Bài 7: Hệ tọa độ trong không gian

I. Hệ trục tọa độ Oxyz & Tọa độ của điểm

1. Ba trục Ox, Oy, Oz & Ba vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$

⚡ Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian

• Hệ tọa độ $Oxyz$ gồm ba trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ vuông góc với nhau từng đôi một tại gốc $O$.

• $Ox$: Trục hoành; $Oy$: Trục tung; $Oz$: Trục cao.

• Các vectơ đơn vị: $\vec{i}$ trên $Ox$, $\vec{j}$ trên $Oy$, $\vec{k}$ trên $Oz$ với $|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1$ và $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0$.

• 📌 Tọa độ của điểm $M$: Tọa độ của điểm $M(x; y; z)$ thỏa mãn đẳng thức vectơ:

$$\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$

• Hình chiếu vuông góc của $M(x; y; z)$:

Lên trục $Ox$: $M_x(x; 0; 0)$; lên $Oy$: $M_y(0; y; 0)$; lên $Oz$: $M_z(0; 0; z)$.
Lên mặt phẳng $(Oxy)$: $M_1(x; y; 0)$; lên $(Oyz)$: $M_2(0; y; z)$; lên $(Ozx)$: $M_3(x; 0; z)$.

2. Đồ thị tương tác JSXGraph minh họa Hệ tọa độ Oxyz

💡 Mô phỏng 3D JSXGraph: Hệ tọa độ Oxyz, các vectơ đơn vị i, j, k và tọa độ điểm M(x, y, z).

3. 3 Ví dụ mẫu Tọa độ điểm & Hình chiếu

🔍 Ví dụ 1 (Xác định tọa độ điểm từ biểu thức vectơ đơn vị)

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ thỏa mãn $\vec{OM} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k}$. Tìm tọa độ của điểm $M$ và hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$.

💡Xem lời giải

• Từ đẳng thức $\vec{OM} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k} \Rightarrow$ tọa độ điểm $M(2; -3; 5)$.

• Hình chiếu vuông góc của $M(2; -3; 5)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ có cao độ $z = 0$, do đó tọa độ là $H(2; -3; 0)$.

🔍 Ví dụ 2 (Tìm điểm đối xứng qua mặt phẳng tọa độ)

Cho điểm $A(1; 4; -2)$. Tìm tọa độ điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ và điểm $A''$ đối xứng với $A$ qua trục $Oy$.

💡Xem lời giải

• Đối xứng qua $(Oyz)$: Giữ nguyên tung độ $y$ và cao độ $z$, đổi dấu hoành độ $x \Rightarrow A'(-1; 4; -2)$.

• Đối xứng qua trục $Oy$: Giữ nguyên tung độ $y$, đổi dấu hoành độ $x$ và cao độ $z \Rightarrow A''(-1; 4; 2)$.

🔍 Ví dụ 3 (Tính khoảng cách từ điểm đến các mặt phẳng tọa độ)

Cho điểm $P(-3; 2; -4)$. Tính khoảng cách từ điểm $P$ đến các mặt phẳng $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$.

💡Xem lời giải

• Khoảng cách đến mặt phẳng $(Oxy)$ là $|z_P| = |-4| = 4$.

• Khoảng cách đến mặt phẳng $(Oyz)$ là $|x_P| = |-3| = 3$.

• Khoảng cách đến mặt phẳng $(Ozx)$ là $|y_P| = |2| = 2$.

II. Tọa độ của Vectơ, Trung điểm & Trọng tâm

1. Công thức vectơ $\vec{AB}$, trung điểm $I$, trọng tâm $G$

⚡ Các công thức tọa độ cơ bản

Cho $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$:

• Tọa độ của vectơ $\vec{AB}$:

$$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$$

• Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$:

$$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right)$$

• Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:

$$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$$

• Tọa độ trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$:

$$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}; \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}; \frac{z_A + z_B + z_C + z_D}{4}\right)$$

2. Đồ thị tương tác JSXGraph minh họa Trung điểm & Trọng tâm

💡 Mô phỏng tọa độ tam giác ABC và trọng tâm G trong không gian Oxyz.

3. 3 Ví dụ mẫu Tọa độ vectơ & Trung điểm

🔍 Ví dụ 4 (Tìm tọa độ điểm thứ tư của hình bình hành)

Cho 3 điểm $A(1; 2; -1)$, $B(2; -1; 3)$, $C(-4; 7; 5)$. Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

💡Xem lời giải

• Gọi $D(x_D; y_D; z_D)$.

• $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{DC}$.

• Ta có $\vec{AB} = (2-1; -1-2; 3-(-1)) = (1; -3; 4)$.

• $\vec{DC} = (-4 - x_D; 7 - y_D; 5 - z_D)$.

