Bài 8: Biểu thức tọa độ các phép toán
Lý thuyết chi tiết và bài tập có lời giải Bài 8: Biểu thức tọa độ các phép toán — SGK Toán 12 Kết nối tri thức.
I. Biểu thức tọa độ của các phép toán Vectơ
1. Biểu thức Cộng, Trừ, Nhân số & Hai vectơ cùng phương
Cho hai vectơ $\vec{u} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2; z_2)$ và số thực $k \in \mathbb{R}$:
• Phép cộng vectơ: $\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)$.
• Phép trừ vectơ: $\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2)$.
• Phép nhân với một số: $k\vec{u} = (kx_1; ky_1; kz_1)$.
• 📌 Điều kiện hai vectơ cùng phương: $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{v}$ (với $\vec{v} \ne \vec{0}$) $\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}: \vec{u} = k\vec{v}$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = kx_2 \\ y_1 = ky_2 \\ z_1 = kz_2 \end{cases} \quad \left(\text{hoặc } \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2} \text{ khi các mẫu khác } 0\right)$$
2. Đồ thị tương tác JSXGraph minh họa Phép toán vectơ
💡 Mô phỏng 3D JSXGraph: Phép cộng u + v và phép nhân k.u theo tọa độ Đề-các.
3. 3 Ví dụ mẫu Phép toán vectơ
Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u} = (1; -2; 3)$ và $\vec{v} = (2; 1; -4)$. Tính tọa độ của các vectơ $\vec{a} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$ và $\vec{b} = \vec{u} - 2\vec{v}$.
Xem lời giải
• $2\vec{u} = (2; -4; 6)$ và $3\vec{v} = (6; 3; -12)$.
• $\Rightarrow \vec{a} = 2\vec{u} + 3\vec{v} = (2+6; -4+3; 6-12) = (8; -1; -6)$.
• $2\vec{v} = (4; 2; -8) \Rightarrow \vec{b} = \vec{u} - 2\vec{v} = (1-4; -2-2; 3-(-8)) = (-3; -4; 11)$.
Tìm $m$ và $n$ để vectơ $\vec{u} = (2; m - 1; 4)$ cùng phương với vectơ $\vec{v} = (1; 3; n + 2)$.
Xem lời giải
• $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{v} \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{m - 1}{3} = \frac{4}{n + 2} = 2$.
• Giải hệ: $\begin{cases} m - 1 = 6 \Rightarrow m = 7 \\ n + 2 = 2 \Rightarrow n = 0 \end{cases}$.
• Kết luận: $m = 7, n = 0$.
Cho 3 điểm $A(1; 0; -2), B(2; 1; -1), C(1; -2; 2)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $\vec{AD} = 3\vec{AB} - 2\vec{AC}$.
Xem lời giải
• $\vec{AB} = (1; 1; 1) \Rightarrow 3\vec{AB} = (3; 3; 3)$.
• $\vec{AC} = (0; -2; 4) \Rightarrow 2\vec{AC} = (0; -4; 8)$.
• $\Rightarrow \vec{AD} = 3\vec{AB} - 2\vec{AC} = (3-0; 3-(-4); 3-8) = (3; 7; -5)$.
• Do $\vec{AD} = (x_D - 1; y_D - 0; z_D + 2) = (3; 7; -5) \Rightarrow D(4; 7; -7)$.
II. Biểu thức Tích vô hướng & Ứng dụng Hình học
1. Công thức Tích vô hướng, Độ dài, Khoảng cách & Góc
Cho $\vec{u} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2; z_2)$:
• Tích vô hướng:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$$
• Độ dài vectơ: $|\vec{u}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$.
• Khoảng cách giữa 2 điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$:
$$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$$
• Côsin góc giữa 2 vectơ:
$$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$$
• 📌 Điều kiện vuông góc: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$.
2. Đồ thị tương tác JSXGraph minh họa Khoảng cách & Góc
💡 Mô phỏng khoảng cách AB và góc giữa 2 vectơ trong không gian Oxyz.
3. 3 Ví dụ mẫu Tích vô hướng & Góc
Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; 1)$ và $\vec{v} = (0; 1; 1)$.
Xem lời giải
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1(0) + 0(1) + 1(1) = 1$.
• $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
• $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{(\vec{u}, \vec{v})} = 60^\circ$.
Cho 2 điểm $A(1; 2; -1)$ và $B(3; 4; 0)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.
Xem lời giải
• $AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
Cho tam giác $ABC$ có $A(1; 0; 0)$, $B(0; 0; 1)$, $C(2; 1; 1)$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Xem lời giải
• $\vec{AB} = (-1; 0; 1)$ và $\vec{AC} = (1; 1; 1)$.
• Tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(1) + 0(1) + 1(1) = -1 + 0 + 1 = 0$.
• Do $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \Rightarrow AB \perp AC \Rightarrow$ Tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
III. Bài toán Cực trị Tọa độ & Thực tế
1. Tìm điểm thỏa mãn khoảng cách / diện tích tối ưu
• Tìm điểm $M \in (Oxy)$ sao cho $MA^2 + MB^2$ nhỏ nhất: Gọi $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}$. Nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy)$.
• Tìm khoảng cách giữa 2 tàu/máy bay theo thời gian $t$: Biểu diễn tọa độ theo $t$, thiết lập hàm $d(t) = \sqrt{f(t)}$ rồi tìm GTNN bằng đạo hàm.
2. Đồ thị tương tác JSXGraph mô phỏng Khoảng cách ngắn nhất
💡 Mô phỏng tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) có tổng khoảng cách MA + MB ngắn nhất.
3. 3 Ví dụ mẫu Cực trị & Thực tế
Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 4; 5)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^2 + MB^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải
• Gọi $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow I(2; 3; 4)$.
• $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}$. Giá trị này nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(Oxy)$.
• Cho $z = 0 \Rightarrow M(2; 3; 0)$.
Hai tuyến cáp treo được mô hình hóa bởi hai vectơ $\vec{u} = (2; 2; 1)$ và $\vec{v} = (-1; 2; 2)$. Tính góc giữa hai tuyến cáp treo này.
Xem lời giải
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(-1) + 2(2) + 1(2) = -2 + 4 + 2 = 4$.
• $|\vec{u}| = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = 3$, $|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = 3$.
• $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} \Rightarrow \alpha = \arccos\left(\frac{4}{9}\right) \approx 63{,}6^\circ$.
Hai tàu biển xuất phát từ vị trí $A(0; 0; 0)$ km. Tàu 1 di chuyển theo hướng vectơ $\vec{v}_1 = (30; 40; 0)$ km/h, tàu 2 di chuyển theo hướng $\vec{v}_2 = (40; -30; 0)$ km/h. Tính khoảng cách giữa hai tàu sau $2$ giờ.
Xem lời giải
• Sau 2 giờ, vị trí tàu 1: $M_1(60; 80; 0)$, vị trí tàu 2: $M_2(80; -60; 0)$.
• Vectơ $\vec{M_1 M_2} = (80-60; -60-80; 0) = (20; -140; 0)$.
• Khoảng cách $M_1 M_2 = \sqrt{20^2 + (-140)^2} = \sqrt{400 + 19600} = \sqrt{20000} = 100\sqrt{2} \approx 141{,}4$ km.
🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm 10 câu hỏi trắc nghiệm tuyển chọn về Biểu thức tọa độ các phép toán dưới đây để kiểm tra năng lực. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn chọn đáp án.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Phép toán Vectơ
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →📝 V. Bài tập tự luận rèn luyện tư duy (5 Bài lớn — 20 câu hỏi nhỏ)
Bài 1 (Tính tọa độ phép toán vectơ). Cho $\vec{u} = (2; -1; 3)$ và $\vec{v} = (1; 4; -2)$.
a) Tính tọa độ các vectơ $\vec{a} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$ và $\vec{b} = \vec{u} + 4\vec{v}$.
b) Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Xem lời giải Bài 1
a) $\vec{a} = (3(2)-2(1); 3(-1)-2(4); 3(3)-2(-2)) = (4; -11; 13)$. $\vec{b} = (6; 15; -5)$.
b) $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(1) + (-1)(4) + 3(-2) = 2 - 4 - 6 = -8$.
Bài 2 (Độ dài & Khoảng cách 2 điểm). Cho $A(2; 1; -1), B(4; 3; 1), C(1; 5; 3)$.
a) Tính độ dài các cạnh $AB, BC, CA$ của tam giác $ABC$.
b) Chứng minh tam giác $ABC$ cân tại $B$.
Xem lời giải Bài 2
a) $AB = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = 2\sqrt{3}$. $BC = \sqrt{(-3)^2+2^2+2^2} = \sqrt{17}$. $CA = \sqrt{1^2+(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{33}$.
b) $AB \ne BC$, tam giác không cân.
Bài 3 (Tính góc giữa 2 vectơ & Vuông góc). Cho $\vec{u} = (1; 2; 2)$ và $\vec{v} = (0; 3; -3)$.
a) Tính côsin góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.
b) Tìm $m$ để $\vec{w} = (m; 1; 2)$ vuông góc với $\vec{u}$.
Xem lời giải Bài 3
a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 + 6 - 6 = 0 \Rightarrow \cos = 0 \Rightarrow \alpha = 90^\circ$.
b) $\vec{w} \cdot \vec{u} = m(1) + 1(2) + 2(2) = m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = -6$.
Bài 4 (Tìm điểm cực trị khoảng cách). Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(5; 6; 7)$.
a) Tìm điểm $M \in Ox$ sao cho $MA = MB$.
b) Tìm điểm $N \in (Oyz)$ sao cho $NA^2 + NB^2$ nhỏ nhất.
Xem lời giải Bài 4
a) $M(x; 0; 0)$. $(x-1)^2 + 4 + 9 = (x-5)^2 + 36 + 49 \Rightarrow -2x + 14 = -10x + 110 \Rightarrow 8x = 96 \Rightarrow x = 12 \Rightarrow M(12; 0; 0)$.
b) $I(3; 4; 5)$ là trung điểm $AB \Rightarrow$ hình chiếu lên $(Oyz)$ là $N(0; 4; 5)$.
Bài 5 (Ứng dụng thực tế vận tốc & góc). Một máy bay bay với vận tốc $\vec{v} = (500; 300; 100)$ km/h.
a) Tính tốc độ bay thực tế (độ lớn vận tốc) của máy bay.
b) Tính góc nâng của đường bay máy bay so với mặt phẳng nằm ngang $(Oxy)$.
Xem lời giải Bài 5
a) $v = \sqrt{500^2 + 300^2 + 100^2} = \sqrt{350000} \approx 591{,}6$ km/h.
b) $\sin \alpha = \frac{|z|}{v} = \frac{100}{591{,}6} \approx 0{,}169 \Rightarrow \alpha \approx 9{,}7^\circ$.