Bài 6: Vectơ trong không gian
Lý thuyết chi tiết và bài tập có lời giải Bài 6: Vectơ trong không gian — SGK Toán 12 Kết nối tri thức.
I. Khái niệm Vectơ trong không gian
1. Định nghĩa, Độ dài & Sự bằng nhau của vectơ
• Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng, tức là đã chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối. Vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ ký hiệu là $\vec{AB}$.
• Độ dài của vectơ $\vec{AB}$ là khoảng cách giữa điểm $A$ và điểm $B$, ký hiệu là $|\vec{AB}| = AB$.
• Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ.
• Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ bằng nhau: Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng nhau (ký hiệu $\vec{u} = \vec{v}$) nếu chúng **cùng hướng** và **cùng độ dài** ($|\vec{u}| = |\vec{v}|$).
• Vectơ không ($\vec{0}$): Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (độ dài bằng $0$, hướng tùy ý).
2. Đồ thị tương tác JSXGraph minh họa Vectơ hình hộp
💡 Mô phỏng hình học 3D JSXGraph: Các vectơ cạnh và đường chéo trong hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
3. 3 Ví dụ mẫu Khái niệm Vectơ
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Hãy chỉ ra các vectơ bằng vectơ $\vec{AB}$ và các vectơ đối của vectơ $\vec{AA'}$.
Xem lời giải
• Trong hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, các mặt đều là hình bình hành.
• Các vectơ cùng hướng và có độ dài bằng $\vec{AB}$ là: $\vec{DC}$, $\vec{A'B'}$, $\vec{D'C'}$. Do đó $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{A'B'} = \vec{D'C'}$.
• Vectơ đối của $\vec{AA'}$ là vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng, đó là: $\vec{A'A}$, $\vec{B'B}$, $\vec{C'C}$, $\vec{D'D}$.
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính độ dài của các vectơ $\vec{AB} + \vec{BC}$ và $\vec{AB} - \vec{AC}$.
Xem lời giải
• Theo quy tắc 3 điểm: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \Rightarrow |\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = AC = a$.
• Theo quy tắc hiệu: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB} \Rightarrow |\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{CB}| = CB = a$.
Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB$. Chứng minh rằng $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB}$ và suy ra $MN \parallel AB$.
Xem lời giải
• Trong tam giác $SAB$, $MN$ là đường trung bình $\Rightarrow MN \parallel AB$ và $MN = \frac{1}{2}AB$.
• Vì vectơ $\vec{MN}$ và $\vec{AB}$ cùng hướng nên $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.
• Do $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB} \Rightarrow$ hai giá của hai vectơ song song với nhau $\Rightarrow MN \parallel AB$.
II. Các phép toán Vectơ & Quy tắc Hình hộp
1. Quy tắc 3 điểm, Quy tắc hình bình hành & Quy tắc Hình hộp
• Quy tắc 3 điểm: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ và $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
• Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
• 📌 Quy tắc Hình hộp (Hình học 3D): Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Tổng 3 vectơ xuất phát từ cùng một đỉnh $A$ bằng vectơ đường chéo xuất phát từ đỉnh $A$ đó:
$$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'} = \vec{AC'}$$
• Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ: Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Khi $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương thì $\vec{c}$ đồng phẳng với $\vec{a}, \vec{b} \Leftrightarrow \exists m, n \in \mathbb{R}: \vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$.
2. Đồ thị tương tác JSXGraph minh họa Quy tắc hình hộp
💡 Mô phỏng Quy tắc hình hộp: Vectơ tổng AC' = AB + AD + AA' trong không gian 3D.
3. 3 Ví dụ mẫu Phép toán & Quy tắc hình hộp
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Rút gọn biểu thức $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{B'C'} + \vec{DD'}$.
Xem lời giải
• Vì các mặt là hình bình hành nên: $\vec{B'C'} = \vec{AD}$ và $\vec{DD'} = \vec{AA'}$.
• Thay vào biểu thức: $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}$.
• Theo Quy tắc Hình hộp $\Rightarrow \vec{S} = \vec{AC'}$.
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tứ diện (điểm thỏa mãn $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0}$). Với điểm $O$ bất kỳ trong không gian, chứng minh rằng $\vec{OG} = \frac{1}{4}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$.
Xem lời giải
• Chèn điểm $O$ vào biểu thức $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD} = \vec{0}$:
$$(\vec{OA} - \vec{OG}) + (\vec{OB} - \vec{OG}) + (\vec{OC} - \vec{OG}) + (\vec{OD} - \vec{OG}) = \vec{0}$$
$$\Leftrightarrow \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} - 4\vec{OG} = \vec{0}$$
$$\Leftrightarrow \vec{OG} = \frac{1}{4}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}) \quad (\text{đpcm}).$$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Chứng minh rằng 3 vectơ $\vec{SA}, \vec{SC}, \vec{SO}$ (với $O$ là giao điểm 2 đường chéo đáy) đồng phẳng.
Xem lời giải
• Vì $O$ là trung điểm của $AC$ nên trong tam giác $SAC$, $SO$ là đường trung tuyến.
• Theo tính chất trung điểm: $\vec{SA} + \vec{SC} = 2\vec{SO} \Rightarrow \vec{SO} = \frac{1}{2}\vec{SA} + \frac{1}{2}\vec{SC}$.
• Vì $\vec{SO}$ biểu diễn được qua $\vec{SA}$ và $\vec{SC}$ nên 3 vectơ $\vec{SA}, \vec{SC}, \vec{SO}$ đồng phẳng (cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$).
III. Tích vô hướng & Góc giữa 2 Vectơ
1. Công thức Tích vô hướng & Góc giữa 2 vectơ
• Góc giữa 2 vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ (khác $\vec{0}$): Lấy điểm $O$ bất kỳ, vẽ $\vec{OA} = \vec{u}, \vec{OB} = \vec{v}$. Khi đó $\widehat{(\vec{u}, \vec{v})} = \widehat{AOB}$ ($0^\circ \le \widehat{(\vec{u}, \vec{v})} \le 180^\circ$).
• Công thức Tích vô hướng:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$$
• Công thức côsin góc: $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
• 📌 Điều kiện hai vectơ vuông góc: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
2. Đồ thị tương tác JSXGraph minh họa Góc 2 vectơ
💡 Mô phỏng góc giữa 2 vectơ u, v và tích vô hướng u · v trong không gian 3D.
3. 3 Ví dụ mẫu Tích vô hướng & Góc
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tính tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{AC'}$.
Xem lời giải
• Phân tích $\vec{AC'} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}$ theo Quy tắc hình hộp.
• Tích vô hướng: $\vec{AB} \cdot \vec{AC'} = \vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}) = \vec{AB}^2 + \vec{AB} \cdot \vec{AD} + \vec{AB} \cdot \vec{AA'}$.
• Vì $AB \perp AD \Rightarrow \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$ và $AB \perp AA' \Rightarrow \vec{AB} \cdot \vec{AA'} = 0$.
• Do đó: $\vec{AB} \cdot \vec{AC'} = |\vec{AB}|^2 = a^2$.
Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.
Xem lời giải
• Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên mặt $ABC$ là tam giác đều.
• Góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ chính là góc $\widehat{BAC}$ của tam giác đều $ABC$.
• Do đó $\widehat{(\vec{AB}, \vec{AC})} = 60^\circ$.
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB \perp CD$. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $AC, BD, BC, AD$. Chứng minh rằng $MN \perp PQ$.
Xem lời giải
• Trong tam giác $ABC$, $MP$ là đường trung bình $\Rightarrow \vec{MP} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.
• Trong tam giác $BCD$, $PN$ là đường trung bình $\Rightarrow \vec{PN} = \frac{1}{2}\vec{CD}$.
• Tứ giác $MPNQ$ có $MP \parallel NQ$ và $PN \parallel MQ$ nên là hình bình hành.
• Tích vô hướng $\vec{MP} \cdot \vec{PN} = \frac{1}{4}(\vec{AB} \cdot \vec{CD}) = 0$ (vì $AB \perp CD$).
• Hình bình hành có hai cạnh kế vuông góc $MP \perp PN$ nên $MPNQ$ là hình vuông $\Rightarrow$ Hai đường chéo vuông góc $MN \perp PQ$.
🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm 10 câu hỏi trắc nghiệm tuyển chọn về Vectơ trong không gian dưới đây để kiểm tra năng lực. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn chọn đáp án.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Vectơ không gian
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →📝 V. Bài tập tự luận rèn luyện tư duy (5 Bài lớn — 20 câu hỏi nhỏ)
Bài 1 (Quy tắc 3 điểm & Quy tắc hình bình hành). Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.
a) Chứng minh rằng $\vec{AB} + \vec{B'C'} + \vec{DD'} = \vec{AC'}$.
b) Biểu diễn vectơ $\vec{BD'}$ theo ba vectơ $\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA'}$.
Xem lời giải Bài 1
a) $\vec{B'C'} = \vec{AD}$ và $\vec{DD'} = \vec{AA'} \Rightarrow \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'} = \vec{AC'}$.
b) $\vec{BD'} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB'} = -\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}$.
Bài 2 (Độ dài vectơ & Góc trong không gian). Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$.
a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AC'}$.
b) Tính góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{A'C'}$.
Xem lời giải Bài 2
a) $AC = a\sqrt{2} \Rightarrow |\vec{AC}| = a\sqrt{2}$. $AC' = a\sqrt{3} \Rightarrow |\vec{AC'}| = a\sqrt{3}$.
b) Vì $\vec{A'C'} = \vec{AC} \Rightarrow \widehat{(\vec{AB}, \vec{A'C'})} = \widehat{(\vec{AB}, \vec{AC})} = \widehat{BAC} = 45^\circ$.
Bài 3 (Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ). Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.
a) Chứng minh rằng $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$.
b) Chứng minh rằng ba vectơ $\vec{MN}, \vec{AD}, \vec{BC}$ đồng phẳng.
Xem lời giải Bài 3
a) $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}$ và $\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}$. Cộng 2 vế được $2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC} \Rightarrow \vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$.
b) Vì $\vec{MN}$ biểu diễn được qua $\vec{AD}$ và $\vec{BC}$ nên 3 vectơ đồng phẳng.
Bài 4 (Tích vô hướng và Chứng minh vuông góc). Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^\circ$.
a) Chứng minh rằng $AB \perp CD$.
b) Tính góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$.
Xem lời giải Bài 4
a) $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AD \cdot \cos 60^\circ - AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 0 \Rightarrow AB \perp CD$.
b) Vì $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0 \Rightarrow \widehat{(\vec{AB}, \vec{CD})} = 90^\circ$.
Bài 5 (Ứng dụng lực & Vectơ thực tế). Một chiếc đèn chùm nặng $100$ N được treo bởi 3 sợi dây cáp không co giãn $OA, OB, OC$ bằng nhau tạo với mặt trần các góc $60^\circ$. Tính lực căng của mỗi sợi dây cáp.
Xem lời giải Bài 5
• Trạng thái cân bằng lực: $\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{T}_3 + \vec{P} = \vec{0}$.
• Chiếu lên trục thẳng đứng theo đối xứng: $3 T \sin 60^\circ = P = 100 \Rightarrow 3 T \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100 \Rightarrow T = \frac{200}{3\sqrt{3}} \approx 38{,}5$ N.