• Do đó: $\begin{cases} -4 - x_D = 1 \\ 7 - y_D = -3 \\ 5 - z_D = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_D = -5 \\ y_D = 10 \\ z_D = 1 \end{cases} \Rightarrow D(-5; 10; 1)$.

🔍 Ví dụ 5 (Tìm trọng tâm tam giác và trung điểm)

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(2; 1; 3)$, $B(4; -1; 1)$, $C(0; 3; 5)$. Tìm tọa độ trung điểm $M$ của $BC$ và trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

💡Xem lời giải

• Tọa độ trung điểm $M$ của $BC$: $x_M = \frac{4+0}{2} = 2$, $y_M = \frac{-1+3}{2} = 1$, $z_M = \frac{1+5}{2} = 3 \Rightarrow M(2; 1; 3)$. (Chú ý: $M$ trùng điểm $A$).

• Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $x_G = \frac{2+4+0}{3} = 2$, $y_G = \frac{1+(-1)+3}{3} = 1$, $z_G = \frac{3+1+5}{3} = 3 \Rightarrow G(2; 1; 3)$.

🔍 Ví dụ 6 (Tìm điểm $M$ chia đoạn thẳng theo tỉ số $k$)

Cho hai điểm $A(1; 3; -2)$ và $B(4; -3; 4)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $\vec{AM} = 2\vec{MB}$.

💡Xem lời giải

• Gọi $M(x; y; z)$. Ta có $\vec{AM} = (x - 1; y - 3; z + 2)$ và $\vec{MB} = (4 - x; -3 - y; 4 - z)$.

• Từ $\vec{AM} = 2\vec{MB} \Rightarrow \begin{cases} x - 1 = 2(4 - x) \\ y - 3 = 2(-3 - y) \\ z + 2 = 2(4 - z) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \\ 3y = -3 \Rightarrow y = -1 \\ 3z = 6 \Rightarrow z = 2 \end{cases} \Rightarrow M(3; -1; 2)$.

III. Mô hình hóa bài toán thực tế 3D

1. Ứng dụng $Oxyz$ trong Đời sống & Kỹ thuật

📌 Các bước mô hình hóa bài toán 3D trong không gian $Oxyz$

1. Chọn gốc tọa độ $O$ và các trục $Ox, Oy, Oz$: Thường chọn góc phòng, đỉnh của tòa nhà, hoặc vị trí trạm ra-đa.

2. Xác định tọa độ của các vật thể/điểm: Chuyển khoảng cách thực tế (mét, km) thành tọa độ trên 3 trục.

3. Vận dụng công thức vectơ & khoảng cách: Giải bài toán và đổi kết quả về đơn vị thực tế.

2. Đồ thị tương tác JSXGraph mô phỏng Không gian thực tế

💡 Mô phỏng vị trí máy bay và trạm ra-đa trong hệ tọa độ Oxyz thực tế.

3. 3 Ví dụ mẫu Thực tế 3D

🔍 Ví dụ 7 (Mô hình hóa vị trí máy bay theo tọa độ 3D)

Trạm quan sát ra-đa đặt tại gốc $O(0; 0; 0)$. Một máy bay xuất phát từ trạm $A(2; 3; 1)$ km và di chuyển theo vectơ $\vec{u} = (6; 8; 3)$ km. Tìm tọa độ vị trí máy bay $B$ sau khi di chuyển.

💡Xem lời giải

• Ta có vectơ dịch chuyển $\vec{AB} = \vec{u} = (6; 8; 3)$.

• Do đó $B(x_A + 6; y_A + 8; z_A + 3) = (2 + 6; 3 + 8; 1 + 3) = (8; 11; 4)$ km.

• Độ cao của máy bay lúc này là $z = 4$ km so với mặt đất.

🔍 Ví dụ 8 (Xác định tọa độ bóng đèn trong gian phòng)

Một gian phòng hình hộp chữ nhật có kích thước dài $6$ m, rộng $4$ m, cao $3$ m. Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ tại một góc nhà trên sàn. Bóng đèn được treo ở chính giữa trần nhà. Tìm tọa độ vị trí bóng đèn.

💡Xem lời giải

• Đáy phòng trên sàn là hình chữ nhật kích thước $6 \times 4$ m $\Rightarrow$ tâm trần nhà có hoành độ $x = 6/2 = 3$ m, tung độ $y = 4/2 = 2$ m.

• Trần nhà có chiều cao $z = 3$ m.

• Vậy tọa độ bóng đèn là $D(3; 2; 3)$.

🔍 Ví dụ 9 (Vị trí trạm phát sóng viễn thông)

Hai cột phát sóng đặt tại $A(1; 2; 0)$ km và $B(5; 6; 0)$ km. Người ta muốn đặt một trạm thu sóng $M$ trên mặt đất sao cho $M$ là trung điểm của đoạn nối hai cột phát sóng. Tìm tọa độ trạm $M$.

💡Xem lời giải

• Tọa độ trung điểm $M$: $x_M = \frac{1+5}{2} = 3$, $y_M = \frac{2+6}{2} = 4$, $z_M = \frac{0+0}{2} = 0$.

• Tọa độ trạm thu sóng là $M(3; 4; 0)$ km.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm 10 câu hỏi trắc nghiệm tuyển chọn về Hệ tọa độ không gian dưới đây để kiểm tra năng lực. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn chọn đáp án.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(5; -6; 4)$. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{OM} = 4 \vec{i} - 2 \vec{j} + 3\vec{k}$. Tọa độ của điểm $M$ là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Cho hai điểm $A(2; 2; 5)$ và $B(9; 6; 1)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Trong không gian $Oxyz$, cho 3 điểm $A(1; 2; 3), B(3; 0; 1), C(2; 4; 5)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Khoảng cách từ điểm $A(5; -7; 1)$ đến mặt phẳng $(Oyz)$ bằng bao nhiêu?

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Cho điểm $A(2; -1; 4)$. Điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua trục $Oz$ có tọa độ là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 6; 9)$. Tọa độ của vectơ $\vec{AB}$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Cho 3 điểm $A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(3; 5; 2)$. Tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(Oxy)$ có dạng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Một bóng đèn được treo ở vị trí chính giữa trần một căn phòng hình hộp chữ nhật kích thước $6 \times 4 \times 3$ m (với $O$ tại một góc nhà trên sàn). Tọa độ của bóng đèn là:

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Hệ tọa độ Oxyz

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới

📝 V. Bài tập tự luận rèn luyện tư duy (5 Bài lớn — 20 câu hỏi nhỏ)

📝 Bài tập tự luận Hệ tọa độ trong không gian (5 Bài lớn — 20 câu hỏi nhỏ)

Bài 1 (Tọa độ điểm & Hình chiếu). Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2; -3; 4)$.

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên các mặt phẳng $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$.

b) Tìm tọa độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ $O$.

💡Xem lời giải Bài 1

a) Lên $(Oxy): M_1(2; -3; 0)$; lên $(Oyz): M_2(0; -3; 4)$; lên $(Ozx): M_3(2; 0; 4)$.

b) Đối xứng qua $O$: đổi dấu cả 3 tọa độ $\Rightarrow M'(-2; 3; -4)$.

Bài 2 (Tọa độ vectơ & Điểm thứ tư hình bình hành). Cho 3 điểm $A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(3; 5; 2)$.

a) Tìm tọa độ các vectơ $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA}$.

b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

💡Xem lời giải Bài 2

a) $\vec{AB} = (1; 2; 3)$, $\vec{BC} = (1; 2; -2)$, $\vec{CA} = (-2; -4; -1)$.

b) $\vec{AB} = \vec{DC} \Rightarrow (1; 2; 3) = (3 - x_D; 5 - y_D; 2 - z_D) \Rightarrow D(2; 3; -1)$.

Bài 3 (Trung điểm & Trọng tâm tam giác). Cho tam giác $ABC$ có $A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 5)$.

a) Tìm tọa độ trung điểm $M, N, P$ của các cạnh $AB, BC, CA$.

b) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

💡Xem lời giải Bài 3

a) $M\left(2; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$, $N(0; 2; 2)$, $P(1; \frac{1}{2}; \frac{7}{2})$.

b) $G\left(1; 1; 2\right)$.

Bài 4 (Trọng tâm tứ diện). Cho 4 điểm $A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3), D(3; 2; 1)$.

a) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$.

b) Tìm tọa độ điểm $E$ sao cho $G$ là trung điểm của $AE$.

💡Xem lời giải Bài 4

a) $G\left(1; 1; 1\right)$.

b) $E = 2G - A = (2(1)-1; 2(1)-0; 2(1)-0) = (1; 2; 2)$.

Bài 5 (Bài toán thực tế 3D). Một flycam bay từ trạm A có tọa độ $(100; 200; 50)$ m đến trạm B có tọa độ $(400; 600; 200)$ m theo đường thẳng.

a) Tìm tọa độ điểm $M$ nơi flycam đi được một nửa quãng đường.

b) Tính khoảng cách chiều cao tăng thêm của flycam khi đi từ A đến B.

💡Xem lời giải Bài 5

a) $M$ là trung điểm $AB \Rightarrow M(250; 400; 125)$ m.

b) Chiều cao tăng thêm $\Delta z = z_B - z_A = 200 - 50 = 150$ m.