Ôn chương 1 - Toán 12
Lý thuyết tổng hợp và bài tập có lời giải Ôn chương 1 - Toán 12 — SGK Toán 12 Kết nối tri thức.
I. Hệ thống lý thuyết trọng tâm Chương I
1. Tính đơn điệu & Cực trị hàm số
• $f'(x) > 0, \forall x \in (a; b) \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(a; b)$.
• $f'(x) < 0, \forall x \in (a; b) \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $(a; b)$.
• Điểm cực đại $x_CĐ$: Đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x_CĐ$.
• Điểm cực tiểu $x_CT$: Đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x_CT$.
2. Giá trị lớn nhất & Giá trị nhỏ nhất
1. Tính $f'(x)$. Tìm nghiệm $x_i \in (a; b)$ làm $f'(x) = 0$ hoặc không xác định.
2. Tính $f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), ...$
3. Kết luận: Giá trị lớn nhất là $\max_{[a; b]} f(x)$, giá trị nhỏ nhất là $\min_{[a; b]} f(x)$.
3. Các đường tiệm cận của đồ thị
• Tiệm cận đứng (TCĐ): $\lim_{x \to x_0^\pm} f(x) = \pm\infty \Rightarrow x = x_0$.
• Tiệm cận ngang (TCN): $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = y_0 \Rightarrow y = y_0$.
• Tiệm cận xiên (TCX): $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \Rightarrow y = ax + b$.
4. Khảo sát & Nhận dạng đồ thị hàm số
1. Hàm bậc ba: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$). Có 2 cực trị hoặc không có cực trị. Tâm đối xứng là điểm uốn $I$.
2. Hàm nhất biến: $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0, ad - bc \ne 0$). Luôn đơn điệu, có 1 TCĐ $x = -d/c$ và 1 TCN $y = a/c$. Tâm đối xứng là giao 2 tiệm cận.
3. Hàm bậc 2 trên bậc 1: $y = \frac{ax^2 + bx + c}{px + q}$. Có 1 TCĐ và 1 TCX $y = Ax + B$. Tâm đối xứng là giao 2 tiệm cận.
II. Đồ thị tương tác JSXGraph tổng hợp Chương I
💡 Đồ thị tương tác JSXGraph tổng hợp: Minh họa hàm phân thức y = (2x - 1)/(x + 1) với tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = 2.
III. Các dạng toán vận dụng cao Chương I (6 Ví dụ mẫu)
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ cắt $Ox$ tại $x = -1, x = 1, x = 4$. Hàm số $g(x) = f(2 - x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Xem lời giải
• Đạo hàm hàm hợp: $g'(x) = (2 - x)' \cdot f'(2 - x) = -f'(2 - x)$.
• Hàm số $g(x)$ đồng biến $\Leftrightarrow g'(x) > 0 \Leftrightarrow -f'(2 - x) > 0 \Leftrightarrow f'(2 - x) < 0$.
• Dựa vào đồ thị $f'(x) < 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (1; 4)$.
• Do đó: $\left[ \begin{array}{l} 2 - x < -1 \\ 1 < 2 - x < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 3 \\ -2 < x < 1 \end{array} \right.$.
• Kết luận: Hàm số $g(x)$ đồng biến trên các khoảng $(-2; 1)$ và $(3; +\infty)$.
Cho hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x + m$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $g(x) = |f(x)|$ có đúng 5 điểm cực trị.
Xem lời giải
• Hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x + m$ có $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ (2 điểm cực trị).
• Cực đại $y_{CĐ} = f(-1) = m + 2$, Cực tiểu $y_{CT} = f(1) = m - 2$.
• Số điểm cực trị của $g(x) = |f(x)|$ bằng $a + b$ (với $a = 2$ là số điểm cực trị của $f(x)$ và $b$ là số nghiệm đơn của $f(x) = 0$).
• Yêu cầu $g(x)$ có 5 cực trị $\Leftrightarrow f(x) = 0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt $\Leftrightarrow y_{CT} < 0 < y_{CĐ} \Leftrightarrow m - 2 < 0 < m + 2 \Leftrightarrow -2 < m < 2$.
