrow \cos = \frac{4}{9}$.
Bài 4 (Tổng hợp Cực trị & Khoảng cách). Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 4; 1)$.
a) Tìm điểm $M \in (Oxy)$ sao cho $MA^2 + MB^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tính khoảng cách ngắn nhất đó.
Xem lời giải Bài 4
a) $I(2; 3; 2)$ là trung điểm $AB \Rightarrow M(2; 3; 0)$.
b) $AB = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3} \Rightarrow \min = 2 MI^2 + \frac{AB^2}{2} = 2(4) + 6 = 14$.
Bài 5 (Tổng hợp Bài toán thực tế Oxyz). Một trạm ra-đa theo dõi máy bay $A(10; 20; 5)$ km và máy bay $B(40; 60; 15)$ km.
a) Tính khoảng cách giữa hai máy bay.
b) Máy bay $C$ ở vị trí trung điểm giữa $A$ và $B$. Tìm tọa độ $C$.
Xem lời giải Bài 5
a) $AB = \sqrt{30^2 + 40^2 + 10^2} = \sqrt{900+1600+100} = \sqrt{2600} = 10\sqrt{26} \approx 51$ km.
b) $C(25; 40; 10)$ km.