• Kết luận: $m \in (-2; 2)$.
🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Chương I
Làm 10 câu hỏi trắc nghiệm tổng hợp tuyển chọn dưới đây để tự đánh giá toàn bộ kiến thức Chương I. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn chọn đáp án.
📝 V. Bài tập tự luận tổng hợp rèn luyện tư duy (5 Bài lớn — 25 câu hỏi nhỏ)
Bài 1 (Tổng hợp Đơn điệu & Cực trị). Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.
a) Khảo sát tính đơn điệu và tìm các điểm cực trị của hàm số.
b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^3 - 3x^2 + 2 - m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Xem lời giải Bài 1
a) $y' = 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 2$. Đồng biến $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, nghịch biến $(0; 2)$. CĐ $(0; 2)$, CT $(2; -2)$.
b) PT $x^3 - 3x^2 + 2 = m \Rightarrow y_{CT} < m < y_{CĐ} \Leftrightarrow -2 < m < 2$.
c) Điểm $A(0; 2)$ và $B(2; -2)$. Phương trình đường thẳng $AB: y = -2x + 2$.
Bài 2 (Tổng hợp GTLN & GTNN). Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a) $y = x^4 - 4x^2 + 3$ trên $[-1; 2]$.
b) $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$ trên $[0; 3]$.
c) $y = x + \frac{9}{x - 1}$ trên $(1; +\infty)$.
Xem lời giải Bài 2
a) $y' = 4x^3 - 8x = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = \sqrt{2} \in [-1; 2]$. $y(-1) = 0, y(0) = 3, y(\sqrt{2}) = -1, y(2) = 3$. $\max = 3$, $\min = -1$.
b) $y' = \frac{3}{(x+1)^2} > 0 \Rightarrow$ đồng biến. $\max = y(3) = \frac{5}{4}$, $\min = y(0) = -1$.
c) $y = (x-1) + \frac{9}{x-1} + 1 \ge 2\sqrt{9} + 1 = 7$. Dấu '=' khi $x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4$. Vậy $\min = 7$.
Bài 3 (Tổng hợp Đường tiệm cận). Cho hàm số $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$.
a) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
b) Tìm điểm $M$ thuộc đồ thị có hoành độ $x_0 > 1$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận xiên là nhỏ nhất.
Xem lời giải Bài 3
a) Tử $(x-1)(x-2)$. Rút gọn $y = x - 2$ (với $x \ne 1$). Đồ thị là đường thẳng bỏ điểm $(1; -1)$, không có tiệm cận.
b) Không có tiệm cận xiên.
Bài 4 (Tổng hợp Khảo sát & Nhận dạng đồ thị). Cho đồ thị hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận ngang $y = 2$ và đi qua điểm $A(0; -1)$. Tìm các hệ số $a, b, c, d$.
Xem lời giải Bài 4
• Chọn $c = 1 \Rightarrow$ TCĐ $x = -d = 1 \Rightarrow d = -1$.
• TCN $y = a/c = a = 2 \Rightarrow a = 2$.
• Đi qua $A(0; -1) \Rightarrow \frac{b}{-1} = -1 \Rightarrow b = 1$.
• Kết luận: Hàm số là $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$.
Bài 5 (Tổng hợp Bài toán thực tiễn tối ưu hóa). Một container dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $V = 108$ m³, đáy hình vuông. Tìm kích thước container để chi phí sơn phủ toàn bộ bề mặt (đáy và 4 mặt xung quanh) là nhỏ nhất.
Xem lời giải Bài 5
• $V = x^2 h = 108 \Rightarrow h = \frac{108}{x^2}$.
• Diện tích sơn $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{432}{x}$. $S'(x) = 2x - \frac{432}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = 216 \Leftrightarrow x = 6$ m.
• Kích thước tối ưu: Cạnh đáy $x = 6$ m, chiều cao $h = 3$ m. Diện tích tối thiểu $S_{min} = 108$ m².
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương I
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →